陳子燊,曹深西

(1.中山大學水資源與環(huán)境系，廣東 廣州 510275；2. 廣東省海洋發(fā)展規(guī)劃研究中心，廣東 廣州 510220)

全球氣候變化增大了各種水文極端事件發(fā)生的概率和強度，對江河堤岸和水庫大壩等水利工程設施造成了嚴重威脅。評估變化環(huán)境下水文極端事件的風險并提出相應的設計標準是應對洪澇災害的重要科學與工程風險管理問題。洪水過程是由洪峰流量、洪峰水位、洪水總量和洪水歷時等多個特征要素有機組成的一個整體。盡管對多變量洪水頻率分析已經(jīng)有較多的研究[1-6]，但對于給定的洪水多變量重現(xiàn)期水平，存在滿足防洪標準的無窮多種洪峰、洪量組合，它們構(gòu)成了一條等值線(或等值面)，存在較大的不確定性，如何根據(jù)一定的準則科學合理地選擇設計值已成為一個難題[7]。如何在多變量框架下進行洪水聯(lián)合設計值估算及風險評估仍然是一個有爭議的問題，亟待更深入的探索研究[8-9]。

“或”和“且”重現(xiàn)期作為至今最常用的兩種多變量重現(xiàn)期定義方法，在安全與危險事件的判定上都存在著較大局限性[10-11]。本文根據(jù)劃分安全與危險臨界域的新的多變量重現(xiàn)期-Kendall重現(xiàn)期[12-13]，通過實例分析洪峰流量與相應水位的Kendall重現(xiàn)期與“或”重現(xiàn)期、“且”重現(xiàn)期的危險率差異，以出現(xiàn)最大概率原理推算這三種重現(xiàn)期的同頻率聯(lián)合設計值，進一步按不同洪峰流量與水位的遭遇概率推算Kendall重現(xiàn)期的組合設計值，研究結(jié)果可為防洪設計標準與風險管理提供更多的參考。

1 理論與方法

1.1 Copula函數(shù)與首次重現(xiàn)期

根據(jù)Sklar定理，若F(·)是一個二維隨機變量(X，Y)的累積分布函數(shù)，其邊緣分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)u=FX(x),v=FY(y)，則有唯一的Copula函數(shù)C使得：

F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)=

C(FX(x),FY(y))=C(u,v)

(1)

(2)

(3)

“或”重現(xiàn)期和“且”重現(xiàn)期統(tǒng)稱為首次重現(xiàn)期(Primary return periods)。

1.2 Kendall分布函數(shù)與Kendall重現(xiàn)期

從首次重現(xiàn)期可知，不同的u、v組合只要其出現(xiàn)累積概率(記為t)相同都可產(chǎn)生相同的重現(xiàn)期。為解決由“或”首次重現(xiàn)期定義的安全域/危險域存在的誤判問題，Salvadori等[12]利用Nelsen[14]定義的Kendall分布函數(shù)劃分出亞臨界(安全域)、臨界(警戒事件)和超臨界(危險域)三種情景。通過求累積概率小于或等于某臨界概率(記為t)將多維的極值事件投射為一維分布。基于Copula 函數(shù)累積概率t的(u,v)組合值，Kendall分布函數(shù)KC為[15]：

KC(t)=t-φ(t)/φ′(t), 0

(4)

式中，φ′(t)為φ(t)的右導數(shù)。由Kendall分布函數(shù)確定的重現(xiàn)期稱Kendall重現(xiàn)期(Kendall return periods)：

TK(x,y)=1/[1-KC(t)]

(5)

1.3 聯(lián)合分布設計值

(6)

f(u,v)=c(u,v)f(u)f(v)

(7)

式中，c(u,v)為二維copula的概率密度函數(shù)。

2 實例研究

2.1 基本數(shù)據(jù)

高要水文站是國家級水文控制站，集水面積達351 535 km2。其位于珠江流域廣東境內(nèi)的西江下游，上接廣西梧州，下連廣東珠三角經(jīng)濟區(qū)，處于一個重要的防洪戰(zhàn)略位置。按年最大值提取高要水文站1951-2010年歷年洪峰流量Q(m3/s)和同場洪峰水位H(m)作為研究樣本。

2.2 邊緣分布與聯(lián)合分布

采用4種三參數(shù)概率分布：皮爾遜三型分布(PE3)、廣義極值分布(GEV)、廣義正態(tài)分布(GNO)、廣義邏輯斯特分布(GLO)分別擬合洪峰水位和洪峰流量樣本。參數(shù)估計使用線性矩(L-矩)方法。經(jīng)驗頻率分布使用Gringorten公式。擬合結(jié)果采用均方根誤差(RMSE)、和概率點據(jù)相關(guān)系數(shù)(PPCC)檢驗其擬合優(yōu)度。根據(jù)對表1的擇優(yōu)對比，洪峰水位和洪峰流量序列都選用GEV分布。

表1 洪峰流量和水位的概率分布參數(shù)與優(yōu)度檢驗值Table 1 The parameters of the marginal distribution and the values of goodness of fit test

洪峰流量Q和洪峰水位H的Kendall相關(guān)系數(shù)為0.709。采用相關(guān)性指標法計算Gumbel-Hougaard (G-H) copula、Frank copula、A-M-H copula和Clayton copula的參數(shù)θ,θ及相應的AIC和OLS值見表2。以OLS和AIC值最小、擬合度最高的G-H copula構(gòu)建Q和H的聯(lián)合分布模式如下：

C(FQ(q),FH(h))=

exp{-[(-lnFQ(q))3.437+

(-lnFH(h))3.437]1/3.437}

(8)

表2 Copula參數(shù)估計及擬合優(yōu)度評價Table 2 Results of parameter estimation and goodness-of-fit tests for four Copulas

2.3 條件概率分布

分析某特定洪峰流量條件下，出現(xiàn)洪峰水位的概率分布。當給定Q≥q時，H≥h的條件概率為：

P(H≥hQ≥q=

(9)

西江高要站出現(xiàn)概率大于等于0.2%、0.5%、1%、2%、5%、10%和20%(對應重現(xiàn)期分別為500、200、100、50、20、10和5a)的洪峰流量時，出現(xiàn)洪峰水位的條件概率P(H≥h|Q≥q)見表3和圖1。二者遭遇的條件概率有以下特點：同頻率遭遇的概率超過77.7%，主對角線以上二者遭遇的概率則大于94.9%。當洪峰流量大于等于某一設定頻率及其設計值時，洪峰水位出現(xiàn)大于等于該頻率設計值的條件概率隨之增大，以Q出現(xiàn)大于等于概率P1%時的設計洪峰流量(56 775 m3·s-1)為例，洪峰水位出現(xiàn)大于等于P1%、P2%、P5%、P10%、P20%的條件概率分別為0.783、0.972、0.995、0.999、1.000。表3顯示，存在著多種防洪標準的Q-H組合，合理地選擇其組合設計值有利于洪水風險管理。

圖1 洪峰流量和洪峰水位聯(lián)合分布條件概率Fig.1 Conditional probabilities of flood peak discharges and peak levels

2.4 聯(lián)合分布重現(xiàn)期

設定重現(xiàn)期標準下Q-H聯(lián)合分布的三種重現(xiàn)期及其危險率(P)計算結(jié)果見圖2和表4。

表3 Q-H條件概率Table 3 Conditional probabilities of Q-H

圖2 洪峰流量和洪峰水位聯(lián)合分布的三種重現(xiàn)期Fig.2 The return periods of joint distribution of flood peak discharges and peak levels

表4 洪峰流量和洪峰水位聯(lián)合分布的重現(xiàn)期及其危險率Table 4 Return periods and hazard rates for joint distribution of flood peak discharges and peak levels

由式(2)、(3)、(5) 和C的非遞減性可知，對于設定的某一重現(xiàn)期T，“或”重現(xiàn)期、“且”重現(xiàn)期和Kendall重現(xiàn)期符合理論關(guān)系[15]：TOR

2.5 洪峰流量和水位設計值

按設定重現(xiàn)期推算高要站的洪峰流量和水位單變量設計值，以出現(xiàn)概率最大的原理推算Q-H組合的“或”重現(xiàn)期、“且”重現(xiàn)期和Kendall 重現(xiàn)期設計值以及按Q-H同頻率計算的設計值[3]列于表5。結(jié)果顯示，對于設定的重現(xiàn)期，按兩變量“或”重現(xiàn)期或同頻率推算的洪水設計值存在高估問題，將導致投入費用偏大；按兩變量“且”重現(xiàn)期推算的洪水設計值存在低估問題，導致增大防洪工程損毀風險。按Kendall重現(xiàn)期推算的設計洪峰水位和洪峰流量分別小于邊緣分布設計值，二者的相對誤差為-0.8%～-1.1%和-2.1%～-4.1%。這一結(jié)果表明，按單變量洪水要素頻率分析方法已可達到設計洪水安全標準，但按聯(lián)合分布的Kendall重現(xiàn)期推算的洪水設計值可為防洪工程安全與設計標準提供更堅實的理論依據(jù)。

表5 不同重現(xiàn)期下洪峰流量與洪峰水位設計值1)Table 5 Design quantiles of flood peak discharges and peak levels at different return periods

1)Q的單位為m3·s-1，H的單位為m。

對于給定的重現(xiàn)期水平可能存在多種滿足防洪標準的洪峰流量和水位組合，按出現(xiàn)概率最大的原理進一步推算二者不同重現(xiàn)期組合下的Kendall重現(xiàn)期設計值。從表6可見二者組合設計值有以下特點：① 對應于某給定重現(xiàn)期的洪峰流量，洪峰水位隨重現(xiàn)期的減小而降低。當給定重現(xiàn)期的洪峰流量的重現(xiàn)期大于洪峰水位重現(xiàn)期，洪峰流量趨于定值。根據(jù)遭遇的條件概率，此二者組合設計值出現(xiàn)可能性非常高；② 對給定重現(xiàn)期的洪峰水位與小于此重現(xiàn)期的洪峰流量組合時,洪峰水位以定值出現(xiàn)，如200 a一遇洪峰水位和小于200 a重現(xiàn)期的洪峰流量組合時，其設計值為13.88 m的定值。根據(jù)條件概率組合可認為主對角線以下出現(xiàn)的二者組合設計值的可能性??；③ 同頻率洪峰流量和洪峰水位組合設計值同表5中的Kendall重現(xiàn)期設計值。

表6 洪峰流量與洪峰水位不同重現(xiàn)期組合設計值1)Table 6 The design quantiles of flood peak discharges and peak levels at different return period combinations

1)Q的單位為m3·s-1，H的單位為m。

3 結(jié) 論

在分析暴雨洪水時空分布統(tǒng)計特性，如何考慮洪峰流量和洪峰水位聯(lián)合分布及其重現(xiàn)水平，是一個需要研究和解決的關(guān)鍵科學技術(shù)問題，本文應用判斷安全與危險臨界域的多變量重現(xiàn)期-Kendall重現(xiàn)期對此作了新的嘗試?；贙endall重現(xiàn)期的洪峰流量與水位聯(lián)合分布的統(tǒng)計分析有以下結(jié)論：

1)對比洪水聯(lián)合分布三種特定洪水重現(xiàn)期，相對于“或”聯(lián)合重現(xiàn)期和“且”聯(lián)合重現(xiàn)期，Kendall重現(xiàn)期可更準確地識別單個超臨界區(qū)域的風險率。

2)按目前有關(guān)規(guī)范設計要求的單變量洪水要素設計值基本達到安全標準，按兩變量“或”重現(xiàn)期和同頻率設計值推算的洪水設計值偏高，工程費用偏大，采用Kendall重現(xiàn)期推算的設計洪水值依據(jù)更堅實。

3)基于Kendall重現(xiàn)期的洪峰流量與水位不同重現(xiàn)期組合推算的結(jié)果非常合理，可為防洪設計與風險管理提供新的選擇。本文應用的基于Kendall重現(xiàn)期的洪峰流量與水位不同重現(xiàn)期組合推算的分析方法，仍然需要在今后的實踐中進一步研究和完善。