廣東省湛江一中培才學(xué)校(524037) 李雪迎

1 問題的提出

在長(zhǎng)期的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn),由于受到升學(xué)壓力、課時(shí)緊張、業(yè)績(jī)?cè)u(píng)定等諸多方面的影響,較多的教育者更傾向于試題正確答案的講解、應(yīng)試經(jīng)驗(yàn)的傳授,卻缺少對(duì)典型例題的詳細(xì)解讀;搞“題山題?！睉?zhàn)術(shù),而不注重學(xué)科知識(shí)的系統(tǒng)化整理,從而錯(cuò)過了培養(yǎng)學(xué)生抽象拓展思維能力的黃金時(shí)期.

而缺少相關(guān)引導(dǎo)、訓(xùn)練的學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)中不注重知識(shí)的生成過程、推理論證、脈絡(luò)關(guān)聯(lián),卻熱衷于死記硬背公式、結(jié)論、定理.SOLO分層理論的創(chuàng)始人比格斯(Biggs)教授所做的大量研究表明,那些喜歡熟記事實(shí)細(xì)節(jié)并使用機(jī)械學(xué)習(xí)策略的學(xué)生在傳統(tǒng)的測(cè)試中獲得了高分,但他們卻獲得了很低的SOLO等級(jí).機(jī)械式學(xué)習(xí)導(dǎo)致學(xué)習(xí)者抽象拓展思維的缺失,不僅沒法達(dá)到學(xué)習(xí)深度的要求,還嚴(yán)重挫傷了學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣.

2 SOLO分層理論在培養(yǎng)學(xué)習(xí)者抽象拓展思維的應(yīng)用舉例

現(xiàn)從中考復(fù)習(xí)課階段的知識(shí)串講作為一個(gè)示例,幫助學(xué)習(xí)者發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本身的規(guī)律性、一體性、趣味性,引導(dǎo)學(xué)習(xí)者發(fā)展抽象拓展思維.

2.1 “整式的乘法”中知二求二

對(duì)于正實(shí)數(shù)x,y,對(duì)于以下式子標(biāo)記如下:

①(x+y)2,②(x?y)2,③x2+y2,④xy.

根據(jù)整式的乘法運(yùn)算法則得:

反思:根據(jù)和與差的完全平方公式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相同(反)的數(shù)量關(guān)系,通過相加、減可以實(shí)現(xiàn)代數(shù)式(x+y)2,(x?y)2,x2+y2,xy之間的互相推導(dǎo).

2.2 “相交線與平行線”中的知二得一

題設(shè):如圖1,已知AB//CD,CE為∠BCD的平分線交AB于E.結(jié)論:BC=BE.(證明過程:略)

在題設(shè)和結(jié)論中,共有三個(gè)信息:①AB//CD,②CE為∠BCD的平分線,③BC=BE.

反思:此處是借以①②為條件,得到結(jié)論③(①+②=＞③).而事實(shí)上,此處的三個(gè)信息可以任選兩個(gè)進(jìn)行組合,推導(dǎo)得到第三個(gè)信息.例如:①+③=＞②;②+③=＞①.實(shí)現(xiàn)了借助線段之間的位置關(guān)系、角之間的數(shù)量關(guān)系,得到了另外兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1

圖2

圖3

2.3 “垂徑定理”的應(yīng)用:用于證明的“知二推三”和用于計(jì)算線段長(zhǎng)的“知二求二”

如圖2,在⊙O中,OC是半徑,AB為弦,當(dāng)OC⊥AB于點(diǎn)E時(shí),記半徑OA的長(zhǎng)為r,弦AB的長(zhǎng)為a,弦心距OE的長(zhǎng)為d,拱高CE的長(zhǎng)為h.

圓中常見四條線段的長(zhǎng)度,知二求二:

①1已知r,d,得

②已知h,a,則d=r?h,在Rt△AEO中,d2=即解這個(gè)關(guān)于r的一元一次方程,得

反思:在定理中,由過圓心的線和弦之間位置關(guān)系得到線段、弧之間的數(shù)量關(guān)系.而根據(jù)圓的軸對(duì)稱性質(zhì),可以由其中任意兩條信息作為已知條件推導(dǎo)得到另外三個(gè).

2.4 解直角三角形的應(yīng)用:知二求二

如圖3,在Rt△ABC中,∠C=90°,解這個(gè)直角三角形.

①應(yīng)用勾股定理:若已知a,b,c中任意兩條邊,可以求出第三條邊,此時(shí)由a,b?c;

②應(yīng)用銳角三角函數(shù):可以由兩條邊長(zhǎng)度的比值(例:若已知a,b,求出先求出對(duì)應(yīng)角的三角函數(shù)值(即再由三角函數(shù)值反過來確定角的度數(shù)(可求出∠B),此時(shí)由a,b?∠B;亦可由a,∠B?b.

反思比較:①中的已知兩邊求第三邊,②中已知兩邊求內(nèi)角,已知一邊一角求邊長(zhǎng).在解直角三角形,除了直角以外的五個(gè)元素(銳角1,銳角2,直角邊1,直角邊2,斜邊)知二求三.

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一個(gè)由特殊到一般,先猜想再到精準(zhǔn)驗(yàn)證的過程.由三角形的三邊關(guān)系(不等關(guān)系:兩邊之和大于第三邊),到直角三角形條件下的等量關(guān)系(勾股定理),而銳角三角函數(shù)則在勾股定理的基礎(chǔ)上得到了邊角之間的互推關(guān)系,銳角三角函數(shù)不僅使用起來簡(jiǎn)便,更是勾股定理的延伸和補(bǔ)充.

2.5 總結(jié)

以上示例,雖然來自不同知識(shí)角度,但也能發(fā)現(xiàn)它們的互通之處:代數(shù)幾何不分家、“數(shù)形結(jié)合”的主線貫穿整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué).教育者可以結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生將各類型知識(shí)串聯(lián),通過類比對(duì)比,不僅能增強(qiáng)學(xué)習(xí)者的對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣,還對(duì)知識(shí)理解的更透徹,更能促進(jìn)學(xué)習(xí)者形成抽象拓展的思考方式.

3 SOLO理論在培養(yǎng)學(xué)習(xí)者抽象拓展思維過程中應(yīng)注意的幾個(gè)方面

3.1 營(yíng)造民主課堂、鼓勵(lì)學(xué)生參與

在教學(xué)中,有較多教師習(xí)慣于“滿堂灌”,學(xué)生在課堂上只是個(gè)勤快的“搬運(yùn)工”.在如此“乖乖聽課”的學(xué)生面前,教學(xué)任務(wù)表面上可以輕松完成,但整個(gè)課堂沒有學(xué)生積極參與、質(zhì)疑、討論、評(píng)價(jià)、反饋,缺乏民主和活力,拓展抽象思維的培養(yǎng)就是空話.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)將“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”和“數(shù)學(xué)教學(xué)”合為“教學(xué)活動(dòng)”.“數(shù)學(xué)活動(dòng)”是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過程,有效的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)是“學(xué)”與“教”的完美統(tǒng)一,學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體,而教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.教師要想辦法營(yíng)造輕松、民主的課堂,讓學(xué)生樂于參與到課堂,為學(xué)生創(chuàng)設(shè)有利于抽象思維發(fā)展的環(huán)境,鼓勵(lì)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題.

3.2 注重一題多解、歸納總結(jié)

抽象拓展思維的培養(yǎng)需要學(xué)習(xí)者從不同的角度去考慮問題,而解題教學(xué)中的一題多解可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)同一問題進(jìn)行多方位思考、探求不同的思維方式.而來自同齡人的思維方式,更易被接受也更能促進(jìn)學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)動(dòng)力.對(duì)于經(jīng)典題型的一題多解,教育者需要及時(shí)將各種解法類比、對(duì)比,從思考角度(我們最容易想到的)、解題方式(運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn))、計(jì)算量大小(過程的繁易程度)等方面進(jìn)行歸納總結(jié),幫助學(xué)生把所學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)化,提高學(xué)生思維的靈活性、多向性、深刻性、縝密性,激發(fā)學(xué)生思維的發(fā)散性和概括性,從而促進(jìn)他們抽象拓展思維的全面發(fā)展和提高.

3.3 鼓勵(lì)學(xué)生制作思維導(dǎo)圖

思維導(dǎo)圖,是表達(dá)發(fā)散性思維的有效圖形工具,它簡(jiǎn)單卻又極其有效:將重要知識(shí)點(diǎn)之間的層次性、關(guān)聯(lián)性用圖形工具呈現(xiàn)出來.對(duì)于初中數(shù)學(xué)內(nèi)容的思維導(dǎo)圖的幾個(gè)要點(diǎn):1.要抓住重點(diǎn),不在于篇幅的長(zhǎng)短;2.注重知識(shí)間聯(lián)系;3.樹形結(jié)合,易看、易懂的工具圖讓人愛看;4.享受制作思維導(dǎo)圖的過程,享受數(shù)學(xué)帶來的樂趣.