趙國(guó)榮，廖海濤，韓 旭，王元鑫

（海軍航空大學(xué)，山東煙臺(tái)264001）

近年來(lái)，網(wǎng)絡(luò)化多傳感器融合估計(jì)以其一系列優(yōu)點(diǎn)已被廣泛應(yīng)用于環(huán)境監(jiān)測(cè)、目標(biāo)跟蹤、導(dǎo)航定位等領(lǐng)域[1-7]。分布式一致性融合估計(jì)算法以其收斂速度快、融合精度高等優(yōu)點(diǎn)引起了廣泛的關(guān)注與研究[8-12]。該類算法中每個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)均能視為融合節(jié)點(diǎn)，通過(guò)利用局部信息一致化全局信息，最終使得所有傳感器節(jié)點(diǎn)對(duì)目標(biāo)的估計(jì)趨于一致[13-16]。文獻(xiàn)[13]設(shè)計(jì)了一種卡爾曼一致性濾波算法（KCF），各傳感器節(jié)點(diǎn)接收鄰居節(jié)點(diǎn)的測(cè)量值、狀態(tài)估計(jì)值和協(xié)方差值并進(jìn)行一致化處理，使得所有傳感器節(jié)點(diǎn)的估計(jì)值趨于一致。為了提高KCF算法的估計(jì)精度和一致性，文獻(xiàn)[14-15]分別對(duì)KCF算法進(jìn)行了改進(jìn)。前者通過(guò)對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行加權(quán)一致化處理，提出了一種信息矩陣加權(quán)一致性濾波算法（IM-KCF），并對(duì)加權(quán)系數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。后者則是通過(guò)一致化鄰居節(jié)點(diǎn)前一時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值來(lái)修正局部狀態(tài)預(yù)測(cè)值，并給出了一種一致性增益的取值方法。文獻(xiàn)[16]通過(guò)設(shè)計(jì)濾波器增益的方法提出了一種基于一致性的線性濾波算法，該算法僅需交換各節(jié)點(diǎn)的局部狀態(tài)估計(jì)值，相比KCF算法計(jì)算量大大減少。以上文獻(xiàn)均沒有考慮網(wǎng)絡(luò)丟包問(wèn)題。

在實(shí)際的應(yīng)用中，由于網(wǎng)絡(luò)堵塞、外界干擾、傳感器故障等因素影響，網(wǎng)絡(luò)丟包不可避免。丟包問(wèn)題往往造成分布式一致性估計(jì)算法的估計(jì)精度變差、抗干擾能力減弱，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。目前，針對(duì)這一問(wèn)題已有一些研究。文獻(xiàn)[17]提出了帶丟包的分布式一致性濾波算法，并發(fā)現(xiàn)通過(guò)對(duì)起“領(lǐng)導(dǎo)”作用的傳感器節(jié)點(diǎn)進(jìn)行控制可以降低丟包對(duì)融合性能的影響。文獻(xiàn)[18-19]通過(guò)設(shè)計(jì)自適應(yīng)一致性權(quán)重值來(lái)解決數(shù)據(jù)丟包的問(wèn)題，不同的是文獻(xiàn)[18]是根據(jù)各節(jié)點(diǎn)的估計(jì)值偏差大小來(lái)自適應(yīng)修正一致性參數(shù)值，而文獻(xiàn)[19]則是利用模糊集合理論將不同節(jié)點(diǎn)對(duì)目標(biāo)狀態(tài)不同的估計(jì)確信度引入到一致性權(quán)重值的更新中。以上文獻(xiàn)均著重考慮觀測(cè)數(shù)據(jù)丟失下的融合算法設(shè)計(jì)，且對(duì)觀測(cè)丟失沒有補(bǔ)償，對(duì)局部狀態(tài)估計(jì)值的丟失問(wèn)題沒有進(jìn)行研究。在分布式一致性框架下，各節(jié)點(diǎn)間局部狀態(tài)估計(jì)值的交換對(duì)估計(jì)器的融合性能起著至關(guān)重要的作用。因此，局部估計(jì)值的丟失問(wèn)題不容忽視。

基于以上分析，區(qū)別于文獻(xiàn)[17-19]，本文考慮的隨機(jī)丟包現(xiàn)象存在于各傳感器節(jié)點(diǎn)間局部狀態(tài)估計(jì)值傳輸?shù)倪^(guò)程中，并對(duì)丟包進(jìn)行了補(bǔ)償?？紤]到求得最優(yōu)局部估計(jì)器增益的解析形式較為困難，利用不等式理論得到了一組次優(yōu)估計(jì)器增益。同時(shí)，基于Lyapunov理論對(duì)算法的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。最后，通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了算法的有效性。

1 問(wèn)題描述

考慮如下線性離散動(dòng)態(tài)隨機(jī)系統(tǒng)：

式（1）、（2）中：x(k)∈?n和分別表示系統(tǒng)的狀態(tài)和第i個(gè)傳感器的測(cè)量輸出；A(k)∈?n×n和Ci(k)∈?mi×n表示系統(tǒng)矩陣和測(cè)量矩陣；系統(tǒng)噪聲w(k)∈?n和測(cè)量噪聲是零均值互不相關(guān)白噪聲，且滿足：

式（3）中：W和Vi分別是系統(tǒng)噪聲和測(cè)量噪聲的協(xié)方差矩陣；Ε{?}表示數(shù)學(xué)期望。

假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)值x(0)=x0，x0服從期望為μ0、協(xié)方差矩陣為P0的高斯分布，且與w(k)、vi(k)互不相關(guān)。

在分布式一致性融合框架下，各傳感器節(jié)點(diǎn)均能視為融合節(jié)點(diǎn)。第i個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)分兩步計(jì)算得到分布式一致性融合狀態(tài)估計(jì)值(k)。

Step 1：傳感器節(jié)點(diǎn)j(j=1,2,…,N)采用Luenberger型估計(jì)器產(chǎn)生局部狀態(tài)估計(jì)值φj(k)，形式為：

式中，Lj(k)為估計(jì)器增益。

Step 2：由于網(wǎng)絡(luò)延時(shí)、網(wǎng)絡(luò)堵塞、外界干擾等因素影響，傳感器節(jié)點(diǎn)j向節(jié)點(diǎn)i(i≠j)發(fā)送局部狀態(tài)估計(jì)值時(shí)會(huì)出現(xiàn)數(shù)據(jù)包丟失現(xiàn)象，本文將節(jié)點(diǎn)j的局部狀態(tài)估計(jì)丟失現(xiàn)象描述為：

式中，zji(k)表示節(jié)點(diǎn)j到達(dá)節(jié)點(diǎn)i處的信號(hào)。

{γji(k)}是滿足Bernoulli分布的隨機(jī)變量序列且不相關(guān)于其他變量，其概率分布為：

式中，αji表示傳感器節(jié)點(diǎn)j與i間傳輸通道的丟包率，滿足0＜αji＜1。

當(dāng)γji(k)=1時(shí)，節(jié)點(diǎn)j發(fā)送到節(jié)點(diǎn)i的局部狀態(tài)估計(jì)值沒有丟失；γji(k)=0時(shí)表示局部狀態(tài)估計(jì)值丟失。為了減少丟包對(duì)節(jié)點(diǎn)i融合性能的影響，當(dāng)節(jié)點(diǎn)j向節(jié)點(diǎn)i傳輸?shù)木植抗烙?jì)值丟失時(shí)，采用上一時(shí)刻融合節(jié)點(diǎn)i處融合估計(jì)值的一步預(yù)測(cè)值作為補(bǔ)償，稱為重組局部狀態(tài)估計(jì)，記為，計(jì)算式為：

傳感器節(jié)點(diǎn)i將接收到的全部重組局部狀態(tài)估計(jì)值進(jìn)行一致性加權(quán)融合，得分布式一致性估計(jì)值為：

式（8）中，pji(k)=pij(k)表示各節(jié)點(diǎn)間的一致性權(quán)重，且滿足和pji(k)≥0，pji(k)=0表示i和j節(jié)點(diǎn)間無(wú)通信。

注1：為了表述簡(jiǎn)單和方便閱讀，將下文中不會(huì)造成誤解和不會(huì)影響閱讀性的時(shí)間標(biāo)志忽略，例如將A(k)簡(jiǎn)化為A，Ci(k)簡(jiǎn)化為Ci等。

設(shè)融合節(jié)點(diǎn)i的狀態(tài)估計(jì)誤差為εi(k)，即

結(jié)合式（8）、（9）和（10）可得：

為了對(duì)整個(gè)分布式估計(jì)系統(tǒng)的融合性能進(jìn)行分析，建立有限時(shí)域下分布式一致性狀態(tài)融合估計(jì)代價(jià)函數(shù)為：

2 次優(yōu)的分布式一致性估計(jì)器設(shè)計(jì)

在給出主要結(jié)論前，首先給出以下引理。

引理1：[16]對(duì)于任意正整數(shù)N、非負(fù)標(biāo)量組且滿足，向量組和矩陣組，則有以下不等式成立：

定義k時(shí)刻傳感器節(jié)點(diǎn)i處的狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣為，結(jié)合式（11）得：

式（12）等價(jià)于：

從式（13）可以看出，要得到優(yōu)化問(wèn)題（14）的最優(yōu)估計(jì)器增益的精確解析式是非常困難的。因此，本文在保證融合性能損失不大的前提下，通過(guò)最小化代價(jià)函數(shù)的上界，得到一組次優(yōu)的估計(jì)器增益。在給出次優(yōu)解前，首先通過(guò)引理2找到代價(jià)函數(shù)的一個(gè)上界。

引理2：考慮如下差分方程：

式（15）中，Φi(0)=Pi(0),i=1,2,…,N。

對(duì)所有k≥0時(shí)，Pi(k)≤Φi(k)恒成立。

證明：

根據(jù)引理1并結(jié)合式（6）得：

然后，采取數(shù)學(xué)歸納法證明Pi(k+1)≤Φi(k+1)。

當(dāng)k=0時(shí)，由已知條件得Φi(0)=Pi(0)。

假設(shè)k時(shí)刻，Pi(k)≤Φi(k) ，則：

綜合式（15）和（17）可得：Pi(k+1)≤Φi(k+1)成立。證畢。

根據(jù)引理2得到了融合估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣的上界。記Φi(k)為次優(yōu)矩陣，定義次優(yōu)代價(jià)函數(shù)如下：

由引理2可知：

因此，通過(guò)求解式（18）便可得到一組次優(yōu)的估計(jì)器增益Lc(K)，即：

根據(jù)引理2的結(jié)論和分析，以下定理給出優(yōu)化問(wèn)題（20）的最優(yōu)解。

定理1：優(yōu)化問(wèn)題（20）的最優(yōu)解為：次優(yōu)代價(jià)函數(shù)(L(K))的最小值為：

證明：令優(yōu)化問(wèn)題（20）的最優(yōu)解為：

任意一組可行解為：

分別將L*(K)和L(K)代入式（15）得到和。

要證式（22）成立，只需證明：

結(jié)合式（18）和（22），只需證明：

將式（21）代入式（15）得：

容易證明有以下恒等式成立：

則式（26）變形得到：

于是得到：

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，k=0時(shí)，由已知條件知式（25）顯然成立；假設(shè)是正定矩陣，則有：

進(jìn)一步得到：

將式（26）化簡(jiǎn)便得到式（23）。證畢。

3 穩(wěn)定性分析

在證明帶丟包的分布式一致性估計(jì)算法穩(wěn)定性之前，給出如下引理：

引理3：[16]對(duì)于任意正整數(shù)N、非負(fù)標(biāo)量組且滿足，向量組和正定矩陣Q，則有以下不等式成立：

定理2：對(duì)于給定的一致性權(quán)重p(k)，k＞0時(shí)，對(duì)于正定矩陣組，若存在正定對(duì)稱矩陣組和增益矩陣組L(K)滿足以下等式：

則帶丟包的分布式一致性融合狀態(tài)估計(jì)誤差εi(k)在無(wú)噪聲時(shí)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，即。

證明：不考慮隨機(jī)噪聲影響，融合估計(jì)誤差為：

定義Lyapunov函數(shù)：

結(jié)合式（33）和（34）得：

由引理3和γji(k)的定義可得：

將式（36）交換求和順序并合并得到：

令：

即得到式（32）。

從而由以上分析得到了融合估計(jì)誤差漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件。

證畢。

4 算例仿真

考慮由4個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)組成的分布式一致性狀態(tài)融合估計(jì)問(wèn)題，其中目標(biāo)系統(tǒng)方程為：

4個(gè)傳感器的量測(cè)方程為：

q1(k)、q2(k)和q3(k)是互不相關(guān)的零均值白噪聲，其協(xié)方差分別為0.1、0.2和0.3。各初始值取如下：

給定一組一致性權(quán)重如下：

假設(shè)各傳感器節(jié)點(diǎn)間不同傳輸通道的丟包率為：

圖1給出了當(dāng)發(fā)生丟包時(shí)各傳感器節(jié)點(diǎn)對(duì)目標(biāo)軌跡的跟蹤情況。從圖1可見，本文所設(shè)計(jì)的分布式一致性融合估計(jì)算法在丟包時(shí)仍能很好地估計(jì)目標(biāo)信息，且各節(jié)點(diǎn)對(duì)目標(biāo)的估計(jì)趨于一致。

圖2給出了各傳感器節(jié)點(diǎn)次優(yōu)矩陣的跡。從圖2可見，各節(jié)點(diǎn)次優(yōu)矩陣的跡是收斂的。根據(jù)引理4，各節(jié)點(diǎn)融合估計(jì)誤差協(xié)方差的跡也是收斂的，從而驗(yàn)證了定理2的正確性。

圖1 各傳感器節(jié)點(diǎn)目標(biāo)軌跡跟蹤圖Fig.1 Tracking performance of each sensor node

圖2 各傳感器節(jié)點(diǎn)次優(yōu)矩陣的跡Fig.2 Traces of sub-optimal matrices for each sensor node

定義系統(tǒng)的平均估計(jì)誤差和非一致性平均估計(jì)誤差為：

圖3給出了帶補(bǔ)償和無(wú)補(bǔ)償下的估計(jì)誤差對(duì)比。從圖3可見，帶有補(bǔ)償?shù)墓烙?jì)精度和一致性都比無(wú)補(bǔ)償?shù)墓烙?jì)精度和一致性高。從而說(shuō)明本文采用的丟包補(bǔ)償方法能夠改善各傳感器節(jié)點(diǎn)對(duì)目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的估計(jì)精度，增強(qiáng)估計(jì)的一致性。

圖3 帶補(bǔ)償和無(wú)補(bǔ)償?shù)墓烙?jì)誤差對(duì)比Fig.3 Estimated error comparison with compensation and no compensation

5 結(jié)論

本文研究了具有局部狀態(tài)估計(jì)值丟失的網(wǎng)絡(luò)化多傳感器分布式一致性融合估計(jì)問(wèn)題。在各傳感器節(jié)點(diǎn)融合端建立了具有補(bǔ)償?shù)碾S機(jī)丟包模型。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，利用不等式理論得到了一組次優(yōu)估計(jì)器增益，并基于Lyapunov穩(wěn)定性方法得到了估計(jì)器漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件。仿真結(jié)果表明，本文所設(shè)計(jì)的算法能夠有效降低局部狀態(tài)估計(jì)值丟失對(duì)融合性能的影響；同時(shí)也表明當(dāng)發(fā)生丟包時(shí)采用補(bǔ)償比沒有補(bǔ)償具有更高的估計(jì)精度和更好的一致性。