梁偉平， 牛博通

(華北電力大學(xué) 控制與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，河北 保定 071003)

0 引 言

煤的發(fā)熱量是電站系統(tǒng)的重要參數(shù)，尤其在電站鍋爐熱平衡、熱效率計(jì)算、確定最佳的風(fēng)煤比、以及估計(jì)燃燒是否達(dá)到理論溫度等過(guò)程中，煤質(zhì)發(fā)熱量更是不可缺少[1-2]。隨著智能算法的發(fā)展，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)開(kāi)始用于建立煤質(zhì)發(fā)熱量的軟測(cè)量模型[3～5]，但是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法訓(xùn)練時(shí)間長(zhǎng)、易陷入局部最優(yōu)點(diǎn)等缺點(diǎn)限制了其效果。隨后基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化準(zhǔn)則的支持向量機(jī)算法被引入[6～9]，解決了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的問(wèn)題，但隨著DCS和存儲(chǔ)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)據(jù)規(guī)模不斷增大，一般算法直接處理大量數(shù)據(jù)會(huì)導(dǎo)致建模速度慢，若從大規(guī)模數(shù)據(jù)中選取小樣本，會(huì)因憑借人為因素和經(jīng)驗(yàn)主義影響模型的精度和泛化能力。另外模型的特征變量是決定一個(gè)模型是否準(zhǔn)確和簡(jiǎn)單的重要因素，對(duì)特征變量進(jìn)行分析，選出最優(yōu)變量集會(huì)使模型更加準(zhǔn)確和簡(jiǎn)單，有利于提高泛化能力[10]。

本文采用Tsang等提出的CVR算法[11]，該方法利用一種計(jì)算幾何中的最小閉包球理論(Minimum Enclosing Ball，MEB)與支持向量機(jī)(Support Vector Machine，SVM)相結(jié)合，使算法的計(jì)算復(fù)雜度和樣本容量成正比，空間復(fù)雜度與樣本容量無(wú)關(guān)[12]，相比較其它SVM方法，當(dāng)建模數(shù)據(jù)增加時(shí)，因受二次規(guī)劃(Quadratic Programming，QP)問(wèn)題的影響，模型的計(jì)算時(shí)間會(huì)隨之增加，而CVR隨著建模數(shù)據(jù)的增加，計(jì)算精度會(huì)有所改善(與大樣本中是否包含更多的信息有關(guān))，但計(jì)算時(shí)間的增長(zhǎng)遠(yuǎn)小于其它算法，解決了大規(guī)模數(shù)據(jù)下建模耗時(shí)的問(wèn)題，彌補(bǔ)了建模需要根據(jù)人為經(jīng)驗(yàn)選取小樣本導(dǎo)致模型不準(zhǔn)確的缺點(diǎn)；在特征變量選擇上，利用R. J. May等提出的PMI方法分析特征變量[13]，該方法基于信息熵理論中的互信息(Mutual Information，MI),通過(guò)條件期望消除了變量之間的聯(lián)系,消除了輸入變量的耦合關(guān)系對(duì)MI算法的影響[14]，可以建立最經(jīng)濟(jì)簡(jiǎn)單、最大限度快速的軟測(cè)量模型。

1 PMI與CVR原理

1.1 PMI

信息熵的概念由Shannon在1948年提出，是用來(lái)量化描述變量所帶信息量的方法,MI又在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步的度量了一個(gè)變量中含有的關(guān)于另一個(gè)變量的信息[15]，R.Battiti等就基于互信息對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的特征變量進(jìn)行了篩選[16]，變量之間可能的耦合關(guān)系使MI計(jì)算受到了影響。PMI方法引入條件期望，將處理后的變量再得到互信息值，解決了這一問(wèn)題。

信息熵的具體計(jì)算公式為：

(1)

式中：pi為在各個(gè)取值下概率分布，n為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。如果存在有向量X與Y相關(guān)，pij為X和Y的聯(lián)合分布概率，則二維聯(lián)合熵定義為:

(2)

那么互信息的公式為：

(3)

由于一般樣本數(shù)據(jù)的概率分布未知，所以需要采用概率密度估計(jì)的方法來(lái)解決，因此實(shí)際情況下的公式變?yōu)槿缦拢?/p>

(4)

式中：xi,yi分別為X,Y的第i個(gè)取值，f為基于n個(gè)樣本數(shù)據(jù)的概率估計(jì)密度函數(shù)。

在MI的計(jì)算中，若輸入X，Z之間有耦合，那么I(Y,Z) 的值會(huì)大于實(shí)際，所以用條件期望mX(Z) 和mY(Z)消除Z的影響，如下:

(5)

U=X-mX(Z)

(6)

V=Y-mY(Z)

(7)

式中：zi為Z的第i個(gè)取值。

那么X,Y的偏互信息可記為：

IPMI(X,Y)=IPMI(U,V)

(8)

概率密度估計(jì)方法采用核密度估計(jì)，這里核函數(shù)采取高斯核函數(shù)，那么概率密度函數(shù)的估計(jì)公式為[17]:

(9)

式中：d為X的維數(shù)；∑為X的協(xié)方差；h為帶寬；‖x-xi‖為馬氏距離。

馬氏距離公式為：

‖x-xi‖=(x-xi)TΣ-1(x-xi)

(10)

帶寬的選擇利用高斯帶寬，公式為：

(11)

式中：σ為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。

結(jié)束條件采用赤池信息量準(zhǔn)則(Akaike Information Criterion, AIC),其公式為[18]：

(12)

式中：ri為根據(jù)已選變量計(jì)算的Y回歸殘差；p為已選變量個(gè)數(shù)。隨選出變量的變化，TAIC逐漸減小，當(dāng)不再減少時(shí)終止篩選。

最終的PMI變量選擇的算法流程如下：

1)初始化S為空集,C不為空集；

2)計(jì)算C中每個(gè)變量與Y的互信息，將互信息最大的Cs移入S，并更新C；

3)若C不為空，對(duì)每一個(gè)Cj∈C，計(jì)算v=Cj-mCj(S)和計(jì)算u=Cj-mCj(S)；

4)計(jì)算I(u,v)，選取使I(u,v)最大的Cs，用Cs計(jì)算AIC；

5)若AIC減小，則將Cs移入S,返回步驟3，否則終止。

1.2 CVR

(1)近似MEB與CVR

給定一點(diǎn)集S={x1,…,xm},xi∈Rd，那么集合S的最小閉包球是指包含集合S中所有數(shù)據(jù)點(diǎn)的最小球，表示為MEB(S)。傳統(tǒng)最小閉包球算法不能有效的解決d大于30的問(wèn)題，因此提出了一種快速近似算法，任意給定ε>0，如果存在R≤rMEB(S)并且S∈B(c,(1+ε)),則稱B(c,(1+ε))為B(c,R)的(1+ε)-近似，如下圖1所示。

圖1 近似閉包球

解決這個(gè)子集的問(wèn)題也能得到近似的估計(jì)和正確的結(jié)果[19]，并且最終的核心集中的數(shù)量與迭代的次數(shù)無(wú)關(guān)，主要與ε有關(guān)。

對(duì)于最小閉包球我們可以得到式(13)：

minR2:‖φ(xi)-c‖2≤R2，i=1,…,m

(13)

φ(x)是由核函數(shù)誘導(dǎo)的特征映射函數(shù)，得到上式的對(duì)偶形式如式(14)：

maxαTdiag(K)-αTKαα≥0,αT1=1

(14)

(14)式中：α=[αi,…，αm]T是拉格朗日乘子,0=[0,…,0]T,1=[1,…,1]T，Km×m=[K(xi,xi)]=[φ(xi)Tφ(xi)]是核矩陣。

在支持向量回歸中，有訓(xùn)練集合{zi=(xi,yi)}，其中xi為輸入變量，yi為輸出變量。經(jīng)過(guò)核函數(shù)處理后的線性擬合方為：f(x)=ωTφ(xi)+b，采用ε-敏感損失函數(shù)，那么最優(yōu)化的公式可以表示為式(15)[20]：

(15)

這里μ是控制損失函數(shù)參數(shù)的，得到對(duì)應(yīng)的對(duì)偶的矩陣形式如式(16)：

(16)

(17)

但是得到的如式(16)的二次規(guī)劃問(wèn)題與最小閉包球問(wèn)題的式(14)的形式不同。

(2)中心約束MEB問(wèn)題

現(xiàn)在我們對(duì)每一個(gè)φ(xi)增加一個(gè)額外的項(xiàng)δi∈R，如式：φ(xi)～[φ(xi)T,δi]同時(shí)約束球心的最后一維變?yōu)椋篶～[cT,0]T那么問(wèn)題原始式變?yōu)槿缦?

minR2:‖φ(xi)-c‖2+δ2≤R2

(18)

maxαT(diag(K)+δ)-αTKα

s.t.α≥0,αT1=1

(19)

那么只要有最優(yōu)的，就可以計(jì)算出

(20)

(21)

因?yàn)棣罷1=1，那么對(duì)于任意η∈R加入不會(huì)影響α的結(jié)果，所以有[21]：

當(dāng)定義：

(22)

(23)

(24)

選擇適當(dāng)?shù)摩潜ＷC式(11)中的δ≥0，那么式(24)變?yōu)椋?/p>

(25)

式(25)與式(14)有著相同的形式，因此利用中心約束最小閉包球問(wèn)題，就可以及將ε-不敏感損失函數(shù)的支持向量機(jī)回歸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最小閉包球問(wèn)題。

(3) CVR算法流程

CVR算法步驟如下表所示：

①初始化選擇S0,C0,R0;

②在第t次迭代中,如果沒(méi)有φ(zi)在最小閉包球B(Ct,(1+ε)Rt)外，就終止訓(xùn)練;

③找到距離Ct最遠(yuǎn)的φ(zi)，使St+1=St∪φ(zi);

④得到最新的閉包球集，計(jì)算新的Ct,Rt;

⑤迭代次數(shù)t=t+1，并返回第二步。

核心集中的向量為核心向量，通過(guò)這些核心向量可以得到原SVM問(wèn)題的解。

2 數(shù)據(jù)預(yù)處理及變量分析

2.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

模型所用數(shù)據(jù)來(lái)自某摻煤燃燒電廠的煤質(zhì)分析報(bào)告，數(shù)據(jù)包括：全水分Mt(%)、空氣干燥基水分Mad(%)，空氣干燥基灰分Aad(%)、空氣干燥基揮發(fā)分Vad(%)、收到基低位發(fā)熱量Qnet, ar(MJ/kg)、收到基全硫St,ar(%)、空干基全硫St, ad(%)等7維特征變量，為了去除數(shù)據(jù)噪聲，利用五點(diǎn)三次滑動(dòng)平均法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪處理，部分低位發(fā)熱量去噪前后的對(duì)比分布如圖2所示：

圖2 低位發(fā)熱量去噪前后對(duì)比分布

圖2表明五點(diǎn)三次滑動(dòng)平均法有效的濾過(guò)了噪聲的干擾，另外不難發(fā)現(xiàn)摻配煤下的煤質(zhì)波動(dòng)非常頻繁，且波動(dòng)較大。然后再利用MATLAB中mapstd工具箱對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，消除數(shù)據(jù)單位的影響。

2.2 PMI變量分析

建立 CVR軟測(cè)量模型，特征變量的選取對(duì)于模型的計(jì)算復(fù)雜度、精度以及泛化能力都影響重大，特征變量之間有相關(guān)性和耦合性關(guān)系，可以利用PMI的方法分析預(yù)測(cè)模型的最優(yōu)變量子集。根據(jù)PMI變量篩選的步驟，得到TAIC的變化曲線如圖3所示。

特征變量初始特征集是根據(jù)最大互信息得出，各個(gè)特征變量與低位發(fā)熱量的互信值如表1所示。

圖3 PMI篩選TAIC曲線

%

全水分信息與低位發(fā)熱量互信值為0.334，是與低位發(fā)熱量互信值最大的變量，所以初始特征集中的第1個(gè)變量是全水分。在初始特征集的基礎(chǔ)上PMI計(jì)算得到的第2個(gè)變量是空干基全硫，第3個(gè)變量是收到基全硫，第4個(gè)變量是空干基揮發(fā)分，當(dāng)特征集加入第5個(gè)變量也就是空干基灰分時(shí)TAIC曲線由下降趨勢(shì)變?yōu)樯仙?，說(shuō)明雖然空干基灰分和空干基水分雖然與低位發(fā)熱量有互信息關(guān)系，但是在特征變量已經(jīng)包含前4個(gè)特征的情況下，空干基灰分和空干基水分與已選特征集之間的耦合性和相關(guān)性會(huì)導(dǎo)致將其加入特征集之后使預(yù)測(cè)效果變差。所以選取使特征變量與預(yù)測(cè)變量互信息最強(qiáng)并且特征變量間耦合性最小的全水分、空干基全硫、收到基全硫、空干基灰分4個(gè)變量作為模型的輸入特征變量。

3 實(shí)驗(yàn)仿真

3.1 模型初始參數(shù)及構(gòu)建

因?yàn)楹诵闹С窒蛄繖C(jī)在處理大數(shù)據(jù)建模時(shí)對(duì)樣本沒(méi)有容量限制，可以利用最小閉包球的特點(diǎn)快速篩選支持向量，所以無(wú)需選取最優(yōu)樣本，因此選用去噪后的全部6 180 組煤質(zhì)數(shù)據(jù)，以PMI選擇后的變量為特征變量，進(jìn)行仿真。

根據(jù)文獻(xiàn)[12],模型初始參數(shù)C對(duì)預(yù)測(cè)精度與預(yù)測(cè)時(shí)間影響較小，一般可取105，膨脹系數(shù)mu則對(duì)模型影響較大，對(duì)mu利用量子遺傳算法進(jìn)行尋優(yōu)，選擇初始種群為30，轉(zhuǎn)角步長(zhǎng)為0.02,變異概率為0.1，迭代次數(shù)為30，得到當(dāng)為全部輸入變量時(shí)最優(yōu)參數(shù)為mu=2×10-6和當(dāng)變量為選擇之后時(shí)的最優(yōu)參數(shù)為mu=5×10-7。

初始拉格朗日參數(shù)選為1/2，剩下為0。初始核心集是先找到任意一點(diǎn)z0，再找到距離z0最遠(yuǎn)的點(diǎn)za, 距離za最遠(yuǎn)的點(diǎn)zb，za,zb為核心集，在第二步計(jì)算點(diǎn)到球心的距離時(shí)利用核函數(shù)避免了進(jìn)行φ(zl)的顯示計(jì)算如下式：

(26)

計(jì)算樣本與球心距離時(shí)采用Smola與Scholkopf提出的一種加速方法，文中提到當(dāng)樣本中隨機(jī)選取59個(gè)構(gòu)成子集時(shí)，最遠(yuǎn)點(diǎn)的在其中的可能性為95%，可以大大降低時(shí)間復(fù)雜度[22]，利用此方法使得隨機(jī)選中點(diǎn)不同，所以可以利用多次計(jì)算取最優(yōu)結(jié)果的方法。

為了評(píng)價(jià)模型的預(yù)測(cè)能力，選取均方差(MSE)、平均相對(duì)誤差(MRE)兩個(gè)指標(biāo)反應(yīng)模型的預(yù)測(cè)能力。

PMI-CVR算法的流程如圖4所示：

圖4 PMI-CVR算法流程圖

算法中TAIC是一個(gè)數(shù)，將其初值設(shè)置為一個(gè)較大的數(shù)值，計(jì)算邊緣概率密度時(shí)的高斯帶寬取1，計(jì)算聯(lián)合概率密度時(shí)d取2，判斷是否為最優(yōu)結(jié)果時(shí)，是利用遺傳算法滿足一定精度要求的條件，或著是當(dāng)遺傳算法的迭代次數(shù)達(dá)到設(shè)定的最大迭代次數(shù)時(shí)的最優(yōu)值。

3.2 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

將處理后的數(shù)據(jù)隨機(jī)選取6 130組作為訓(xùn)練樣本，剩下50組為測(cè)試樣本，按照上述方法建立5組隨機(jī)訓(xùn)練樣本和對(duì)應(yīng)的測(cè)試樣本，分別利用5組數(shù)據(jù)對(duì)CVR模型和PMI-CVR模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，模型的均方差、平均相對(duì)誤差以及計(jì)算時(shí)間取 5次結(jié)果的平均值，如表2所示：

表2 PMI-CVR與CVR對(duì)比

根據(jù)表2數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，采用PMI的方法進(jìn)行變量篩選后，預(yù)測(cè)更加平穩(wěn)， PMI-CVR模型預(yù)測(cè)的平均相對(duì)誤差有所降低，說(shuō)明經(jīng)過(guò)PMI對(duì)有耦合性的特征變量進(jìn)行剔除后，模型更加準(zhǔn)確，泛化能力強(qiáng)，同時(shí)輸入變量的減少使模型更加簡(jiǎn)單，計(jì)算時(shí)間變短，計(jì)算更快。

兩種方法中預(yù)測(cè)最好的一組預(yù)測(cè)結(jié)果分別如圖5、圖6所示。

圖5 CVR低位發(fā)熱量預(yù)測(cè)

圖6 PMI-CVR低位發(fā)熱量預(yù)測(cè)

3.3 不同算法對(duì)比

利用經(jīng)過(guò)PMI選擇后的特征變量為輸入特征變量，分別采用CVM和LSSVM兩種算法進(jìn)行建模。建模的樣本數(shù)量以1 000為步距，分別建立 1 000～6 000 6組數(shù)據(jù)規(guī)模下的預(yù)測(cè)模型，每種樣本規(guī)模下分別進(jìn)行5次建模，得到的5組數(shù)據(jù)的平均值作為該樣本規(guī)模下的結(jié)果， 兩種方法的誤差趨勢(shì)和建模時(shí)間上的趨勢(shì)，隨著樣本的增加兩種方法建模誤差對(duì)比圖如圖7所示。

圖7 CVR與LSSVM建模誤差對(duì)比

隨著樣本的增加兩種方法建模計(jì)算時(shí)間如圖9所示：

圖8 CVR與LSSVM建模時(shí)間對(duì)比

對(duì)比圖7與圖8，當(dāng)建模樣本規(guī)模增加時(shí)，PMI-CVR與LSSVM的建模相對(duì)誤差相差不到0.005，但是建模時(shí)間上LSSVM耗時(shí)增加明顯，而PMI-CVR建模的時(shí)間變化很小。

4 結(jié)論

本文利用偏互信息與核心支持向量機(jī)相結(jié)合，在大規(guī)模煤質(zhì)數(shù)據(jù)下建立了PMI-CVR模型，相比未經(jīng)過(guò)PMI處理的CVR模型，PMI-CVR更加簡(jiǎn)單，計(jì)算結(jié)果泛化能力更強(qiáng)；在相同的輸入特征變量下，隨著樣本數(shù)據(jù)量增加的PMI-CVR模型比LSSVM模型計(jì)算更快，同時(shí)在準(zhǔn)確度上二者相差不大，所以PMI-CVR對(duì)大數(shù)據(jù)的處理能力更強(qiáng)。最終PMI-CVR的低位發(fā)熱量預(yù)測(cè)模型相對(duì)誤差為0.025，計(jì)算時(shí)間為0.272 s，證明該模型在大規(guī)模數(shù)據(jù)下更加有優(yōu)勢(shì)。