李文娟，牛瀟萌

（赤峰學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

1 引言

近幾十年來,類洛倫茨系統(tǒng)的研究進展迅速,大量的類洛倫茨模型被學者提出并研究.類洛倫茨系統(tǒng)的研究在許多方面取得了重要的成果[1-7].

1963年美國著名氣象學家洛倫茨在研究區(qū)域小氣候時,提出了第一個經(jīng)典的洛倫茨系統(tǒng)

此系統(tǒng)在混沌學歷史上有著重要的地位.

2008年Mello等提出了一類洛倫茨系統(tǒng)

其中x,y,z狀態(tài)變量，a,b,c,d為系統(tǒng)參數(shù).該系統(tǒng)僅有兩個非齊次項，與其他系統(tǒng)相比，形式更加簡潔所以電路便于實現(xiàn)，故其應用價值較大.2015官國榮等提出了一類洛倫茨系統(tǒng)

其中x,y,z狀態(tài)變量，a,b,c,d為系統(tǒng)參數(shù).此系統(tǒng)是將Tee系統(tǒng)中第一項增加了一個控制參數(shù),第三個非線性方程中xy改為x2.因時滯現(xiàn)象在各系統(tǒng)中普遍存在,基于此,2017年李文娟等提出了帶時滯的類洛倫茨系統(tǒng)

其中 x,y,z狀態(tài)變量，a,b,c,d為系統(tǒng)參數(shù),τ＞0為系統(tǒng)時滯.

本文的主要結(jié)果是將文獻[2]的系統(tǒng)(1.1)中第一項增加了一個控制參數(shù),第三個非線性方程中的-cz改為-cz(t-τ)得到一類新的時滯類Lorenz系統(tǒng).然后,通過對該系統(tǒng)在零平衡點的線性化系統(tǒng)的擬特征方程的根的分析給出此系統(tǒng)在零平衡點的穩(wěn)定性問題和發(fā)生Hopf分岔的條件.

2 主要結(jié)果

本文考慮時滯類Lorenz系統(tǒng)

其中x,y,z狀態(tài)變量,a,b,c,d為系統(tǒng)參數(shù),τ＞0為系統(tǒng)時滯. 設(shè)系統(tǒng)參數(shù) a＞0,b＜0,c＞0,d＞0,e＞0. 系統(tǒng)(2.1)的平衡點滿足下式：

由(2.2)式知系統(tǒng)(2.1)的平衡點有三個，O(0,0,0)為其中一個.

在平衡點O(0,0,0)處易求得線性化系統(tǒng)

線性化系統(tǒng)（2.3）對應的特征方程為

行列式(2.4)可化為

其中p1=a,p2=-abe,q1=c,q2=ac,q3=-abce.

引理1假設(shè)τ=0則系統(tǒng) (2.1)在平衡點O(0,0,0)處是漸近穩(wěn)定的.

證當 τ=0時，式(2.5)轉(zhuǎn)化為

因 為 系 統(tǒng) 參 數(shù) a＞0,b＜0,c＞0,d＞0,e＞0, 所 以p1+q1=0,q3＞0 且有

根據(jù)羅斯—霍維茲(Routh-Hurwitz)判據(jù)可知,式(2.6)的所有特征根都具有負實部.所以當τ=0時,系統(tǒng)(2.1)在平衡點O(0,0,0)處是局部漸近穩(wěn)定的.

當 τ＞0時,設(shè) λ=iω（ω 是大于零的常數(shù)）是式(2.5)的一個純虛根,則虛部ω滿足

根據(jù)復數(shù)相等可得

對(2.9)式有以下結(jié)論.

引理2式(2.9)至少有一個正實根.

證令u=ω2,則式(2.9)可化為

函數(shù)（2.11）可化為

由（2.11）和（2.12）式得

根據(jù)函數(shù)零點存在定理,至少存在一個實數(shù)u0∈(0,+∞),使得 f(u0)=0.所以式(2.10)至少有一個正實根.因為u=ω2，從而式（2.9）至少有一個正實根.

設(shè) ω0為式（2.9）的正實根，則式(2.5)有一純虛根 iω0.又由式（2.8）得

將ω=ω0代入方程(2.13),則時滯τ的值為

第三，可以考慮在中學和初級學院的華文文學課程中融入比較文學的理論和方法，指導學生在比較文學的視域中，了解本地文學、中國文學和世界文學。

因此(ω0,τk)是式(2.5)的解,即當時滯 τ=τk時,λ=±iω0是式(2.5)的一對共軛的純虛根.

設(shè) τ0=min{τk},則時滯 τ=τ0是式(2.5)出現(xiàn)純虛根λ=±iω0時 τ的最小值.

引理 3如果 a＞0,b＜0,c＞0,d＞0,e＞0,τ=τ0, 那么式(2.5)有一對純虛根 λ=±iω0.

設(shè)式(2.5)的特征根 λ(τ)=iω(τ),滿足 ω(τk)=ω0.

引理 4如果 f'(ω02)＞0 則

證對式(2.5)的兩邊關(guān)于τ求導可得

由式(2.5)可得

將式（2.16）代入式(2.15)可得

由(2.17)式和 λ(τk)=iω0,可得

將 λ(τk)=iω0代入式(2.5)可得

由(2.19)式可得

由(2.19)式和(2.20)式可得

根據(jù)引理4和Hopf分岔理論可得下面結(jié)論．

定理如果 a＞0,b＜0,c＞0,d＞0,e＞0 且 f'(ω02)＞0，那么

（1）當 τ∈[0,τ0]時，系統(tǒng)(2.1)在平衡點 O(0,0,0)是漸近穩(wěn)定的；

（2）當 τ＞τ0時，系統(tǒng)(2.1)在平衡點 O(0,0,0)是不穩(wěn)定的；

（3）當 τ=τk(k=0,1,2,…)時，系統(tǒng)(2.1)在平衡點 O(0,0,0)處發(fā)生Hopf分支，產(chǎn)生極限環(huán).

3 數(shù)值仿真

時滯類Lorenz系統(tǒng) (2.1)的參數(shù)a＞0,b＜0,c＞0,d＞0,e＞0，令 a=10,b=-8,c=2.5,d=4,e=1，這時系統(tǒng)(2.1)可化為

利用Matlab軟件計算得式（2.9）的正實根ω0=6.6588，f'(ω02)＜0，式（2.13）中 τ0=0.0738.

推論若a=10,b=-8,c=2.5,d=4,e=1，則

（1）當 τ∈[0,0.0738]時，系統(tǒng)(3.1)在平衡點 O(0,0,0)是局部漸近穩(wěn)定的；

（2）當 τ＞0,0738 時，系統(tǒng)(3.1)在平衡點 O(0,0,0)是不穩(wěn)定的；

（3）當 τ=0.0738+0.1502kπ(k=0,1,2,…)時，系統(tǒng)(3.1)在平衡點O(0,0,0)處發(fā)生Hopf分岔，產(chǎn)生極限環(huán).