劉天帥, 魏興波, 高先龍

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

0 引 言

自1958年安德森局域[1]提出以來,擴展相到局域相的相變已經被廣泛研究.目前,較為集中的2個研究方向是遷移率邊[2-4]及多體安德森局域[3-5].單體系統(tǒng)相對簡單,但能夠反映出多體系統(tǒng)的部分性質,所以對于單體系統(tǒng)的研究仍具有重要意義.

在多體系統(tǒng)的無序外勢里加入隨機相位,計算能級差比率(定義為相鄰2個能級差的最小值和最大值之比)及其平均值[6-7]是研究不同相統(tǒng)計規(guī)律的一種常見手段.這種方法能夠在有限系統(tǒng)中明確區(qū)分擴展相和局域相.現(xiàn)有的研究結果表明,多體系統(tǒng)中能級差比率的統(tǒng)計平均值在擴展相中會呈現(xiàn)出高斯正交分布(Gauss orthogonal ensemble,GOE)[8],其對應的平均值〈r〉=0.530 7;而在局域相中,能級差比率則表現(xiàn)出泊松統(tǒng)計[9]的特性,對應的平均值〈r〉=0.386 0.但是在一維單體系統(tǒng)中,能級差比率的方法是否依然適用? 是否仍然體現(xiàn)出多體的統(tǒng)計性質? 這還是一個值得研究的問題.

在單體系統(tǒng)中,一維具有準無序外勢的Aubry-André (A-A)模型已被證實了這樣一個結論:隨著無序外勢強度W/t的增加,系統(tǒng)會經歷不同的相:當W/t<2時,系統(tǒng)處于擴展相;當W/t=2時，系統(tǒng)處于臨界相;當W/t>2時,系統(tǒng)處于局域相[10-13].W/t<2和W/t>2的情況已經被大量研究,但是對于W/t=2的情況,尤其是臨界相的能級差比率,至今仍沒有確切的研究結果.臨界相的能級差比率是否也體現(xiàn)出某種統(tǒng)計性質?它的值是否也是確定的?這仍然有待研究.

1 模型及方法

標準的A-A模型其臨界相只是一個點.為了更好地研究臨界相,筆者選取如下的模型進行研究[14],其形式為

-(t+λi-1+Vi-1)ui-1-(t+λi+1+Vi+1)ui+1+Wiui=εiui.

(2)

若令t+λi+Vi=Ti,則方程對應的矩陣為

本文主要采用能級差比率的方法研究臨界相性質.在準無序勢Wi中加入隨機相位計算能級差比率是一種研究系統(tǒng)局域性質常見的方法,能級差比率的定義為

式(4)中:δi= |εi-εi+1|表示相鄰2個能級的能級差.在不同的相中,ri會表現(xiàn)出不同的統(tǒng)計性質,當相位為φW時,能級差比率的平均值

計算能級差比率需要計算整個系統(tǒng)的能級,所以本文采用對角化矩陣的方法進行數(shù)值模擬,當λi=Vi=0時,此模型為標準的A-A模型.當Wi=0時,矩陣只存在非對角線上的躍遷,此時模型變?yōu)榉菍?off-diagonal)A-A模型.

2 結果分析與討論

2.1 Aubry-André 模型

圖1展示了不同系統(tǒng)尺寸下能級差比率的統(tǒng)計平均值與準無序勢強度的關系.由圖1可以看出, 在φW=0時,能級差比率的統(tǒng)計平均值在臨界相、局域相和擴展相3個不同的區(qū)域差異明顯.這就說明,可以在φW= 0時由計算系統(tǒng)的能級差比率來確定3個相的范圍.同時,也可以看到臨界相出現(xiàn)在W/t= 2 時(見圖1(a)),不同系統(tǒng)尺寸下,臨界相的能級差比率的統(tǒng)計平均值都具有相近的值〈r〉≈0.236.當考慮了隨機相位φW的影響時(見圖1(b)),在臨界相區(qū)域,能級差比率〈r〉≈0.320,比0.236 稍大.隨著系統(tǒng)尺寸的增加,系統(tǒng)在擴展相的能級差比率的統(tǒng)計平均值逐漸接近于1,與多體系統(tǒng)中的高斯正交分布不同,原因是單體系統(tǒng)中沒有真正的各態(tài)歷經.同時,在局域相中,能級差比率的統(tǒng)計平均值〈r〉≈0.380.這與多體系統(tǒng)的結果一致,此時能級差比率表現(xiàn)出泊松統(tǒng)計性質.而在臨界相,能級差比率的統(tǒng)計平均值〈r〉≈0.310,有別于局域相和擴展相,是我們發(fā)現(xiàn)的新的統(tǒng)計規(guī)律.

(a)φW=0 (b)φW∈ [0,2π] 的任意隨機數(shù),隨機次數(shù)n= 10 000

圖1 能級差比率的統(tǒng)計平均值與準無序勢強度的關系

2.2 Off-diagonal Aubry-André模型

平均逆參與率(用“MIPR”表示)[14]是研究局域化性質的一種手段,它能夠界定局域相、臨界相、擴展相的范圍,其定義為

圖2展示了不同公度調制和非公度調制下的MIPR.由MIPR的分布可以看出,在非對角A-A模型中,臨界相的范圍由公度調制和非公度調制共同決定,其范圍為λ/t=1-V/t和λ/t=1+V/t.而在臨界相的兩側區(qū)域,MIPR值明顯低于臨界相的值,可以判斷出此時系統(tǒng)處于擴展相.圖3展示的是當φV=0時,不同非公度調制強度V下,能級差比率的統(tǒng)計平均值和公度調制強度的關系.比較圖2和圖3可以發(fā)現(xiàn),二者在相變點附近都具有明顯的變化(圖2、圖3中，系統(tǒng)參數(shù)為：Wi=0;L=987;α=610/987;φV=0).這就說明,φV=0時,能級差比率的統(tǒng)計平均值的確能夠用于確定臨界相的范圍.除此之外,還可以看到,在臨界相的范圍內,能級差比率的統(tǒng)計平均值〈r〉≈0.190,這與A-A模型臨界相的〈r〉不同.說明不同模型下,同為臨界相,其能級差比率的統(tǒng)計平均值并非一個恒定的常數(shù).

圖2 不同公度調制和非公度調制下的MIPR圖3 不同非公度調制強度V下,能級差比率的統(tǒng)計平均值和公度調制強度λ的關系

圖4 考慮φV 為隨機相位時能級差比率的統(tǒng)計平均值與公度調制的關系

波函數(shù)幾率密度也可以體現(xiàn)擴展、臨界、局域性質的不同特征.圖5展示了不同公度調制和非公度調制下基態(tài)對應的波函數(shù)幾率密度,系統(tǒng)參數(shù)為:L=987,α=610/987.圖5(a)對應的能量本征值為E=-2.023 1，當選取V/t=0.5，λ/t=0.3時，相當于圖2中的擴展相區(qū)域(此時λ/t<0.5及λ/t>1.5),可以看到波函數(shù)幾率密度彌散到整個系統(tǒng)空間,故此時系統(tǒng)處于擴展態(tài);圖5(b)對應的能量本征值為E=-2.634 5,當選取V/t=0.5,λ/t=1.0時，相當于圖2中的臨界相區(qū)域(此時0.5<λ/t<1.5),可以看到波函數(shù)幾率密度呈現(xiàn)出既非局域相的δ函數(shù)性質,也非擴展相的性質[15],故系統(tǒng)處于臨界狀態(tài).

3 總 結

本文通過能級差比率方法研究了一維A-A模型和非對角A-A模型中的臨界相,發(fā)現(xiàn)用能級差比率的方法可以直接確定擴展相、臨界相和局域相的范圍,與加入隨機相位后得到的結論一致.另外,不同模型中,臨界相能級差比率的統(tǒng)計平均值是一個不同的常數(shù),但在同一個模型下臨界相具有相同的能級差比率的統(tǒng)計平均值.

下一步,筆者將進一步運用能級差比率方法研究多體系統(tǒng)的臨界相統(tǒng)計性質和多體局域性質.

Wi=0,L=987,α=610/987