安 瑩

(晉中師范高等?？茖W(xué)校,山西 晉中 030600)

0 引言

種群的持續(xù)生存是生態(tài)數(shù)學(xué)中捕食系統(tǒng)理論的一個(gè)重要而普遍的問題，對于標(biāo)準(zhǔn)的Lotka-Volterra型捕食系統(tǒng)一般均假設(shè)捕食者種群的平均捕食率只依賴于食餌種群的密度.近年來，越來越多的生物學(xué)證據(jù)表明，當(dāng)捕食者不得不尋找食物時(shí)，一個(gè)更符合實(shí)際情況且更一般的捕食模型應(yīng)基于比率依賴?yán)碚揫1-3]，也就是說捕食者種群的平均捕食率是食餌種群密度與捕食者種群密度之比的函數(shù)；另一方面，在種群間的相互作用中時(shí)滯是不可避免的，近年來已有大量的文獻(xiàn)討論了時(shí)滯對生物種群的漸進(jìn)性態(tài)的影響；同時(shí)，種群在兩斑塊間的擴(kuò)散對種群持續(xù)生存也有影響.對于擴(kuò)散模型已有大量的研究.

本文是在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上，討論了具有時(shí)滯和基于比率的非自治捕食系統(tǒng).模型如下：

(1)

其中x1，x2分別表示食餌x1，x2在t時(shí)刻在斑塊I和II中的密度，x3表示捕食者種群在t時(shí)刻的密度.X1和X2是X3的食餌，且在斑塊I和II中擴(kuò)散.a1(t)，a2(t)，a3(t)，a11(t)，a22(t)，a13(t)，a23(t)，a31(t)，a32(t)，m(t)，D1(t)，D2(t)均為連續(xù)的嚴(yán)格正的ω-周期函數(shù).

本文的目的是利用Mawhin的拓展定理[5]，來研究系統(tǒng)(1)的正周期解的存在性.

1 基礎(chǔ)知識

設(shè)X，Z是兩個(gè)Banach空間，考慮算子方程Lx=λNx，λ∈[0，1]，其中L：

DomL∩X→Z為線性算子，定義兩個(gè)投影算子P：X∩DomL→X和Q∶Z→X/ImL，且有ImP=KerL，ImL=KerQ.下面我們將用到Mawhin的如下結(jié)果：

引理1設(shè)X，Z是兩個(gè)Banach空間，L是指標(biāo)為零的Fredholm映射，

i)Lx≠λNx，?x∈?Ω∩DomL，λ∈(0，1)；

ii)QNx≠0，?x∈KerL∩?Ω；

iii)deg{QNx，Ω∩KerL，0}≠0.

為了便于證明，對連續(xù)的正ω-周期函數(shù)g(t)，給出如下定義：

2 正周期解的存在性

定理如果下列條件成立：

i)Di(t)

那么系統(tǒng)(1)至少存在一個(gè)正ω-周期解.

定理的證明過程類似于參考文獻(xiàn)[4]，有興趣的可以看看.