張美芳
(福建省泉州市第九中學(xué),福建 泉州)
數(shù)學(xué)的本體性知識既包括顯性的可言傳的數(shù)學(xué)知識,也包括隱性的數(shù)學(xué)素養(yǎng),數(shù)學(xué)思想方法及能力是兩者的統(tǒng)一。極限思想是高中數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系紐帶,極限思想的學(xué)習(xí)和應(yīng)用,對于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識,提高自身解決數(shù)學(xué)問題的能力,促進(jìn)自身數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合發(fā)展有著極其重要的作用。
在高中的數(shù)學(xué)課本上,并沒有對極限的概念明確給出定義,然而在教材的多處內(nèi)容上卻滲透和體現(xiàn)了極限思想,如“區(qū)間的無窮遠(yuǎn)”“二分法求方程的近似解”“函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念”等。極限思想是“使數(shù)學(xué)真正成為科學(xué),使數(shù)學(xué)在應(yīng)用方面和純理論方面發(fā)展成為豐富而正確的科學(xué),進(jìn)步成為深奧嚴(yán)格的科學(xué)的思想,滲透于整個數(shù)學(xué)中,并總是在活躍著的思想”。
極限的思想,是指用極限的概念分析和解決問題的思想,是一種無限接近于精準(zhǔn)答案的思想,它可以幫助人們在有限中認(rèn)識無限,在近似中認(rèn)識精確。在高中階段,對于極限思想的學(xué)習(xí)主要集中在解題中的運(yùn)用。下面通過一些例題的分析來提高對極限思想在解題中運(yùn)用的理解。
【例1】(2011年山東高考理科數(shù)學(xué)第16題)
已知函數(shù)f(x)=logax+x-b(a>0,a≠1),當(dāng)2<a<3<b<4時,函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0∈(n,n+1),n∈N*,則n=_______。
解析:因?yàn)閍>2,f(x)在(n,n+1)時單調(diào)遞增。由題意可得,f(n)f(n+1)<0,則f(n)=logan+n-b<0,f(n+1)=loga(n+1)+n+1-b>0,當(dāng)a→2,b→3時log2n+n-3≤0,當(dāng)a→3,b→4時,log3(n+1)+(n+1)-4≥0,因?yàn)閚∈N*,因此n=2。
單調(diào)函數(shù)在開區(qū)間求范圍問題,把區(qū)間端點(diǎn)代入求值,是極限思想方法的應(yīng)用。在上題中,我們將問題中的變量無限逼近某個具體的數(shù)值,這樣使問題的隱含條件暴露,使問題容易進(jìn)行分析判斷。
【例2】(2015年高考全國卷Ⅰ卷理科16題)
在平面四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是_________。
解析:如圖,構(gòu)造一個以∠B,∠C為底角的等腰三角形EBC,∠B=∠C=75°,過點(diǎn)C作CF=2,與EB交于點(diǎn)F,作AD∥CF,則∠A=75°,當(dāng)A→E時,AB最長。在△EBC中,由正弦定理得,因此當(dāng)A→F時,AB最短,此時,得,所以
在上題的解法中,“化靜為動,以動制靜”,利用運(yùn)動和變化的觀點(diǎn),著眼于問題的極限狀態(tài),摒棄了繁瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算,使得所研究問題更加直觀、明朗。因此,根據(jù)問題的不同條件和特點(diǎn),合理選擇運(yùn)算途徑是提高運(yùn)算能力的關(guān)鍵,而靈活地利用極限思想就成為減少運(yùn)算量的一條重要途徑。
在高考中我們經(jīng)常會碰到一些“無限性”特征的問題,有可能是變量取值的無限趨近,動點(diǎn)或者圖形的無限趨近,也或者是參數(shù)的無限趨近,這些都可以采取極限思想進(jìn)行解題,通過以上幾個具體例子的展示,采用極限思想解題,避免了繁雜的運(yùn)算,使抽象的條件更為具體,活化了思維,提高學(xué)生解決問題的能力。
極限思想從哲學(xué)的角度揭示了變與不變、近似與精確、有限與無限的對立統(tǒng)一規(guī)律。在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中滲透極限的思想,對于提升學(xué)生的思維層次和數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)有著積極的作用。
1.極限思想在高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容中有很多的體現(xiàn),但是作為高中教材的隱形課程資源,它不成體系,還有待進(jìn)一步的挖掘。因此,教師在教學(xué)的過程中,要樹立課程意識,把極限思想方法的教學(xué)融入備課環(huán)節(jié),以教材內(nèi)容為載體,依據(jù)學(xué)生的學(xué)情,挖掘教材中能夠滲透極限思想的因素。
2.極限思想對于學(xué)生來說,是抽象和陌生的,因此教師要認(rèn)真研讀教材,精準(zhǔn)定位極限思想的落腳點(diǎn),使學(xué)生對于極限思想的模糊印象變?yōu)榍逦?。高中階段學(xué)習(xí)極限思維,主要還是體現(xiàn)在解題的應(yīng)用方面,學(xué)生可以通過習(xí)題課和復(fù)習(xí)教學(xué),逐步提高利用極限思想分析和解決問題的能力,讓學(xué)生體驗(yàn)極限思想在解題上的簡捷性和優(yōu)越性,感受極限思維在解題應(yīng)用中的魅力所在,加深理解和印象。