張美芳

（福建省泉州市第九中學(xué)，福建 泉州）

一、數(shù)學(xué)本體性知識和極限思想的概述

數(shù)學(xué)的本體性知識既包括顯性的可言傳的數(shù)學(xué)知識，也包括隱性的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，數(shù)學(xué)思想方法及能力是兩者的統(tǒng)一。極限思想是高中數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系紐帶，極限思想的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，對于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，提高自身解決數(shù)學(xué)問題的能力，促進(jìn)自身數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合發(fā)展有著極其重要的作用。

在高中的數(shù)學(xué)課本上，并沒有對極限的概念明確給出定義，然而在教材的多處內(nèi)容上卻滲透和體現(xiàn)了極限思想，如“區(qū)間的無窮遠(yuǎn)”“二分法求方程的近似解”“函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念”等。極限思想是“使數(shù)學(xué)真正成為科學(xué)，使數(shù)學(xué)在應(yīng)用方面和純理論方面發(fā)展成為豐富而正確的科學(xué)，進(jìn)步成為深奧嚴(yán)格的科學(xué)的思想，滲透于整個數(shù)學(xué)中，并總是在活躍著的思想”。

極限的思想，是指用極限的概念分析和解決問題的思想，是一種無限接近于精準(zhǔn)答案的思想，它可以幫助人們在有限中認(rèn)識無限，在近似中認(rèn)識精確。在高中階段，對于極限思想的學(xué)習(xí)主要集中在解題中的運(yùn)用。下面通過一些例題的分析來提高對極限思想在解題中運(yùn)用的理解。

二、極限思想在解題中的具體應(yīng)用

【例1】（2011年山東高考理科數(shù)學(xué)第16題）

已知函數(shù)f（x）=logax+x-b（a＞0，a≠1），當(dāng)2＜a＜3＜b＜4時，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)x0∈（n，n+1），n∈N*，則n=_______。

解析：因?yàn)閍＞2，f（x）在（n，n+1）時單調(diào)遞增。由題意可得，f（n）f（n+1）＜0，則f（n）=logan+n-b＜0，f（n+1）=loga（n+1）+n+1-b＞0，當(dāng)a→2，b→3時log2n+n-3≤0，當(dāng)a→3，b→4時，log3（n+1）+（n+1）-4≥0，因?yàn)閚∈N*，因此n=2。

單調(diào)函數(shù)在開區(qū)間求范圍問題，把區(qū)間端點(diǎn)代入求值，是極限思想方法的應(yīng)用。在上題中，我們將問題中的變量無限逼近某個具體的數(shù)值，這樣使問題的隱含條件暴露，使問題容易進(jìn)行分析判斷。

【例2】（2015年高考全國卷Ⅰ卷理科16題）

在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是_________。

解析：如圖，構(gòu)造一個以∠B，∠C為底角的等腰三角形EBC，∠B=∠C=75°，過點(diǎn)C作CF=2，與EB交于點(diǎn)F，作AD∥CF，則∠A=75°，當(dāng)A→E時，AB最長。在△EBC中，由正弦定理得，因此當(dāng)A→F時，AB最短，此時，得，所以

在上題的解法中，“化靜為動，以動制靜”，利用運(yùn)動和變化的觀點(diǎn)，著眼于問題的極限狀態(tài)，摒棄了繁瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算，使得所研究問題更加直觀、明朗。因此，根據(jù)問題的不同條件和特點(diǎn)，合理選擇運(yùn)算途徑是提高運(yùn)算能力的關(guān)鍵，而靈活地利用極限思想就成為減少運(yùn)算量的一條重要途徑。

在高考中我們經(jīng)常會碰到一些“無限性”特征的問題，有可能是變量取值的無限趨近，動點(diǎn)或者圖形的無限趨近，也或者是參數(shù)的無限趨近，這些都可以采取極限思想進(jìn)行解題，通過以上幾個具體例子的展示，采用極限思想解題，避免了繁雜的運(yùn)算，使抽象的條件更為具體，活化了思維，提高學(xué)生解決問題的能力。

三、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)如何培養(yǎng)學(xué)生的極限思維

極限思想從哲學(xué)的角度揭示了變與不變、近似與精確、有限與無限的對立統(tǒng)一規(guī)律。在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中滲透極限的思想，對于提升學(xué)生的思維層次和數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)有著積極的作用。

1.極限思想在高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容中有很多的體現(xiàn)，但是作為高中教材的隱形課程資源，它不成體系，還有待進(jìn)一步的挖掘。因此，教師在教學(xué)的過程中，要樹立課程意識，把極限思想方法的教學(xué)融入備課環(huán)節(jié)，以教材內(nèi)容為載體，依據(jù)學(xué)生的學(xué)情，挖掘教材中能夠滲透極限思想的因素。

2.極限思想對于學(xué)生來說，是抽象和陌生的，因此教師要認(rèn)真研讀教材，精準(zhǔn)定位極限思想的落腳點(diǎn)，使學(xué)生對于極限思想的模糊印象變?yōu)榍逦?。高中階段學(xué)習(xí)極限思維，主要還是體現(xiàn)在解題的應(yīng)用方面，學(xué)生可以通過習(xí)題課和復(fù)習(xí)教學(xué)，逐步提高利用極限思想分析和解決問題的能力，讓學(xué)生體驗(yàn)極限思想在解題上的簡捷性和優(yōu)越性，感受極限思維在解題應(yīng)用中的魅力所在，加深理解和印象。