廣東省廣州彭加木紀(jì)念中學(xué)(510430) 蔡少霞

隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)改革的不斷深入,經(jīng)濟(jì)實(shí)力迅猛增長(zhǎng),高科技和互聯(lián)網(wǎng)急速變化和發(fā)展,我國(guó)社會(huì)對(duì)高素質(zhì)的人才需求日益增加,傳統(tǒng)上的知識(shí)本位的基礎(chǔ)教育顯然遇到挑戰(zhàn).正是在這樣的背景下,教育部修訂了《中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》,基礎(chǔ)教育正從“知識(shí)本位”時(shí)代走向“核心素養(yǎng)”時(shí)代.作為培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的一線的數(shù)學(xué)教師,以課堂為主陣地,提高培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的意識(shí)和能力、加大基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)探究力度勢(shì)在必行.

一、數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的各種表述有異,但教育目標(biāo)一致

隨著數(shù)學(xué)在科技發(fā)展和社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)成了國(guó)際數(shù)學(xué)教育較為關(guān)注的熱點(diǎn)問題,而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的表述各異,但目標(biāo)一致.

國(guó)際PISA給出的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的界定是數(shù)學(xué)素養(yǎng)是一種個(gè)人能力,學(xué)生能確定并理解數(shù)學(xué)在社會(huì)所起的作用,得出有充分根據(jù)的數(shù)學(xué)判斷和能夠有效的運(yùn)用數(shù)學(xué),并認(rèn)為素養(yǎng)是個(gè)體在具體情境中將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的能力.

我國(guó)高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)(修訂稿)定義數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為“學(xué)生應(yīng)具備的能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的、與數(shù)學(xué)有關(guān)的關(guān)鍵能力和思維品質(zhì)”,明確指出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)分析”.

不同專家有不同的表述,但是數(shù)學(xué)教育的核心素養(yǎng)的總目標(biāo)是一致的,正如高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)(修訂稿)指出總目標(biāo)就是:“讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的表達(dá)現(xiàn)實(shí)的世界”.

二、學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)任重道遠(yuǎn),砥礪前行

為了適應(yīng)時(shí)代對(duì)人才的發(fā)展要求和實(shí)現(xiàn)我們的中國(guó)夢(mèng),頂層設(shè)計(jì)的決策人或研究者提出學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的定義,主要是為數(shù)學(xué)教育者特別是廣大一線教師指明了教與學(xué)的重心是由教學(xué)生“學(xué)會(huì)”轉(zhuǎn)成培養(yǎng)學(xué)生“會(huì)學(xué)”,從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).然而數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)既有別于知識(shí)與技能,也不是一般意義上的數(shù)學(xué)能力,畢竟這兩種較容易在課堂上進(jìn)行量化或評(píng)價(jià),評(píng)價(jià)手段較多.但學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是需要教育者長(zhǎng)時(shí)間、有意識(shí)地進(jìn)行培養(yǎng)才能見效的,甚至學(xué)生要等若干年后數(shù)學(xué)學(xué)科的素養(yǎng)才能在解決實(shí)際問題中顯現(xiàn)出來(lái).因此,作為一線的教師,因迫于課時(shí)的緊迫和快速學(xué)會(huì),在課堂常常是重知識(shí)的傳授而輕學(xué)生的真正理解,或重知識(shí)技能的掌握而輕數(shù)學(xué)的本質(zhì)的理解,或重教學(xué)的可以量化的結(jié)果而輕核心素養(yǎng)的培養(yǎng)過(guò)程,從而使數(shù)學(xué)課堂淪為快餐教學(xué),這樣培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就會(huì)輪為一句空話,也勢(shì)必影響這場(chǎng)教育改革的成效.

因此以課堂活動(dòng)為主陣地,提高培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的意識(shí)和能力、加大基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)探究力度勢(shì)在必行.學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)雖任重道遠(yuǎn),教師將砥礪前行.

三、在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的初步探究

建構(gòu)主義理論的教學(xué)觀認(rèn)為:教學(xué)不能無(wú)視學(xué)習(xí)者已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),不能簡(jiǎn)單地強(qiáng)硬地從外部對(duì)學(xué)習(xí)者實(shí)施知識(shí)的“填灌”,而是應(yīng)該把學(xué)習(xí)者原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)習(xí)者從原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中,主動(dòng)建構(gòu)新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn).因此教師和學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生之間,需要共同針對(duì)某些問題進(jìn)行探索,并在探索的過(guò)程中相互交流和質(zhì)疑.下面就課堂教學(xué)如何落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行初步探究.

(一)創(chuàng)設(shè)有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)環(huán)境

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主陣地是在課堂,最主要的導(dǎo)師就是一線教師.教師如何設(shè)計(jì)課堂的教學(xué)活動(dòng)就直接影響到培養(yǎng)學(xué)生的方向和效果.那么教師要精心創(chuàng)設(shè)有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)環(huán)境很重要.

案例節(jié)選1以高中數(shù)學(xué)人教版必修4第一章1.2.1《任意角的三角函數(shù)》.本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是任意角的正弦、余弦、正切的定義.

師:在初中,同學(xué)們學(xué)過(guò)銳角三角函數(shù),還記得它們的定義嗎?

生:銳角的正弦值是對(duì)比斜,余弦是鄰比斜,正切是對(duì)比鄰.

雖說(shuō)語(yǔ)言不算很規(guī)范,但此時(shí)的口頭回答可以看出他們非常熟練.

師:大家知道它們?cè)谑裁辞疤釛l件下定義的?自變量又是什么?函數(shù)值是什么?

生:條件是直角三角形,自變量是直角三角形中的銳角;函數(shù)值是長(zhǎng)度與長(zhǎng)度的比值.

設(shè)計(jì)意圖在學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā),即學(xué)生對(duì)自變量是角度且函數(shù)值是長(zhǎng)度的比值的銳角三角函數(shù)已有的幾何直觀的認(rèn)知基礎(chǔ)上,為后面的第一象限角的銳角三角函數(shù)的探究做了鋪墊.

師:我們剛學(xué)過(guò),銳角是第幾象限的角?

生:第一象限.

師:我們探索在直角坐標(biāo)中第一象限的銳角三角函數(shù)能否可以用角的終邊上的點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)來(lái)表達(dá)呢?如圖1.

圖1

生:過(guò)P點(diǎn)作x軸的垂線,垂足設(shè)為M,這樣就跟初中的定義一樣了

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生合作、探究用坐標(biāo)法來(lái)表示銳角三角函數(shù),這種由直角三角形的銳角三角函數(shù)到第一象限的銳角的三角函數(shù),從原來(lái)的的邊長(zhǎng)比到坐標(biāo)比,既自然又達(dá)到承前啟后的連接.這能提高學(xué)生用建構(gòu)思想解決問題的意識(shí),培養(yǎng)學(xué)生在解決一個(gè)新問題時(shí)要善用觀察、猜測(cè)、類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

師:如果在終邊取異于P點(diǎn)的另一點(diǎn),則α的三個(gè)三角函數(shù)值會(huì)改變嗎?

生:不會(huì)改變.可以用相似三角形的相似比相等證明.

師生共總結(jié):第一象限的銳角α的三角函數(shù)值與α的終邊所取點(diǎn)的位置無(wú)關(guān):

從而引出銳角的三角函數(shù)的定義的本質(zhì).其中α是自變量.剛總結(jié)完,心急的學(xué)生已經(jīng)提問.

生:鈍角或者其他角的三角函數(shù)呢?

本節(jié)課采取層層遞進(jìn)的方式來(lái)引出任意角的三角函數(shù)的定義,很自然到這里會(huì)有個(gè)別好奇的學(xué)生會(huì)有提出新的問題,這是教師可以預(yù)知的.但是以學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)很難說(shuō)明鈍角甚至是任意角的三角函數(shù)值也是如此.此時(shí),老師可以利用幾何畫板計(jì)算各種角度的相應(yīng)函數(shù)值.讓學(xué)生感知在角的變化過(guò)程中,角的三角函數(shù)值始終只與角的終邊過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)相應(yīng)比值不變;同時(shí)也從直觀的角度感知信息技術(shù)日新月異,當(dāng)碰到解決問題有疑惑或困難時(shí),借助信息技術(shù)幫助自己也是方法之一.培養(yǎng)學(xué)生問題意識(shí)并能利用身邊的人或工具解惑的積極心態(tài).

生:上方標(biāo)注①中,α可以改成任意角了.師:沒錯(cuò).大家思考:既然任意α的三角函數(shù)值與α的終邊所取點(diǎn)的位置無(wú)關(guān),那么能否選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn),使得①的表達(dá)式簡(jiǎn)單呢?

學(xué)生開始嘗試取特殊角,然后帶不同點(diǎn)去表達(dá),也有觀察到結(jié)構(gòu)中分母的“繁”,經(jīng)討論得出方法.

生:取與原點(diǎn)的距離是1的點(diǎn),表達(dá)式會(huì)簡(jiǎn)化.

師:很好!與原點(diǎn)距離為1的圓叫做單位圓.那么下面我們就利用單位圓定義任意角的三角函數(shù).(后面案例略)

設(shè)計(jì)意圖從復(fù)雜變簡(jiǎn)單,這是數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單化原則,也是數(shù)學(xué)簡(jiǎn)約思想.它是一個(gè)學(xué)生很重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng).從知識(shí)角度講,引進(jìn)單位圓為后面研究三角函數(shù)的圖像等知識(shí)奠定了很好的基礎(chǔ).

美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯認(rèn)為:問題是數(shù)學(xué)的心臟.在教學(xué)過(guò)程中,應(yīng)該是通過(guò)有意義的問題情境,讓學(xué)生通過(guò)不斷地發(fā)現(xiàn)問題和解決問題,來(lái)學(xué)習(xí)與所探究的問題有關(guān)的知識(shí),形成解決新問題的技能以及自主學(xué)習(xí)的能力,從而在教學(xué)的探究活動(dòng)中不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

(二)當(dāng)精心創(chuàng)設(shè)的教學(xué)活動(dòng)與課堂生成矛盾時(shí),巧妙利用意外的課堂一樣精彩

葉瀾教授說(shuō)過(guò):課堂是向未知方向挺進(jìn)的旅程,隨時(shí)都有可能發(fā)生意外的通道和魅力的因素,而不是一切都必須遵循固定路線而沒有激情的行程.教師要精心創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生探究的教學(xué)活動(dòng)固然重要,但畢竟是教師設(shè)計(jì)的,難免課堂有時(shí)會(huì)有意外.學(xué)生可能會(huì)按自己的興趣選擇和確定數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的內(nèi)容,那么學(xué)生就成為某一個(gè)探究問題的提出者、設(shè)計(jì)者、實(shí)施者,學(xué)生真正被置于學(xué)習(xí)的主體地位,他們的主觀積極性便得到極大的調(diào)動(dòng).自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí),積極探究數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系,自然就有了積極的內(nèi)在動(dòng)力.

案例節(jié)選2在體育班的相互獨(dú)立事件的概率的一節(jié)課中,學(xué)生已經(jīng)會(huì)用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算一些事件的概率之后,

生:如果讓陳偉和李鳴他們?nèi)ケ荣?各投籃3次,那李鳴勝了陳偉的概率有多大?

因班里有兩個(gè)男生的投籃技術(shù)都是杠杠的.平時(shí)就喜歡拿這兩個(gè)同學(xué)比較、開玩笑.看來(lái)他們這次是挺來(lái)勁的,都想借助剛學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)玩玩他們.這完全不是我設(shè)計(jì)的例題或訓(xùn)練題,要接這招,這題對(duì)他們來(lái)說(shuō)難度不小.若要婉轉(zhuǎn)的換題,那就太打擊他們的熱情和積極性.況且學(xué)生的探討的問題也能吻合本節(jié)課的教學(xué)主題和目標(biāo),我想兩全其美的方法還是為他們?cè)O(shè)置臺(tái)階,讓他們一步一步上.但我還是不想立即為他們鋪設(shè)臺(tái)階,看看再說(shuō).

師:要知道結(jié)果,那得先知道什么條件?

生:先要知道他們投籃一次的命中率.此時(shí)學(xué)生七嘴八舌的說(shuō)了一些數(shù)據(jù).

陳偉(化名):我應(yīng)該有80%.

李鳴(化名):我大概有75%的命中率.

生1:怎么有可能李鳴還能勝陳偉呢?李鳴命中率還低過(guò)陳偉.

生2:怎么不可能,只是概率應(yīng)該不高而已.

這時(shí)各小組都開始猜、討論、爭(zhēng)辯了起來(lái).連平時(shí)不太自信的學(xué)生也陸續(xù)參與討論,我是暗中竊喜呀.

陸續(xù)也有兩個(gè)小組能有樹狀圖表達(dá)出李鳴勝出的各種結(jié)果.我走到那些還沒討論出結(jié)果的小組中,問他們是否需要我的指導(dǎo),竟然沒有小組愿意接受幫助.最后各個(gè)小組都能分好類,有樹狀圖的,有文字說(shuō)明的,有列表的.其中有個(gè)小組的表格很吸引我的眼球,很清晰地標(biāo)出了李鳴勝了陳偉的比賽情況表.

圖2

此時(shí),他們似乎大功告成.我表?yè)P(yáng)了他們能把陳李鳴勝出的情況分類分得對(duì),很不錯(cuò)了.但是“革命尚未成功,同志仍需努力”.到底最終李鳴能勝出的概率又是多少呢?不少學(xué)生已經(jīng)在計(jì)算著.

我發(fā)現(xiàn)計(jì)算快的結(jié)果的是將命中率百分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)來(lái)計(jì)算,計(jì)算得慢的就是采用小數(shù)來(lái)運(yùn)算.

最后我投影三種分析過(guò)程和兩種不同的算法過(guò)程,讓學(xué)生比較.學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)化的多樣性以及簡(jiǎn)單的數(shù)值運(yùn)算或代數(shù)化簡(jiǎn)等也需要智慧的.

課堂是一種動(dòng)態(tài)的過(guò)程,課前再精心的設(shè)計(jì),也無(wú)法預(yù)知課堂的全部細(xì)節(jié).因此對(duì)課堂要有進(jìn)行有效的調(diào)控.有時(shí)候,教師不必拘泥于課前的教學(xué)設(shè)計(jì),巧妙利用意外的課堂也一樣精彩.正如我碰到的這次意外,雖然最后也有一些學(xué)生因?qū)χR(shí)理解的缺陷或者運(yùn)算能力較弱等原因而沒能計(jì)算正確,而且答題也不太規(guī)范,數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)也未必盡善盡美,但并不妨礙他們探究的熱情,我能真真切切地感受到學(xué)生因與他人的討論所發(fā)生的思維碰撞以及與他人分享果實(shí)的快樂.

教學(xué)意圖放手讓學(xué)生在感興趣的問題上用數(shù)學(xué)的知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)世界出現(xiàn)的問題,同時(shí)也在生活問題上感知數(shù)學(xué)的本質(zhì).本題中無(wú)論是用樹狀圖還是圖表來(lái)表達(dá)李鳴能夠勝的可能性,其實(shí)就是將現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化的過(guò)程;鼓勵(lì)學(xué)生用語(yǔ)言表達(dá)李鳴勝出的幾種可能,有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界;其中分類討論的數(shù)學(xué)思想方法以及數(shù)據(jù)分析的過(guò)程中滲透著邏輯推理,最后結(jié)果的數(shù)值運(yùn)算等都是教師可以抓住培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的契機(jī),豈容錯(cuò)過(guò)!

心理學(xué)家研究表明:每個(gè)學(xué)生都有分析、解決問題的潛能和創(chuàng)造力,關(guān)鍵要有好的素材和情境.教師既要精心創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生探究的教學(xué)活動(dòng)但又不拘泥原先的設(shè)計(jì),要抓住數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、熟知學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,創(chuàng)設(shè)合適的情境、提出探究的問題,啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考、鼓勵(lì)學(xué)生與他人交流,在掌握知識(shí)技能的同時(shí)理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)、形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),以促進(jìn)學(xué)生全方面的發(fā)展.