黃新宇

（1.皖西學(xué)院 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院；2.皖西學(xué)院 金融風(fēng)險智能控制與預(yù)警研究中心，安徽 六安 237012）

線性代數(shù)作為大學(xué)各專業(yè)重要的公共基礎(chǔ)課之一，同時也是為非數(shù)學(xué)類專業(yè)開設(shè)的一門主要基礎(chǔ)課和考研必考課.由于這門課程起點不高，但是概念、公式繁多，定義，定理證明較多，缺乏實例，給人的感覺非常抽象并且不實用，這一課程特點給線性代數(shù)的教與學(xué)習(xí)帶來一定的難度.因此在教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新思維能力顯得尤為重要.創(chuàng)新思維能力的核心是發(fā)散思維.什么是發(fā)散思維呢？發(fā)散思維屬于創(chuàng)造性思維，是一種沿不同方向、途徑和角度去設(shè)想、探求多種答案，最終使得問題獲得圓滿解決的思維方法[1].“數(shù)學(xué)的新思維、新概念和新方法主要來源于發(fā)散思維”.下面以行列式的計算為例來談線性代數(shù)中一題多解和一題多變.

1 一題多解

例1計算六階行列式D6=

分析：該行列式的特點是主對角線和次對角線上只有兩種元素，其余元素為0.由于該行列式階數(shù)較高，且具有較低階的相同結(jié)構(gòu)，于是對行列式降階從而揭示其內(nèi)部規(guī)律也是我們的一個基本想法，即一個行列式可以用比它低階的一系列行列式表示，也就是遞推法.

解法一：可以將行列式按行（列）展開，展開后可得

都按最后一行展開4D4-6D4=-2D4

由此可得遞推公式

解法二：應(yīng)用拉普拉斯定理[2]展開行列式，按照第一行和第六行展開，

解法三：先把行列式的第六行依次與第五行…第二行對換（作四次相鄰兩行的對換），再把行列式中的第六列依次與第五列…第二列對換（作四次相鄰兩列的對換），得到

解法四：利用分塊矩陣計算行列式，

命題1[4]設(shè)是一個四方塊n階矩陣，其中A，B，C，D 分別是 r×r，r×（n-r），（n-r）×r，（n-r）×（n-r）階矩陣，則

（1）若A可逆，則|P|=|A||D-CA-1B|;

（2）若D可逆，則|P|=|D||A-BD-1C|.

將此行列式分成四塊

所以根據(jù)命題1得

解法五：應(yīng)用MATLAB數(shù)學(xué)軟件求解.

輸入命令：

》A=[1 0 0 0 0 2;0 1 0 0 2 0;0 0 1 2 0 0;0 0 3 4 0 0;0 3 0 0 4 0;3 0 0 0 0 4];

》x=det(A)

輸出結(jié)果為：

X=-8.000

對上述幾種解題方法總結(jié)，像這種只有主對角線和次對角線上有元素的行列式的解法一、二和三都是把一個行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)較低階行列式的線性關(guān)系式，再根據(jù)此關(guān)系遞推求得行列式的值.解法四利用分塊矩陣化繁為簡進(jìn)行計算，解法五借助數(shù)學(xué)軟件MATLAB編寫命令可以得出答案.解法五最為簡便，但是數(shù)學(xué)軟件只能計算具體的數(shù)字行列式.

通過一題多解一類題目，讓學(xué)生從不同角度、不同方面去分析思考問題，探索一類題目的解題方法，這樣不僅可以擴(kuò)充思維領(lǐng)域，激發(fā)學(xué)生的求知欲，還能讓學(xué)生對問題研究的更加深入.

2 一題多變

如果將例題1中主對角線中的1換成a，4換成d，次對角線中的2換成b，3換成c，可得到變式1：

例2計算六階行列式D6=

相信學(xué)生們已經(jīng)掌握了這種題型的做法，仿照例1解法可以得到遞推公式依次遞推可得D6=最后將此行列式推廣至2n階，得到變式2：

例3計算2n階行列式

其中未寫出的元素為0.

這個行列式的特點是只有主對角線和次對角線上有元素，其余元素為零.由于行列式階數(shù)較高，并且行列式中的元素不是具體數(shù)字，對于一開始接觸行列式計算的大一學(xué)生來說，直接去計算例3是有一定的難度.但是如果學(xué)生們掌握了例1的解法，從特殊到一般，那就很自然而然地得到例3的答案D2n=(ad-bc)n.

3 結(jié)束語

通過一題多解，一題多變開展問題的分析和研究，讓學(xué)生從一道習(xí)題抓一類問題，從特殊到一般，不僅可以取得舉一反三，觸類旁通的效果，又能使得學(xué)生對這種類型習(xí)題的解法有了較深刻的印象，有利于掌握這種類型習(xí)題的解題方法，從而提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，并逐漸體會到學(xué)習(xí)的樂趣.