解 靜，吳建福，胡永富

(1.北京空間機電研究所, 北京 100094； 2.中國空間技術(shù)研究院 天基空間目標(biāo)監(jiān)視技術(shù)核心專業(yè)實驗室， 北京 100094)

光學(xué)系統(tǒng)可以看作一個空間頻率的濾波器，它的成像特性和像質(zhì)評價可以用物像之間的頻譜比來表示[1]。利用光學(xué)調(diào)制傳遞函數(shù)(modulation transfer function，MTF)作為重要指標(biāo)測試鏡頭品質(zhì)的方法已被廣泛認可，這種方法具有測量可量化、精確客觀等特點[2]。MTF的檢測系統(tǒng)隨著技術(shù)的發(fā)展也在不斷進步。由于CCD等成像器件的出現(xiàn)及發(fā)展使得基于圖像分析的MTF測試方法有了廣泛的應(yīng)用前景，并使得快速方便地構(gòu)建一個MTF測試系統(tǒng)成為可能。目前常用的測試MTF的方法有狹縫法、刃邊法、矩形波板法等[2-4]。這些方法均通過直接對圖像進行頻譜分析得到系統(tǒng)的MTF，但一次只能獲得一個方向的MTF，且計算方法對噪聲敏感，為快速有效地測試帶來了困擾。

由于光學(xué)成像系統(tǒng)可以作為一個空間頻率的濾波器，故可以從濾波的角度出發(fā)來分析成像系統(tǒng)。在圖像復(fù)原中，人們常根據(jù)圖像的退化模型來估計原圖像。同樣地，假若知道了原始圖像，便可以求出圖像的退化函數(shù)，退化函數(shù)即所要求的MTF[5]。本文利用圖像復(fù)原中經(jīng)常用到的逆濾波法、維納濾波法以及約束最小二乘方濾波法來計算成像系統(tǒng)的MTF，力圖找到一種有效的二維MTF測試方法，直接得到各個方向的MTF，且能對噪聲進行一定的抑制，從而實現(xiàn)快速的MTF系統(tǒng)測試。

1 測試理論

成像系統(tǒng)可以看作一個線性、位置不變的過程，系統(tǒng)所成像在頻域圖像的退化模型可以由式(1)表示[6]。

G(u,v)=H(u,v)F(u,v)+N(u,v)

(1)

式中：G(u,v)是所獲得圖像的傅里葉變換；H(u,v)是退化函數(shù)，也就是系統(tǒng)PSF的傅里葉變換，H(u,v)的模即所要求得的MTF；N(u,v)是加性噪聲的傅里葉變換。由式(1)可以看出：H(u,v)和F(u,v)地位是等同的，當(dāng)已知H(u,v)時可以估計出F(u,v)。同理，也可以由F(u,v)求得H(u,v)[6]。在測試光學(xué)系統(tǒng)MTF時，若采用規(guī)則的目標(biāo)物成像，F(xiàn)(u,v)可以通過目標(biāo)物的方程推導(dǎo)求出。

當(dāng)已知噪聲N(u,v)及退化函數(shù)H(u,v)的特性時，復(fù)原圖像為

當(dāng)噪聲的影響很小或者噪聲已經(jīng)被濾除時，N(u,v)可忽略，此時可以得到逆濾波的方法，復(fù)原圖像為

在知道F(u,v)和G(u,v)的情況下，可以反過來得到傳遞函數(shù)H(u,v)為

式(4)稱之為直接逆濾波法，是在噪聲影響很小或者噪聲已被濾除的情況下得到的。由于實際測量過程中噪聲的影響經(jīng)常無法忽略，為此參考在處理存在噪聲的圖像復(fù)原問題時常用到的最小均方誤差濾波(即維納濾波)以及約束最小二乘方濾波器。

(5)

式中：Sη(u,v)為噪聲功率譜；Sf(u,v)為未退化圖像功率譜。若F(u,v)已知，可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(6)

在維納濾波中用到了功率譜比Sη(u,v)/Sf(u,v)。功率譜比的常數(shù)估計一般沒有合適的解[7]，面對該問題人們提出了約束最小二乘方濾波器。這種方法只需噪聲方差與均值的知識。約束最小二乘方濾波法的頻域表示如式(7)所示：

式中：γ是1個參數(shù)，需對它調(diào)整以滿足需要，γ的求取是通過一個約束方程的限定而得到，具體求解可參見文獻[6]；P(u,v)是函數(shù)p(x,y)的傅里葉變換，p(x,y)為拉普拉斯算符。對調(diào)H與F可得系統(tǒng)MTF表達式：

(8)

2 試驗及結(jié)果分析

試驗中選擇頻域表述簡單的圓孔c(x,y,R)作為目標(biāo)物，c(x,y,R)表示如下：

圓孔的傅里葉變換形式為

C(u,v)=RJ1(2πRq)/q

(10)

選擇直徑為20 μm的小孔作為目標(biāo)物，搭建的試驗系統(tǒng)如圖1所示，對相機的中心視場進行測試。試驗中用到的平行光管焦距是200 cm，相機物鏡焦距為50.4 cm，CCD的像素尺寸為4.6 μm×4.6 μm。于是，根據(jù)物體在CCD上的理想成像大小可以得到理想像的頻域分布函數(shù)F(u,v)。由CCD得到的圖像經(jīng)過傅里葉變換后得到G(u,v)。測得的圓孔像如圖2所示，三維顯示見圖3。

圖1 實驗裝置示意圖

圖2 測得圓孔像

圖3 圓孔像的三維顯示

對于測試所得圖片分別采用逆濾波法、維納濾波法以及最小二乘方濾波法來計算系統(tǒng)的MTF，并與傳統(tǒng)的狹縫法測得結(jié)果進行比較，以判斷這些方法的可靠性。狹縫法是利用狹縫模擬一個維度的脈沖函數(shù)，獲得一個方向的MTF值，再通過旋轉(zhuǎn)靶標(biāo)獲得另一個方向的MTF。選取線陣CCD進行成像，其像素大小為7 μm。

1) 直接逆濾波法

在直接逆濾波法中不考慮噪聲帶來的影響，由幾何理想成像的關(guān)系可以計算得出理想像直徑為5 μm 的圓。根據(jù)式(4)得到二維傳遞函數(shù)，如圖4所示。圖5顯示了使用逆濾波法和狹縫法時在子午方向的比較。從圖7可以看出：使用狹縫法得到的結(jié)果與本文提出的逆濾波方法得到的結(jié)果有較好的一致性，證明了算法的正確性。

圖4 逆濾波MTF三維圖像

2) 維納濾波法

圖5顯示直接逆濾波法可以得到比較好的結(jié)果，但傳遞函數(shù)隨著噪聲的增加將受到較大的影響。嘗試利用圖像恢復(fù)的維納濾波法來求MTF。由式(6)可知，除了直接逆濾波法中需要的參數(shù)外，還需要知道起規(guī)整化作用的噪聲功率譜和圖像功率譜的比值Sη(u,v)/Sf(u,v)。但由于這兩個功率譜難于估計，故在實際計算中常采用常數(shù)γ來代替這個比值。在數(shù)值上，γ取觀測圖像信噪比的倒數(shù)[7]。維納濾波MTF三維圖像處理結(jié)果如圖6所示，圖7為使用維納濾波法和狹縫法得到的結(jié)果在子午方向的比較。從圖9可以看出，使用狹縫法得到的結(jié)果與使用本文提出的維納濾波法得到的結(jié)果有較好的一致性。

圖5 逆濾波子午方向MTF圖像

圖6 維納濾波MTF三維圖像

圖7 維納濾波子午方向MTF圖像

3) 約束最小二乘方濾波法

由于在實際計算中需要調(diào)制傳遞函數(shù)，故由式(9)利用最小二乘法計算得出系統(tǒng)傳遞函數(shù)時，除了需要直接逆濾波法所需參量外，還需要未知量γ的值。要求γ是一個必須可以調(diào)整的參量以滿足約束條件。通過迭代處理尋找最優(yōu)的γ值以對噪聲進行抑制處理[7]。約束最小二乘方濾波法處理結(jié)果如圖8所示，圖9為使用約束最小二乘方濾波法和狹縫法時在子午方向的比較。從圖中可以看出，使用狹縫法與本文提出的約束最小二乘方濾波法有較好的一致性。

圖8 約束最小二乘方濾波法MTF三維圖像

圖9 約束最小二乘法子午方向MTF圖像

對以上3種方法在子午方向上的結(jié)果進行比較，結(jié)果如圖10所示，從圖中可以看出：3種方法在噪聲很小的情況下一致性較好，在低頻部分幾乎是相同的，僅在高頻部分有少許不同。為了分析在抑制噪聲方面3種方法的特點與不同，以Zemax中的sc_abin3鏡頭為例，對中心視場點擴散函數(shù)進行分析，并在圖片上人為加入噪聲來觀察不同方法對噪聲的作用效果。

圖11顯示了未加噪聲時3種方法和Zemax給出結(jié)果的比較。幾種方法的測試結(jié)果非常一致。在sc_abin3圖像數(shù)據(jù)上加入方差為0.000 2的高斯噪聲后，采用3種方法計算MTF，結(jié)果如圖12所示。

圖10 照相機物鏡的MTF測試結(jié)果對比

圖11 sc_abin3鏡頭的MTF測試結(jié)果對比

圖12 引入噪聲后3種方法比較

在處理過程中，由于約束最小二乘法在高頻部分對MTF的修正過大出現(xiàn)反轉(zhuǎn)現(xiàn)象，故使用約束最小二乘法時截去奈奎斯特頻率外的高頻部分?？梢钥闯觯?種濾波法在求MTF時對噪聲的抑制作用是不同的。直接逆濾波法和維納濾波法幾乎得到了一樣的結(jié)果，與理論值存在一定誤差；而約束最小二乘法的抑制噪聲效果最好，其結(jié)果也最接近未加噪聲前的理論值。然而，上述方法雖然對噪聲具備抑制作用，但獲得的MTF曲線存在抖動，最終需加入適當(dāng)?shù)钠交瑪M合處理后，可得到理想的MTF測試結(jié)果。

3 結(jié)束語

利用圖像處理的思想可以得到一種新的MTF的檢測方法：約束最小二乘方濾波法求取MTF值。與目前常用方法相比，這種方法不僅可以方便地在一次測量中獲得多維度的MTF結(jié)果，而且在抑制噪聲上具有良好的效果。值得注意的是，在實際測試中需要形狀規(guī)則完美的圓孔才能獲得準(zhǔn)確的MTF，而隨著工藝的進步，完美圓孔的獲取已不是問題。另外，可以采取添加中繼鏡頭將較大的圓孔轉(zhuǎn)換成需要的小圓孔，從而避免小孔亮度低的情況發(fā)生。綜合考慮，在計算技術(shù)已經(jīng)高度發(fā)達的今天，這種獲得MTF的方法具有一定的參考意義。