姚天樂， 馬吉勝， 陶鳳和， 齊子元

(陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū) 火炮工程系, 河北 石家莊 050003)

0 引言

火炮射擊過程中，身管的自重彎曲、布爾登效應(yīng)、移動彈丸的重力和偏心力、膛內(nèi)的旋轉(zhuǎn)摩擦力矩等諸多因素均會影響射擊精度。其中，身管振動變形以及彈丸自身慣性是彈丸運動狀態(tài)改變的一個主要因素。彈丸發(fā)射過程是一個極其復(fù)雜的動力學(xué)過程，發(fā)射中，身管振動與彈丸運動相互影響、相互耦合，影響彈丸最終離開炮口的狀態(tài)。到目前為止，在火炮振動研究領(lǐng)域內(nèi)，這方面的研究大部分都相對不成熟，準確定量的理論分析還不多見，因而精確地建立彈丸膛內(nèi)運動引起的炮管振動模型及分析方法是必要的。

對于耦合振動問題的研究，在車輛、橋梁等工程領(lǐng)域有不少值得借鑒的成果[1-4]。在火炮研究領(lǐng)域，康新中等[5]將該類分析方法應(yīng)用于火炮振動，定性研究了彈丸膛內(nèi)運動引起的火炮身管橫向振動問題。周叮等[6]將小參數(shù)法運用于火炮振動領(lǐng)域，研究了彈丸膛內(nèi)運動引起炮管振動問題，并給出了單發(fā)及連發(fā)射擊時炮管橫向振動的解。史躍東等[7]在考慮慣性效應(yīng)的基礎(chǔ)上，研究了身管振動特性，給出了解析解，分析了不同運動參數(shù)對炮口振動的影響規(guī)律。在忽略移動載荷慣性效應(yīng)的前提下，姜沐等[8]進一步建立了加速彈丸作用下火炮身管橫向振動方程，給出了級數(shù)形式的解析解和定量計算結(jié)果。馬吉勝等[9-10]利用基于Kane方程Huston方法建立了較為完善的研究彈丸與炮管耦合問題的動力學(xué)模型，但模型過于復(fù)雜，不易實現(xiàn)數(shù)值計算。姜沐采用 Picard 迭代法對耦合振動方程進行了重新求解[11]，盡管沒有很好地體現(xiàn)載荷的移動性，但對解決耦合振動問題提供了很好的參考。

在以往研究的基礎(chǔ)上，本文提出采用迭代的方法對彈丸膛內(nèi)運動引起的身管振動進行求解，由于程式化好，易于實現(xiàn)數(shù)值分析，得到的結(jié)論可以為火炮總體設(shè)計、結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供參考。

1 耦合振動的動力學(xué)

1.1 彈丸的軸向運動規(guī)律

彈丸在身管中的運動實際上是十分復(fù)雜的動力學(xué)過程。因此，為了考慮主要的動力耦合因素，必須將彈丸的動力學(xué)過程加以簡化，對彈丸在身管中的運動過程進行以下6點假設(shè)：

1)忽略彈丸的擠進過程；

2)彈丸和炮膛之間不存在間隙；

3)忽略彈丸在膛內(nèi)運動的碰撞過程；

4)彈丸出炮口瞬間停止計算；

5)身管在彈丸作用下在垂直平面內(nèi)運動,忽略彈丸擾動引起的身管振動；

6)身管撓度是小量，彈丸各處的慣性力和離心力在垂直方向。

由常規(guī)火炮的工作原理可得到其內(nèi)彈道方程組為

(1)

式中：ψ為火藥已燃相對重量；Z為火藥已燃相對厚度；χ、λ、μ、e1為火藥形狀特征量；u1為燃燒速度系數(shù)；l為身管長度，即彈丸全行程長；v為彈丸速度；S為炮膛橫斷面面積；φ為次要功計算系數(shù)；m為彈丸質(zhì)量，p為彈丸的平均壓力；f為火藥力；θ為熱力學(xué)系數(shù)；lψ為火藥燃燒了ψ時的彈丸行程。

對于(1)式，將進行計算機模型的數(shù)值求解。給定參數(shù)后，利用龍格- 庫塔法按射擊過程逐段反復(fù)循環(huán)逐點求解，最后可得到反映彈丸運動規(guī)律的s-t曲線，如圖1所示，圖中s為彈丸在身管中運動的位移,t為身管自身振動的時間。

1.2 移動彈丸與身管耦合振動分析

在考慮彈丸慣性效應(yīng)以及身管彎曲變化的前提下，將身管簡化歐拉均勻等截面空心懸臂梁，將彈丸簡化為忽略形狀的質(zhì)量塊。如圖2所示，建立直角坐標系，以懸臂梁固定端為坐標原點O，彈丸在身管中沿軸線移動，在身管中的行程規(guī)律表示為s(t)。由于身管是連續(xù)系統(tǒng)，構(gòu)造函數(shù)y(x,t)來表示身管的振動響應(yīng)，其中，x是身管各點的位置。由于彈丸在垂直方向上與身管振動同步，彈丸在垂直方向上的位移可表示為t的函數(shù)y(s(t),t)。圖2中，rc為彈丸所在位置身管的曲率半徑。

考慮彈丸對身管的激勵作用，對身管進行力學(xué)分析，可得到身管的動力學(xué)微分方程為

(2)

式中：δ(x-s(t))為Dirac函數(shù)，表示彈丸在梁上的位置；fy(x,t)表示彈丸在垂直方向上的受力；E、ρ分別為身管材料的彈性模量和質(zhì)量密度；c為黏性阻尼系數(shù)；A、I分別為截面面積和截面慣性矩。

(2)式的左端描述了身管振動的時空特征，(2)式的右端描述了彈丸的運動狀態(tài)。在(2)式右端項fy(x,t)的激勵作用下，身管進行振動，而身管的振動又會引起彈丸運動狀態(tài)的改變，從而改變fy(x,t)。同時，身管在振動時，彈丸也在移動，δ(x-s(t))也將隨之改變。彈丸在兩個方向上的運動狀態(tài)同時改變，又同時影響身管的振動狀態(tài)，如果方程右端兩項均有清楚的變化規(guī)律，則可以得到(2)式的真實解。但是fy(x,t)的確定非常困難，因此(2)式無法進行求解，為此進行如下分析。

設(shè)彈丸到身管末端經(jīng)歷的時間序列為

T={t1,t2,…,ti,…,tn},

(3)

由于彈丸的運動位置與運動時間一一對應(yīng)，則彈丸的移動位置也可離散化，設(shè)彈丸運動的位置序列為

s={s1,s2,…,si,…,sn}.

(4)

經(jīng)過上述處理后，圖2所示的彈丸連續(xù)移動狀態(tài)轉(zhuǎn)換為圖3所示的對身管離散化激勵的狀態(tài)。由于彈丸移動速度非常大，在彈丸運動期間，身管的阻尼對身管的振動影響較小，因此在計算耦合振動問題時可以忽略阻尼的影響。

按照圖3所示，將連續(xù)的激勵離散化。根據(jù)圖3，將(2)式轉(zhuǎn)化為n個可處理的非耦合方程如下：

(5)

式中：fy(si,ti)是彈丸在si處時對梁的靜態(tài)激勵。對上述靜態(tài)方程進行求解，可得到梁靜態(tài)激勵時的響應(yīng)，可以將此響應(yīng)作為求解梁在動態(tài)激勵下實際響應(yīng)的初值。

1.3 身管橫向受力狀態(tài)動態(tài)分析

考慮振動過程中身管各處存在曲率，且身管在彈丸運動過程中持續(xù)振動，則彈丸對身管主要存在離心力與慣性力的作用。身管的振動加速度存在向上或向下兩種狀態(tài)，因此，彈丸在垂直方向的受力分析如圖4所示，圖中fI為彈丸慣性力，F(xiàn)為彈丸向心力，g為重力加速度。

由圖4(a)及圖4(b)可知，彈丸所受垂直方向上的合力為

fy(x,t)=mg±(fI-F).

(6)

fI與所在處梁的加速度方向相反，大小為

(7)

F指向彈丸所在處梁的曲率中心，大小為

(8)

2 耦合振動模型的迭代解法

取(5)式中的任取方程為例，進行身管響應(yīng)求解：

(9)

對于(9)式，邊界條件與初始條件分別為

(10)

(11)

因為身管的響應(yīng)，即(9)式的解y(x,t)在時間和空間上是分離的，所以(9)式的解可以寫成對應(yīng)于激勵δ(x-si)fy(si,ti)下所有固有振動的疊加。利用振型函數(shù)的正交性，將系統(tǒng)物理坐標的偏微分方程變換成一系列固有坐標的常微分方程組，引進廣義坐標qr(t)，(9)式的解可寫為

(12)

式中：Yr(x)為正則振型函數(shù)。

對于身管，由于約束關(guān)系已經(jīng)確定，則與振型函數(shù)r階固有頻率ωr相應(yīng)的振型函數(shù)可取為

Yr(x)=cosh(βrx)-cos (βrx)+
ξr[sinh(βrx)-sin(βrx)]，

(13)

式中：

(14)

(15)

對振型函數(shù)進行正則化處理，令

(16)

結(jié)合(13)式及(16)式，則此時刻的正則振型函數(shù)為

Yr(x)=αr{cosh(βrsi)-cos (βrsi)+
ξr[sinh(βrsi)-sin(βrsi)]}.

(17)

(18)

式中：Qr(t)為廣義力。對于等截面均質(zhì)懸臂梁，固有頻率為

(19)

對常微分方程(18)式，采用杜哈梅積分進行求解，可得

(20)

(21)

由虛功原理可以分析出對應(yīng)于廣義坐標qr(t)在梁si處由fy(si,ti)計算出的廣義力大小為

Qr(t)=fy(si,ti)Yr(si),

(22)

則廣義力可表示為

(23)

在耦合振動過程中，彈丸的向心力反作用于身管，改變身管在彈丸所在處的振動加速度。由于彈丸振動加速度與身管振動加速度一致，在迭代過程中，離心力的影響因素已經(jīng)包含在了彈丸的慣性力中。迭代過程使用的彈丸對身管的激勵大小為

fy(x,t)=mg-fI，

(24)

fI的方向由(7)式中計算結(jié)果的符號確定。

考慮彈丸的慣性效應(yīng)后，由(24)式可知，彈丸對身管的激勵大小為

(25)

由于彈丸的垂直方向加速度初始值未知，對身管響應(yīng)進行迭代法求解時，對身管的初次激勵設(shè)定為彈丸重力：

(26)

聯(lián)立(17)式、(22)式與(23)式，可得廣義力大小為

Qr(t)=mg{αr[cosh(βrsi)-cos(βrsi)+
ξr(sinh(βrsi)-sin(βrsi))]}.

(27)

聯(lián)立(12)式、(16)式與(21)式可求得彈丸在身管si處初次激勵時身管的響應(yīng)為

(28)

身管在彈丸激勵下產(chǎn)生的響應(yīng)反作用于彈丸，對彈丸進行激勵，使彈丸產(chǎn)生響應(yīng)。此時，彈丸的橫向慣性力為

(29)

因此在身管的作用下，彈丸對身管的第2次激勵為

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

當彈丸對身管的激勵趨于穩(wěn)定時，可由收斂準則確定最小迭代次數(shù)。身管激勵的收斂準則為

(35)

3 數(shù)值求解結(jié)果與分析

應(yīng)用第2節(jié)中的迭代解法對彈丸與身管耦合振動模型進行數(shù)值求解。

在數(shù)值求解過程中使用的各個基本參數(shù)如表1所示。

3.1 身管模態(tài)階數(shù)的確定

表1 基本參數(shù)

由圖6可知，當r>3時，R趨近于0. 設(shè)圖6所示曲線關(guān)系為R=f(r)，在區(qū)間[1,3]與[1,∞]上分別對圖示曲線進行積分，可得

(36)

由(36)式可知，身管振動主要集中于前3階模態(tài)，取身管振動的前3階模態(tài)可以滿足計算精度要求。

3.2 彈丸與身管耦合模型數(shù)值求解流程

在確定身管振動的模態(tài)結(jié)束后，編寫程序?qū)ι砉茼憫?yīng)進行迭代法數(shù)值求解，采用迭代法編寫程序的流程如圖7所示。

3.3 身管振動規(guī)律分析

采用迭代法求解出彈丸在各點對身管的實際激勵，對實際激勵在各點的變化規(guī)律進行分析。求解出各個時刻身管振動的全貌，取身管振動前期、中期、后期和末期4個時期的振動全貌進行分析。并給出某兩個時期的激勵收斂過程進行比較，說明激勵收斂的規(guī)律。

彈丸在運動過程中的慣性力變化如圖8所示，對身管的實際激勵變化如圖9所示。

由圖8可知，彈丸在運動的初始階段，垂直方向的慣性加速度較小，對彈丸運動狀態(tài)造成的影響也比較小，因此在圖9中反映出彈丸對身管的實際激勵與彈丸重力十分接近。彈丸在身管中經(jīng)過加速運動以后，垂直方向加速度產(chǎn)生了變化，由圖9可知，彈丸對身管的真實激勵在彈丸重力附近波動。數(shù)值結(jié)果顯示，彈丸在出炮口位置慣性力較小，彈丸對身管的激勵與彈丸重力大小基本相同。

取彈丸在身管中運動前期、中期、后期和末期身管振動的時空分布圖如圖10～圖13所示。

圖10～圖13為彈丸的動態(tài)過程離散化以后，對某點進行與動態(tài)過程等效的實際激勵時，在該激勵下身管持續(xù)振動的全貌圖。對應(yīng)確定的時刻可以得到該時刻身管的振動樣貌，對應(yīng)確定的位置，可以得出某點的振動規(guī)律。按照4個時期的順序觀察4幅圖可知，隨著彈丸在身管中運動，身管整體振動的最大幅值一直從身管始端向身管末端移動。

按照彈丸的行程求解身管炮口處位移，可以得到彈丸運動過程中炮口處位移規(guī)律，如圖14所示。

在本領(lǐng)域中，國內(nèi)相關(guān)學(xué)者在考慮不同因素的影響下，也建立了各種模型求解彈炮耦合問題。劉寧等[12]在考慮橫向碰撞的因素下建立了耦合振動模型。郭保全等[13]基于Adams中的柔性體接觸理論，建立了彈帶和彈丸前定心部與身管內(nèi)膛的接觸模型，得到了該問題的仿真結(jié)果。圖14所示的數(shù)值求解結(jié)果與上述文獻中炮口位移的數(shù)值求解結(jié)果具有良好的一致性，從而可以從側(cè)面驗證本文方法的正確性。

3.4 激勵迭代規(guī)律分析

取彈丸在運動前期、中期、后期和末期的迭代過程進行觀察，彈丸在4個時期激勵迭代過程如圖15所示。

由圖15可知，在運用迭代法進行身管響應(yīng)的仿真求解過程中發(fā)現(xiàn)，激勵是單邊收斂的，且迭代過程中激勵呈上升趨勢，激勵在各個時期的收斂過程具有相似性。

取激勵在各點的迭代次數(shù)如圖16所示。

由圖16可知，激勵在身管各點的迭代次數(shù)在彈丸的整個運動過程上呈波動趨勢。對比圖16和圖9可以發(fā)現(xiàn)，兩幅圖之間有相似之處。在彈丸慣性力大的地方相應(yīng)的激勵迭代次數(shù)多，慣性力小的地方相應(yīng)的激勵迭代次數(shù)少。隨著彈丸在身管中運動，彈丸的運動狀態(tài)變得復(fù)雜，彈丸對身管的激勵迭代次數(shù)始終大于彈丸運動初始時期在各點的迭代次數(shù)。

對于火炮的射擊問題，普遍關(guān)心的是彈丸離開炮口時炮口的振動大小。按照圖9所示的規(guī)律，激勵的波峰隨著位移的增大有減小的趨勢。因此，可以考慮改善火炮身管和彈丸的結(jié)構(gòu)，優(yōu)化相關(guān)的設(shè)計參數(shù)，使得耦合振動的波峰提前到來。這是減小火炮射擊時炮口振動的一種方法。

4 結(jié)論

本文基于迭代法的思想，提出了彈丸與身管耦合振動問題的迭代求解方法，實現(xiàn)了耦合振動的連續(xù)過程離散化，構(gòu)建了迭代解法的程式化流程，使得該方法更加易于實現(xiàn)數(shù)值計算。本文的貢獻及所得結(jié)論如下：

1)通過將彈丸在身管內(nèi)的運動時間進行離散化處理，實現(xiàn)了耦合振動的連續(xù)過程離散化。

2)在主要考慮彈丸的慣性效應(yīng)和梁的曲率變化這兩個因素的綜合作用下，采用逐點迭代計算的方法，結(jié)合微分方程理論，在給定適當初值的情況下，構(gòu)造迭代序列對耦合振動系統(tǒng)在各個時刻的實際響應(yīng)進行逼近，對振動模型進行了數(shù)值求解。

3)對各個時刻激勵的迭代過程進行分析，發(fā)現(xiàn)了在彈丸運行過程中的實際激勵在整個過程中的波動變化。

4) 本文數(shù)值求解結(jié)果與文獻[12-13]具有良好的一致性，驗證了本文方法的有效性。