浙江 孔彭豐

本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)5》(人教A版)第二章數(shù)列第二節(jié)等差數(shù)列第1課時(shí)．?dāng)?shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且有承前啟后的作用．在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念、得到數(shù)列的兩種方法(通項(xiàng)公式和遞推公式)后，學(xué)習(xí)等差數(shù)列是對(duì)數(shù)列有關(guān)知識(shí)的應(yīng)用，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)列；同時(shí)，通過(guò)學(xué)習(xí)和研究等差數(shù)列，也為接下來(lái)通過(guò)“類比”方法學(xué)習(xí)等比數(shù)列打好基礎(chǔ).等差數(shù)列的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生們?cè)诰唧w的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系.

【教學(xué)目標(biāo)】

1．知識(shí)目標(biāo)：理解等差數(shù)列定義，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用．

2．能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納能力；通過(guò)概念的引入與通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析探索能力，增強(qiáng)運(yùn)用公式解決實(shí)際問(wèn)題的能力．

3．情感目標(biāo):通過(guò)對(duì)等差數(shù)列的研究，使學(xué)生明確等差數(shù)列與一般數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點(diǎn)，加強(qiáng)理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

【教學(xué)重點(diǎn)】

1.等差數(shù)列的概念；

2.等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程及應(yīng)用．

【教學(xué)難點(diǎn)】

1.理解等差數(shù)列“等差”的特點(diǎn)及通項(xiàng)公式的含義；

2.等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程．

【學(xué)情分析】

本節(jié)課上課的是同濟(jì)中學(xué)高一的學(xué)生，經(jīng)歷了半個(gè)學(xué)期的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，部分學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)已較為豐富，他們的發(fā)展已到了形式運(yùn)算階段，具備了一定的抽象思維能力和演繹推理能力，但同時(shí)部分學(xué)生的基礎(chǔ)較弱，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣還不是很濃，所以筆者在授課時(shí)注重從具體的生活實(shí)例出發(fā)，注重引導(dǎo)、啟發(fā)、研究和探討，以符合這類學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn)為目標(biāo)，從而促進(jìn)思維能力的進(jìn)一步發(fā)展．

【設(shè)計(jì)思路】

本課主要安排三個(gè)篇章.

第一篇：數(shù)學(xué)是自然的.通過(guò)明代數(shù)學(xué)家程大位的一首詩(shī)《竹簡(jiǎn)容米》，拋給學(xué)生一個(gè)問(wèn)題，引起學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生興趣.同時(shí)引入一些具體生活中數(shù)字的例子，通過(guò)一般對(duì)于實(shí)數(shù)的研究方法(加、減、乘、除；能被2,3,5整除等性質(zhì))的引入來(lái)分析上述給出數(shù)據(jù)的一般關(guān)系，通過(guò)小組討論的方式，把具體的生活問(wèn)題用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言抽象出來(lái)，從而得到等差數(shù)列的定義.

第二篇:數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?通過(guò)研究數(shù)列的一般方法，即研究項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，利用合情推理及數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言得到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.美國(guó)數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“合情推理是暫時(shí)的、有爭(zhēng)議的和冒險(xiǎn)的”.告知學(xué)生數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?通過(guò)小組合作討論的方法，用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言把數(shù)學(xué)抽象出來(lái)，從而推出累加法.

第三篇：數(shù)學(xué)是有用的.得到等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，就是對(duì)等差數(shù)列的識(shí)別和通項(xiàng)公式的應(yīng)用.前后呼應(yīng)，這個(gè)時(shí)候解決一開始拋出的程大位的題目《竹簡(jiǎn)容米》，研究出每層竹筒米的容量.然后是對(duì)知三求一方法的練習(xí).通過(guò)小組合作的方式來(lái)完成例題解答.

最后,對(duì)于本課進(jìn)行小結(jié).

1．教法

①誘導(dǎo)思維法：這種方法有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)；有利于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)；有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性．

②分組討論法：有利于學(xué)生進(jìn)行交流，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性．

③講練結(jié)合法：可以及時(shí)鞏固所學(xué)內(nèi)容，抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)．

2．學(xué)法

引導(dǎo)學(xué)生首先從幾個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題概括出數(shù)組特點(diǎn)并抽象出等差數(shù)列的概念；接著就等差數(shù)列概念的特點(diǎn)，用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；可以對(duì)各種能力的同學(xué)使用多元的推導(dǎo)思維方法．用多種方法對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行推導(dǎo)．

在引導(dǎo)分析時(shí)，留出“空白”，讓學(xué)生去聯(lián)想、探索，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，圍繞中心，各抒己見(jiàn)，把思路方法和需要解決的問(wèn)題弄清．

【教學(xué)過(guò)程】

第一篇：數(shù)學(xué)是自然的

一、引入：創(chuàng)設(shè)情境、提出問(wèn)題

明代數(shù)學(xué)家、商人程大位在《算法統(tǒng)宗》有一道題目：

《竹簡(jiǎn)容米》

家有九節(jié)竹一莖，為因盛米不均平；

下頭三節(jié)三升九，上梢四節(jié)貯三升.

惟有中間二節(jié)竹，要將米數(shù)次第盛；

若是先生能算法，教君算得到天明.

師翻譯：有一桿空心的毛竹一共九節(jié)，每節(jié)能容納米的量是不一樣的.下面三節(jié)一共能容納米3.9 L，上面四節(jié)一共能容納米3 L，中間有兩節(jié)竹.竹竿內(nèi)米的容量是均勻增加的.請(qǐng)問(wèn)先生，能算出中間兩節(jié)竹子各盛米多少嗎？

生：(沉默)

師：有困難，我們先放一放.

二、觀察歸納、形成定義

師：在自然界、生活中，我們會(huì)經(jīng)常遇到一些與“有規(guī)律的數(shù)字”有關(guān)的問(wèn)題！

譬如上節(jié)課提到的斐波那契數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,…；

哈雷彗星近三百年內(nèi)經(jīng)過(guò)地球的時(shí)間：1682，1758，1834，1910，1986，…;

從地面到10 km的高空，氣溫隨著高度增加的變化情況：

高度(km)12345678溫度(℃)2821.5158.52………

2000年，在澳大利亞悉尼奧運(yùn)會(huì)上，女子舉重被正式列為比賽項(xiàng)目.該項(xiàng)目設(shè)置了7個(gè)級(jí)別，較輕的4個(gè)級(jí)別體重組成數(shù)列(單位：kg)：48,53,58,63.

師：在初中階段我們學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)，研究了它的一些運(yùn)算和性質(zhì)(加、減、乘、除、質(zhì)因數(shù)分解等)，現(xiàn)在，我們能不能用研究實(shí)數(shù)的方法來(lái)研究這些數(shù)呢？下面請(qǐng)同學(xué)們小組合作討論，這些“特殊的有規(guī)律的數(shù)字”滿足什么關(guān)系！

生1：有滿足Fn=Fn-1+Fn-2關(guān)系的，有滿足前面一項(xiàng)減去后面一項(xiàng)為同一個(gè)數(shù)關(guān)系的.

生2: 有滿足后面一項(xiàng)減去前面一項(xiàng)為同一個(gè)數(shù)的.

師：很好，但是到底是前項(xiàng)減后項(xiàng)好，還是后項(xiàng)減前項(xiàng)好呢？不妨來(lái)思考下48-53=53-58=58-63=63-？，那么63減誰(shuí)呢？所以滿足前項(xiàng)減去后項(xiàng)為同一個(gè)數(shù)，這樣會(huì)導(dǎo)致最后一項(xiàng)無(wú)人可以減了.所以我們說(shuō)后項(xiàng)減去前項(xiàng)比較好，那么，我們要注意什么？

生：從第二項(xiàng)開始！

師：非常好！即：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為同一個(gè)常數(shù)，我們稱該數(shù)列為等差數(shù)列；這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.

設(shè)計(jì)意圖：開門提問(wèn)，通過(guò)引用明代數(shù)學(xué)家程大位的《竹簡(jiǎn)容米》設(shè)置懸念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.同時(shí)也反映了中國(guó)古代人民的智慧.接下來(lái)從具體的實(shí)例引入,實(shí)質(zhì)是給出了等差數(shù)列的現(xiàn)實(shí)背景,目的是讓學(xué)生感受到等差數(shù)列是現(xiàn)實(shí)生活中大量存在的數(shù)學(xué)模型．通過(guò)分析,由特殊到一般，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)、探究知識(shí)的自主性，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力．

第二篇：數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?/p>

師：我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)符號(hào)來(lái)描述等差數(shù)列呢？

生3：a2-a1=d;a3-a2=d;a4-a3=d;……

生4：an-an-1=d，n∈N*.

生5：還是不對(duì)，應(yīng)該為an-an-1=d,n≥2,n∈N*.

師：有沒(méi)有想過(guò)，為什么要n≥2？

生6：因?yàn)橛衋n-an-1=d；而an-1中，如果n=1，那就會(huì)出現(xiàn)a0，故要從第二項(xiàng)開始.

生7：能不能寫成an+1-an=d,n∈N*呢？

師：很好，這個(gè)式子符合等差數(shù)列的定義，那這里需要n≥2嗎？

生齊答：不需要.

師:所以我們也可以用an+1-an=d，n∈N*表示等差數(shù)列的定義.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)一定數(shù)量材料的觀察、分析，提煉出材料的本質(zhì)屬性,使學(xué)生體會(huì)到等差數(shù)列的規(guī)律和共同特點(diǎn)；一開始抓住“從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差為同一常數(shù)”，落實(shí)對(duì)等差數(shù)列概念的準(zhǔn)確表達(dá).

三、舉一反三、理解定義

師：接下來(lái)我們分小組合作來(lái)練習(xí)以下題目，判斷是否為等差數(shù)列并說(shuō)明原因.

A.1,3,5,7,9,2,4,6,8,10； B.5，5，5，5，5，5，…；

C.a,3a,5a,7a,9a,…； D.1，2，4，6，8，10，…；

E.4，5，6，7，8，9，…； F.3，0，-3，-6，…；

G.40，50，60，70，80，90，100； H.40，40，40，40，40，40.

生合作1組：A,D

不是，因?yàn)椴粷M足定義.

生合作2組：B,E,F,G,H

是，d=0；d=1；d=-3；d=10；d=0.

生合作3組：C

是的，d=2a.

師：各組同學(xué)都非常棒！請(qǐng)同學(xué)們小組觀察并小結(jié)：

探究1：等差數(shù)列的公差與等差數(shù)列單調(diào)性的關(guān)系？

1.哪些數(shù)列d>0：E,G；d=0：B,H；d<0：F.

哪些數(shù)列無(wú)法判斷d的符號(hào)？ C.

2.單調(diào)性如何？增：(d>0)：E,G；不變：(d=0)：B,H；減(d<0)：F.

3.C組數(shù)列的單調(diào)性如何判斷？

d>0，等差數(shù)列單調(diào)遞增；d=0，等差數(shù)列為常數(shù)列；d<0，等差數(shù)列單調(diào)遞減.

探究2：項(xiàng)數(shù)最少的等差數(shù)列需要幾項(xiàng)？

分解問(wèn)題：1.兩項(xiàng)？譬如：1，2；答：不可以.

2.三項(xiàng)？譬如：1,2,3；答：可以.因?yàn)?-1=3-2=1 滿足等差數(shù)列的定義.

3.若a,A,b三項(xiàng)滿足等差數(shù)列，應(yīng)該滿足什么條件.

四、定義應(yīng)用、導(dǎo)出通項(xiàng)

師：好，接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們探求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；分小組討論，請(qǐng)各小組派代表上來(lái)展示.

生8：由等差數(shù)列的定義a1=a1；a2=a1+d；……，通過(guò)歸納，不難發(fā)現(xiàn)an=a1+(n-1)d.

師：很好，通過(guò)觀察、總結(jié)得到：an=a1+(n-1)d；我們把這種通過(guò)觀察、總結(jié)的方法叫作合情推理.但是美國(guó)的數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“合情推理是冒險(xiǎn)的、暫時(shí)的、有爭(zhēng)議的！”同學(xué)們能否用一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法證明呢？

生9：a2-a1=d;a3-a2=d;a4-a3=d;…an-an-1=d，

把他們加起來(lái)，得到an-a1=(n-1)d；于是得到an=a1+(n-1)d.

師:非常好！我們把這種方法叫作累加法.當(dāng)n=1時(shí)，滿足：an=a1+(n-1)d,n∈N*.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納、猜想，培養(yǎng)學(xué)生合理的推理能力．學(xué)生在分組合作探究過(guò)程中，可能會(huì)找到多種不同的解決辦法，教師要逐一點(diǎn)評(píng)，并及時(shí)肯定、贊揚(yáng)學(xué)生善于動(dòng)腦、勇于創(chuàng)新的品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)．鼓勵(lì)學(xué)生自主解答，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力．

第三篇：數(shù)學(xué)是有用的

五、理解通項(xiàng)、簡(jiǎn)單應(yīng)用

師：通過(guò)計(jì)算，我們得到了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d,n∈N*，

請(qǐng)看課前我們的問(wèn)題，可以設(shè)九節(jié)竹的第一節(jié)為a1；第二節(jié)為a2；……；第九節(jié)為a9，接下來(lái)請(qǐng)小組合作求中間兩節(jié)竹的容量.

師：?jiǎn)栴}1：請(qǐng)將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言.

生10：a1+a2+a3+a4=3 L；a7+a8+a9=3.9 L.

師：?jiǎn)栴}2：能否利用所學(xué)知識(shí)將這些數(shù)字關(guān)系找出來(lái)？

生11：a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)=3 L；(a1+6d)+(a1+7d)+(a1+8d)=3.9 L,

解得a1=0.6 L,d=0.1 L,則a5=1 L，a6=1.1 L.

師：經(jīng)過(guò)同學(xué)們的努力，我們終于解決了這個(gè)“先生”都難算的題目！

請(qǐng)同學(xué)們回顧一下：我們把所有數(shù)列中的項(xiàng)都用a1和d表示出來(lái)，兩個(gè)未知數(shù)，兩個(gè)方程，利用方程組的思想，把題目解決了.那么對(duì)于an=a1+(n-1)d,n∈N*這個(gè)通項(xiàng)，我們是不是可以利用解方程組將an,a1和n,d四項(xiàng)知三求一呢？接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們分小組做以下題目.

例1：(1)求等差數(shù)列8，5，2，…，的第20項(xiàng).(求an)

(2)等差數(shù)列-5，-9，-13，…，的第幾項(xiàng)是-401.(求n)

例2：在等差數(shù)列中,已知a5=10,a12=31,求首項(xiàng)a1與公差d.

設(shè)計(jì)意圖：主要是熟悉公式,使學(xué)生從中體會(huì)公式與方程之間的聯(lián)系．初步認(rèn)識(shí)“基本量法”求解等差數(shù)列問(wèn)題．

六、課后小結(jié)、鞏固知識(shí)

1.試用兩種數(shù)學(xué)語(yǔ)言(文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言)來(lái)表述一下等差數(shù)列的概念：

①如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫作等差數(shù)列.②如果數(shù)列{an}，滿足an-an-1=d,n≥2,n∈N*，則數(shù)列{an}叫作以d為公差的等差數(shù)列.

2.首項(xiàng)是a1，公差是d的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d,n∈N*，在an,a1和n,d這四個(gè)量中可“知三求一”，體現(xiàn)方程思想；

3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法——?dú)w納法(由特殊到一般)和累加法，也是我們今后已知數(shù)列的遞推式求通項(xiàng)公式的常用方法.

【設(shè)計(jì)反思】

1．從數(shù)學(xué)文化角度分析：中國(guó)數(shù)學(xué)文化歷史悠久，中國(guó)前人對(duì)世界數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)巨大！本設(shè)計(jì)從中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的一首詩(shī)導(dǎo)入，其新穎性有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)中國(guó)古代的數(shù)學(xué)研究，從而發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感；同時(shí)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在具體的生產(chǎn)生活過(guò)程中的巨大作用，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)是自然的！

2．從數(shù)學(xué)課程背景分析：本課按照章建躍老師在人教A版教材中對(duì)于數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)進(jìn)行設(shè)計(jì)，著重體現(xiàn)數(shù)學(xué)是自然的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、有用的這三個(gè)特征，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)，為進(jìn)一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)！

3．從數(shù)學(xué)思想方法角度分析：本課的各環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣、簡(jiǎn)潔明了、重點(diǎn)突出；引導(dǎo)分析細(xì)致、到位、適度；概念形成的素材合理；此外，加強(qiáng)了對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的滲透，例如本課中用方程思想、化歸思想指導(dǎo)等差數(shù)列基本量的運(yùn)算，學(xué)生在經(jīng)歷過(guò)程中，加深了對(duì)概念的理解和鞏固.

4．從教學(xué)過(guò)程能力培養(yǎng)分析：在探索的過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)分析、觀察，歸納出等差數(shù)列定義，然后由定義導(dǎo)出通項(xiàng)公式，強(qiáng)化了由具體到抽象，由特殊到一般的思維過(guò)程，有助于提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．

5．從教學(xué)方法角度分析：本節(jié)課體現(xiàn)了課堂教學(xué)從“灌輸式”到“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)式”的轉(zhuǎn)變，以教師提出問(wèn)題、學(xué)生探討、解決問(wèn)題為途徑，以相互補(bǔ)充展開教學(xué)，總結(jié)科學(xué)合理的知識(shí)體系，讓學(xué)生“動(dòng)”起來(lái)，小組合作討論，實(shí)現(xiàn)“生動(dòng)課堂”為目的，形成師生之間的良性互動(dòng)，提高課堂教學(xué)效率．