江西 陳 明

對(duì)于高三學(xué)生來說，時(shí)間緊張，要做大量習(xí)題。在做習(xí)題的過程中，不僅要學(xué)會(huì)對(duì)知識(shí)點(diǎn)的熟悉，更重要的是要學(xué)會(huì)對(duì)題目中規(guī)律的總結(jié)，這樣才能很大地提升能力，節(jié)約時(shí)間。本文以一類與水有關(guān)的力學(xué)題為例，總結(jié)方法，以期對(duì)高考沖刺復(fù)習(xí)有所幫助。

【例1】水龍口開口豎直向下，直徑為1 cm，安裝在離接水盆75 cm高處，現(xiàn)打開水龍頭，水沿豎直方向流下，仔細(xì)觀察將會(huì)發(fā)現(xiàn)連續(xù)的水流柱的直徑在流下的過程中是不斷減小的，現(xiàn)測得水在水龍頭出口處的速度大小為1 m/s，求水流柱落到接水盆中時(shí)的直徑。(g取10 m/s2)

【解析】水流下落達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，各處流量相等。因此，在一段較短時(shí)間內(nèi)，流過任一水柱截面的水的體積是一定的。由于水在下落過程中的速度不斷變大，所以橫截面積不斷變小，如圖1所示。

圖1

水流出后做自由落體運(yùn)動(dòng)有

取較短時(shí)間Δt，水流出后各處流量相等，相等的時(shí)間水的體積相等，有

πR2v0Δt=πr2vΔt

【點(diǎn)評(píng)】本題中，水從水龍頭口流出后，一直做加速運(yùn)動(dòng)，水流柱越來越細(xì)。水管流出的水，水流穩(wěn)定后，水流柱各處流量相等，在一段時(shí)間內(nèi)，流過任一水柱截面的水的體積是一定的，利用該體積求解。

【例2】現(xiàn)有一噴泉噴出的豎直水柱高h(yuǎn)，水的密度為ρ，噴泉出口橫截面積為S，則空中的水的質(zhì)量為多少?

【解析】由機(jī)械能守恒定理有

水從出水口到落地的時(shí)間為

空中水柱質(zhì)量m為T秒內(nèi)從出水口噴出的水的質(zhì)量m=ρV=ρSvT=4ρSh。

【點(diǎn)評(píng)】本題中，重點(diǎn)在出水口噴出的水，上升過程做減速運(yùn)動(dòng)，因此空中水柱的橫截面積大于出水口面積S，不能用hS求體積。在豎直上拋運(yùn)動(dòng)中，物體不僅要研究其上升過程，還要研究其下降過程。因此在此題中，不僅要研究水柱上升時(shí)水的質(zhì)量，還要計(jì)算在此同時(shí)掉下的水的質(zhì)量，然而在水還沒完全落下時(shí)，又有水連續(xù)噴出，故空中的水的質(zhì)量應(yīng)利用與出水口的體積相等來求解。

【例3】一水平放置的水管，距地面高h(yuǎn)=1.8 m，管內(nèi)橫截面積S=2.0 cm2。有水從管口處以不變的速度v=2.0 m/s源源不斷地沿水平方向射出，設(shè)出口處橫截面上各處水的速度都相同，并假設(shè)水流在空中不散開。取重力加速度g=10 m/s2，不計(jì)空氣阻力。求水流穩(wěn)定后在空中有多少立方米的水？

【解析】水從管口射出后做平拋運(yùn)動(dòng)，則

水流穩(wěn)定后在空中水的體積為

V=vtS=2.4×10-4m3。

【點(diǎn)評(píng)】水從水管流出后做平拋運(yùn)動(dòng)，軌跡是曲線，不好直接求解水柱體積。當(dāng)水柱穩(wěn)定后，空中的水柱，全都是從水管口中流出，因此可以利用出水口體積相等來求解空中水柱的體積。

【例4】一股水流以10 m/s的速度從噴嘴豎直向上噴出，噴嘴截面積為0.5 cm2，有一質(zhì)量為0.32 kg的球，因水對(duì)其下側(cè)的沖擊而停在空中，若水沖擊球后速度變?yōu)榱?，則小球停在離噴嘴多高處？

【解析】在噴嘴處，取很小一段長為ΔL的小水柱Δm，因Δt很短，ΔL很小，一小段ΔL的水柱的運(yùn)動(dòng)可以看成勻速上升，則Δm=ρSΔL=ρSv0Δt。

小球能停在空中，受到的沖擊力等于其重力，即F=Mg。而小球受到的沖擊力大小等于小球?qū)π∷牧Φ拇笮?，則小球?qū)π∷牧′=F，設(shè)小水柱的重力為Δmg，取向下為正方向，對(duì)小水柱有

(F′+Δmg)Δt=0-(-Δmv)

其中小水柱的重力Δmg可忽略不計(jì)，所以有

上式中v為沖擊小球前水的瞬時(shí)速度，即水以初速v0射出后，上升到h高處時(shí)的速度。根據(jù)豎直上拋的公式有

【點(diǎn)評(píng)】本題中，小球能停在空中，是由于受到的沖擊力等于其重力。而水從水龍頭口流出后，一直做減速運(yùn)動(dòng)，水流柱會(huì)越來越粗。所以10 m/s和0.5 cm2不可直接用來當(dāng)作是水柱沖擊球的水流速度和面積。水管流出的水流穩(wěn)定后，水柱各處流量相等，在一段時(shí)間內(nèi)，流過任一水柱截面的水，體積是一定的，因此，利用出水口的相關(guān)數(shù)據(jù)來求解。

【例5】如圖2所示，兩個(gè)底面積都是S的圓桶放在同一水平面上，桶內(nèi)裝水，水面的高度分別為h1和h2，已知水的密度為ρ，現(xiàn)把連接兩桶閥門打開，不計(jì)摩擦阻力，當(dāng)兩桶水面第一次高度相等時(shí)，液面的速度為多大？(連接兩桶的閥門間的水的質(zhì)量不計(jì))

圖2

【解析】對(duì)于容器中的水，運(yùn)動(dòng)過程中只有重力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，第一次水面高度相等時(shí)，重力勢能的減少量等于動(dòng)能的增加量。以水為研究對(duì)象，可知容器中水的總質(zhì)量m=ρS(h1+h2)

-ΔEp=ΔEk

【變式】其他條件不變，改為兩個(gè)底面積分別為2S和S的圓桶，如圖3所示，液面的速度為多大？

【解析】本題求解與上題相似，水的形狀改變，但水的總體積不變，以水為研究對(duì)象。

圖3

容器中水的總質(zhì)量m=ρ·2SH+ρSh

-ΔEp=ΔEk

【點(diǎn)評(píng)】水會(huì)隨著容器的變化而發(fā)生變形，但不論怎么變化，水的總體積(總質(zhì)量)不變，因此求解水的重力勢能變化時(shí)，可以利用水的體積不變來求解。