廣西 黎福慶

一、基于考查問(wèn)題的數(shù)學(xué)高考內(nèi)容研究的必要性

通過(guò)在中國(guó)知網(wǎng)期刊全文數(shù)據(jù)庫(kù)和中國(guó)博士學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫(kù)、以及維普、萬(wàn)方數(shù)據(jù)庫(kù)中進(jìn)行檢索等不完全統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)國(guó)內(nèi)至今很少發(fā)表或研究基于考查問(wèn)題的數(shù)學(xué)高考內(nèi)容研究的文章.以“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”作為關(guān)鍵字，在中國(guó)知網(wǎng)數(shù)據(jù)庫(kù)中進(jìn)行搜索，很多都是小學(xué)和大學(xué)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)文章.此外，目前我國(guó)對(duì)于核心素養(yǎng)下的高考分析的相關(guān)論述，多散落在各種政府部門(mén)發(fā)布的關(guān)于高考的文獻(xiàn)或書(shū)籍中，大多數(shù)不夠系統(tǒng)和全面，更很少關(guān)注“基于考查問(wèn)題的數(shù)學(xué)高考內(nèi)容”這一概念.因此，基于考查問(wèn)題的數(shù)學(xué)高考內(nèi)容研究，是當(dāng)前高中數(shù)學(xué)課程改革浪潮中需要研究的課題.

二、歸納2015-2017年全國(guó)課標(biāo)卷(理科數(shù)學(xué))各題型中同類(lèi)問(wèn)題從而得出考查問(wèn)題

(一)類(lèi)型1：利用主要三角公式變形求值1．歸納考查具體問(wèn)題

(2015·全國(guó)卷Ⅰ理·2)sin20°cos10°-cos160°sin10°=

( )

答案：D.

具體問(wèn)題：利用兩角和公式、誘導(dǎo)公式變形求值.

( )

答案：D.

具體問(wèn)題：利用兩角差公式、同角公式變形求值.

( )

答案：A.

具體問(wèn)題：利用二倍角公式、同角公式變形求值.

2．歸納同類(lèi)型的題型結(jié)構(gòu)及變式

(1)小題題型結(jié)構(gòu)

題型1：利用主要三角公式直接變形、化簡(jiǎn)含已知角的三角函數(shù)并求值；

題型2：已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，利用主要三角公式變形、代換、求值，求含該角的其他三角函數(shù)的值.

注意：這里主要三角公式是指兩角和與差的三角公式(含二倍角)、同角公式、誘導(dǎo)公式；這兩類(lèi)題型都是簡(jiǎn)單的三角恒等變換求值，變形一般不超過(guò)兩次，或所用到的三角公式不超過(guò)兩個(gè).在解答題不考查三角函數(shù)時(shí)，會(huì)采用題型1來(lái)降低試卷難度.

(2)小題結(jié)構(gòu)變式的訓(xùn)練題

( )

答案：B.

3．根據(jù)具體問(wèn)題歸納小問(wèn)題及其考查問(wèn)題

(二)類(lèi)型2：利用常見(jiàn)三角公式變形并根據(jù)三角函數(shù)圖象和性質(zhì)求三角函數(shù)有關(guān)的圖象、性質(zhì)或值

1．歸納考查具體問(wèn)題

(2015·全國(guó)卷Ⅰ理·8)函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

( )

答案：D.

具體問(wèn)題：根據(jù)三角函數(shù)圖象及其變換求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間.

(2015·全國(guó)卷Ⅱ理·10)如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP=x．將動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則y=f(x)的圖象大致為

( )

答案：B.

具體問(wèn)題：根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求三角函數(shù)的圖象.

( )

A.11 B.9 C.7 D.5

答案：B.

具體問(wèn)題：根據(jù)三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)及變換求三角函數(shù)中參數(shù)的值.

( )

答案：B.

具體問(wèn)題：根據(jù)三角函數(shù)的圖象及變換求三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸.

( )

答案：D.

具體問(wèn)題：根據(jù)三角函數(shù)的解析式進(jìn)行三角函數(shù)的變換.

2．歸納同類(lèi)型的題型結(jié)構(gòu)及變式

(1)小題題型結(jié)構(gòu)

①題型1：已知一個(gè)含參數(shù)的正弦型(余弦型)的函數(shù)或圖象，求函數(shù)的性質(zhì)或圖象；

②題型2：給一個(gè)有周期變化背景的問(wèn)題，求刻畫(huà)該問(wèn)題變化規(guī)律的函數(shù)的圖象或性質(zhì).

注意：一般在解答題不考查三角函數(shù)時(shí)，會(huì)采用這種題來(lái)降低試卷難度.

(2)小題結(jié)構(gòu)變式的訓(xùn)練題

④條件和結(jié)論變式：函數(shù)y= 的圖象可由函數(shù)y= 的圖象至少向 平移________個(gè)單位長(zhǎng)度得到．

3．根據(jù)具體問(wèn)題歸納小問(wèn)題及其考查問(wèn)題

(三)題型3：解答題(或小題)：利用正余弦定理、主要三角函數(shù)公式、基本不等式等知識(shí)，通過(guò)轉(zhuǎn)化、方程等思想，經(jīng)過(guò)運(yùn)算、推理、解三角形及其有關(guān)問(wèn)題.(注意：若有三角函數(shù)解答題則其主要內(nèi)容是考查解三角形，若無(wú)解答題則用上述小題考查解三角形.)

1．歸納考查具體問(wèn)題

(2015·全國(guó)卷Ⅰ理·16) 在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是__________.

具體問(wèn)題：利用正、余弦定理并結(jié)合圖形解三角形及有關(guān)問(wèn)題.

(2015·全國(guó)卷Ⅱ理·17)△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍．

具體問(wèn)題：利用面積公式列方程，變形求解.

(2016·全國(guó)卷Ⅰ理·17)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cosC·(acosB+bcosA)=c.

(Ⅰ)求C；

具體問(wèn)題：利用正余弦定理、三角形面積公式和方程思想解三角形.

具體問(wèn)題：利用正弦定理、三角公式和方程思想解三角形.

( )

答案：C．

具體問(wèn)題：利用正弦定理或余弦定理和方程思想解三角形.

(Ⅰ)求sinBsinC;

(Ⅱ)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長(zhǎng)．

具體問(wèn)題：利用正弦定理、余弦定理、三角公式、面積公式列方程，變形求解三角形.

(Ⅰ)求cosB;

(Ⅱ)若a+c=6,△ABC的面積為2,求b.

具體問(wèn)題：利用余弦定理、三角公式、面積公式和方程思想解三角形.

(Ⅰ)求c；

(Ⅱ)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC,求△ABD的面積．

具體問(wèn)題：利用余弦定理、三角函數(shù)公式、面積公式和方程思想解三角形.

2．歸納三角函數(shù)解答題試題模型

3．根據(jù)具體問(wèn)題歸納小問(wèn)題及其考查問(wèn)題

4．解答題得分點(diǎn)及其得分點(diǎn)訓(xùn)練

(1)解答題得分點(diǎn)

1．根據(jù)已知等式、正余弦定理、三角函數(shù)公式、所給三角形中的幾何等量關(guān)系，列含所求量或與之有關(guān)的三角形元素的方程；

2．通過(guò)代換或運(yùn)算，化簡(jiǎn)所列方程，消去與所求量無(wú)關(guān)的元素或量；

3．求出所求量；

4．給出面積或其他量的表達(dá)式，并轉(zhuǎn)化為某個(gè)或某兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式；

5．利用基本不等式或函數(shù)求最值.

(2)解答題得分點(diǎn)訓(xùn)練

(2015·全國(guó)卷Ⅱ理·17)△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍．

1.列方程

由“AD平分∠BAC，S△ABD=2S△ADC”，

求“BD和AC”，可列方程，

S△ABD=2S△ADC，得BD=2DC，③

由余弦定理得，

AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB，④

AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC，⑤

2.化簡(jiǎn)②③④

3.求解：由①②得第(Ⅰ)問(wèn)的解，由③④⑤得第(Ⅱ)問(wèn)的解.

三、三角函數(shù)考查的內(nèi)容

(一)正余弦定理、主要三角函數(shù)公式、三角形面積公式、特殊角三角函數(shù)值；

(二)相關(guān)內(nèi)容：用函數(shù)性質(zhì)或基本不等式求最值；

(三)思想方法：函數(shù)與方程思想(用函數(shù)概念、圖象和性質(zhì)分析、解決問(wèn)題， 尋找等量關(guān)系列方程)，轉(zhuǎn)化與化歸思想(利用公式、定理、有目標(biāo)地化簡(jiǎn)、運(yùn)算、求值).

四、基于考查問(wèn)題的數(shù)學(xué)高考內(nèi)容研究的教學(xué)啟示

當(dāng)前有一些學(xué)校的高考備考做法令人擔(dān)憂(yōu)，如：拿全部時(shí)間來(lái)上課或刷題，主要原因是個(gè)別教師自己沒(méi)有弄清“高考到底考什么”.“基于考查問(wèn)題的數(shù)學(xué)高考內(nèi)容的研究”可以讓教師教得少點(diǎn)，學(xué)生學(xué)得輕松點(diǎn)，本人觀點(diǎn)主要包含兩個(gè)方面：

(一)考查問(wèn)題的歸納.將近三年高考全國(guó)卷試題按照內(nèi)容分類(lèi)，歸納各類(lèi)試題考查的具體問(wèn)題、小問(wèn)題，歸納出小題題型結(jié)構(gòu)及其變式、大題模型及其得分點(diǎn).

(二)以“六題”為關(guān)鍵的高考復(fù)習(xí)板塊教學(xué)設(shè)計(jì).具體如下：1.考查問(wèn)題對(duì)應(yīng)題：依據(jù)考查問(wèn)題，選高考題或?qū)ζ渥兪剑?.例題：依據(jù)考查問(wèn)題及其小問(wèn)題，對(duì)教材、參考資料、高考題進(jìn)行變式；3.變式練習(xí)題：依據(jù)例題解答及其有關(guān)問(wèn)題，對(duì)教材、參考資料進(jìn)行變式；4.目標(biāo)測(cè)試題：依據(jù)教學(xué)目標(biāo)及其有關(guān)問(wèn)題，對(duì)例題進(jìn)行變式；5.作業(yè)題：依據(jù)本次和下次教學(xué)目標(biāo)及其有關(guān)問(wèn)題、某板塊高考題，對(duì)教材、參考資料、高考題進(jìn)行變式；6.課前測(cè)試題：依據(jù)作業(yè)題進(jìn)行變式.