江蘇 張啟兆 陳偉斌

近幾年全國(guó)各省高考試題對(duì)數(shù)列知識(shí)的考查大部分集中在壓軸題和倒數(shù)第2題的位置，可見這部分內(nèi)容非常重要.下面以2017年江蘇省高考數(shù)學(xué)第19題為例，分析解決有關(guān)問(wèn)題的基本思路.

題目：對(duì)于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列{an}滿足：an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan對(duì)任意正整數(shù)n(n>k)總成立，則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”.

(Ⅰ)證明：等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”；

(Ⅱ)若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列.

一、解法探究

這是一道定義新概念型數(shù)學(xué)問(wèn)題，除了給出“P(k)數(shù)列”的定義以外沒(méi)有給出其他任何的條件，這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題就只能嚴(yán)格按定義尋求解決問(wèn)題的突破口，真正做到“從定義出發(fā)”，第(Ⅰ)問(wèn)是一個(gè)簡(jiǎn)單題，意在讓考生通過(guò)具體數(shù)列感知“P(k)數(shù)列”的具體含義，它是第(Ⅱ)問(wèn)的鋪墊.本題的重頭戲是第二問(wèn)，目標(biāo)是證明“數(shù)列{an}是等差數(shù)列”.在明確了目標(biāo)后，就可以有的放矢.通常情況下，可以通過(guò)以下幾個(gè)結(jié)論說(shuō)明數(shù)列{an}是等差數(shù)列：

對(duì)任意的自然數(shù)n均有an+1-an是一個(gè)常數(shù)；

對(duì)任意n≥2的自然數(shù)n，均有an+1+an-1=2an.

回頭審視一下題目條件：數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，這一條件意味著對(duì)任意自然數(shù)n，當(dāng)n>2時(shí)，都有an-2+an-1+an+1+an+2=4an①；當(dāng)n>3時(shí)，都有an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an②.

如何將條件轉(zhuǎn)化為目標(biāo)式？這是解題最關(guān)鍵的一步！

如果一時(shí)找不到出路，我們可以認(rèn)真地盯著目標(biāo)式，不斷地追問(wèn)目標(biāo)是什么？需要什么樣的式子？在不斷地追問(wèn)下就能逐步明確目標(biāo)式中需要(an+1+an-1)，那么如何構(gòu)建這一式子呢？這就需要將①和②進(jìn)行適當(dāng)加減才有可能得到和式(an+1+an-1)，但是如果直接相加，左邊的式子將變得更加繁雜，于是我們應(yīng)將這兩個(gè)數(shù)字進(jìn)行“變臉”，如何“變”？可以考慮到將①或②的右邊變臉為an+1和an-1，究竟將哪個(gè)式子變臉呢？通常選擇①式，主要從以下兩個(gè)方面來(lái)考慮：首先①長(zhǎng)得相對(duì)“瘦小”，變起來(lái)方便，因?yàn)閷⑵渲幸皇阶兡槼蒩n+1后還要變化出an-1，考慮到數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，an+1和an-1構(gòu)建通常從同一個(gè)數(shù)字變化而來(lái)，而第②式相對(duì)“高大”些，變臉后兩個(gè)新的式子將變得比較“長(zhǎng)”；其次是變化出an+1和an-1后還要將這個(gè)式子相加，如果從②出發(fā)變化的話，涉及到數(shù)列中的項(xiàng)將越來(lái)越多，這對(duì)處理問(wèn)題是極為不利的.考慮到這一點(diǎn)后我們不妨對(duì)第①式進(jìn)行改造.

在①中將n置換成(n-1)，得an-3+an-2+an+an+1=4an-1，將n置換成(n+1),同樣可得an-1+an+an+2+an+3=4an+1.

把這兩個(gè)式子相加會(huì)得到什么呢？(相加的目的是向目標(biāo)式an+1+an-1=2an靠近！)

an-3+an-2+an-1+2an+an+1+an+2+an+3=4an-1+4an+1. ③

兩個(gè)式子相加后得到③式，它明顯比原來(lái)長(zhǎng)“胖”了.可是別忘了還有②式，仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)③中有6項(xiàng)，正好是②式左邊的6項(xiàng)，于是我們可以將之代換成②式右邊的6an，便得到6an+2an=4an-1+4an+1，即an+1+an-1=2an.

到此為止，似乎問(wèn)題已得到解決，但可別被一時(shí)的成功沖昏了頭腦，在上述思考過(guò)程中，我們多次將①中的n進(jìn)行置換，而①成立的條件是n>2，也就是說(shuō)用來(lái)置換n的所有式子都必須滿足這個(gè)條件，即以下兩個(gè)式子an-3+an-2+an+an+1=4an-1和an-1+an+an+2+an+3=4an+1成立的條件分別是n>3和n>1，即③成立的條件是n>3.因此，到目前為止還只證明了當(dāng)n>3時(shí)，an+1+an-1=2an成立，即數(shù)列{an}從第三項(xiàng)開始是等差數(shù)列，而要說(shuō)明數(shù)列{an}是等差數(shù)列必須說(shuō)明an+1+an-1=2an對(duì)任意n≥2的自然數(shù)n都成立.因此，要完整證明{an}是等差數(shù)列，還必須單獨(dú)證明a1+a3=2a2和a2+a4=2a3.

二、解法反思

1.反思解題結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)解題思路明晰化

首先提煉其解題步驟，大致可以分為五大步，記為S1～S5.S1 明確目標(biāo)式；S2 將條件轉(zhuǎn)化為目標(biāo)式；S3 證明{an}從第3項(xiàng)起成等差數(shù)列；S4 證明{an}從第2項(xiàng)起成等差數(shù)列；S5 證明{an}成等差數(shù)列.其中最關(guān)鍵的是第三步，而在第三步中最有價(jià)值的解題進(jìn)展是“利用替換法” ．

2.反思問(wèn)題表征，促進(jìn)解題思路自然化

問(wèn)題表征是解決問(wèn)題時(shí)理解問(wèn)題的方式．反思問(wèn)題表征，能加強(qiáng)對(duì)問(wèn)題信息的感知、理解與內(nèi)化，促進(jìn)解題主體對(duì)解題思路的探求．如：將①或②的右邊變?yōu)閍n+1和an-1，究竟將哪個(gè)式子進(jìn)行變化呢？根據(jù)“瘦小”“數(shù)學(xué)的對(duì)稱美”選擇①.

3.反思思想策略，實(shí)現(xiàn)陌生問(wèn)題熟悉化

第(Ⅱ)問(wèn)涉及的主要知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)方法 、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)能力如下表：

知識(shí)點(diǎn)等差數(shù)列的定義、性質(zhì)及證明數(shù)學(xué)方法替換法、等式變形法、代入法、用定義驗(yàn)證數(shù)學(xué)思想從一般到特殊、轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)能力邏輯思維能力、等式變形及化簡(jiǎn)能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、探究問(wèn)題解決問(wèn)題的能力

第(Ⅱ)問(wèn)所選擇的主要策略是簡(jiǎn)化與轉(zhuǎn)化，且從一般到特殊的思想方法貫穿整個(gè)證明過(guò)程．其中第三大步S3體現(xiàn)了一般性的思考，第四大步S4則體現(xiàn)了特殊性的思考．這種思考問(wèn)題的策略學(xué)生可能比較陌生.其實(shí)2011年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷的第20題和上面的試題類似.

三、嘗試拓展

作為一種題型教學(xué)，其問(wèn)題本身的解決不是終極目標(biāo)，而是要把規(guī)律探究過(guò)程中所采用的類比推理方法、手段和探究的成果，充分運(yùn)用到后續(xù)的學(xué)習(xí)過(guò)程和問(wèn)題解決之中，在轉(zhuǎn)化與運(yùn)用的過(guò)程中，必須充分考慮學(xué)生的可接受能力，以及學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，與已有的知識(shí)、能力、基礎(chǔ)在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)與認(rèn)知水平基點(diǎn)上，設(shè)計(jì)出讓學(xué)生深入思考的變式問(wèn)題，并通過(guò)這些問(wèn)題的分析和解決，鞏固學(xué)生先前通過(guò)類比推理所獲得的知識(shí).

波利亞說(shuō)過(guò)：“類比滲透于我們所有的思想、我們每天講的話和我們作出的瑣碎的結(jié)論乃至藝術(shù)的表達(dá)方法和最高的科學(xué)成就．類比在各種不同的層次上得到應(yīng)用”．可見類比是一種及其普遍而又非常重要的方法，是迅速提升聯(lián)想能力的一種手段．類比思維通常有五種：特殊向一般類比、抽象向具體類比、低緯向高緯類比、平行性類比、方法性類比.平行性類比，就是在兩類相近事物性質(zhì)之間進(jìn)行的類比，如等差數(shù)列與等比數(shù)列，橢圓與雙曲線等.于是有改編試題如下：

(Ⅰ)若數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，判斷{an}是否為“Q(2)數(shù)列”,并說(shuō)明理由；

(Ⅱ)若數(shù)列{an}既是“Q(2)數(shù)列”，又是“Q(3)數(shù)列”，證明：{an}是等比數(shù)列.

解：(Ⅰ){an}是“Q(2)數(shù)列”,理由如下：

因?yàn)閿?shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，不妨設(shè)公比為q．

(Ⅱ)因?yàn)閿?shù)列{an}既是“Q(2)數(shù)列”，又是“Q(3)數(shù)列”，

所以數(shù)列{an}從第3項(xiàng)起成等比數(shù)列，不妨設(shè)公比為q′.

所以數(shù)列{an}是公比為q′的等比數(shù)列.

四、幾點(diǎn)啟示

1.要樹立目標(biāo)意識(shí).對(duì)于定義新概念型數(shù)學(xué)問(wèn)題，要引導(dǎo)學(xué)生樹立目標(biāo)意識(shí)，圍繞目標(biāo)逐步逆推.因?yàn)閿?shù)學(xué)思維是從發(fā)現(xiàn)問(wèn)題開始的，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題是解決問(wèn)題的起點(diǎn)，也是解決問(wèn)題過(guò)程的動(dòng)力之一.發(fā)現(xiàn)問(wèn)題后還需要進(jìn)一步明白問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，只有問(wèn)題弄明白了，思維才有方向.明確問(wèn)題就要找出問(wèn)題的關(guān)鍵所在，它需要把問(wèn)題加以分析，才能找到解決問(wèn)題的方法.

2.要重視數(shù)學(xué)閱讀能力的提高.近幾年的高考試卷很明顯地表露出一個(gè)特點(diǎn)：那就是增強(qiáng)了對(duì)學(xué)生閱讀水平的考核.以2017年江蘇高考第19題為例，這是一個(gè)定義新概念型的問(wèn)題，如果學(xué)生不能讀懂“P(k)數(shù)列”的意義，那么這道題就無(wú)從下手，其次如果學(xué)生不能深刻領(lǐng)會(huì)“P(k)數(shù)列”定義中的關(guān)鍵信息“k是一個(gè)確定的量，而n是滿足n>k的任意自然數(shù)”，那么就不可能靈活地對(duì)“an-2+an-1+an+1+an+2=4an”中的變量作必要的替換，也就沒(méi)法尋找到解題的突破口.要提高數(shù)學(xué)閱讀能力，平時(shí)要重視審題，學(xué)會(huì)抓關(guān)鍵詞，學(xué)會(huì)多元表征，還要重視對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)感的培養(yǎng).其實(shí)，語(yǔ)感是駕馭語(yǔ)言的一種技能，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)語(yǔ)感表現(xiàn)為數(shù)學(xué)理解的精準(zhǔn)度和敏感度，數(shù)學(xué)問(wèn)題中無(wú)論是顯性的還是隱性的關(guān)系都能從問(wèn)題本身的文字里得到一定的體現(xiàn)，如果學(xué)生能夠敏銳地從文本的字里行間感知相關(guān)信息，那么就能比較快速而精準(zhǔn)地解決相應(yīng)的問(wèn)題.