湖北 徐 進

牛頓運動定律是經(jīng)典力學的擎天柱，是動力學的核心內(nèi)容，高考考試大綱中對牛頓第一定律和牛頓第三定律的考查主要以知識的記憶和理解為主，而對牛頓第二定律的考查要求較高，屬Ⅱ級要求，綜合性較強，是高頻考點，主要是對矢量性、瞬時性、同體性、獨立性、相對性等的考查。牛頓第二定律在每年的高考中都會涉及，僅作為單一的知識點考查，統(tǒng)計分析如下(近幾年全國卷)。

一、統(tǒng)計及其分析

年份題號題型分值難度模型考查方向2017年卷Ⅲ25題計算題20適中滑塊模型2015年卷Ⅰ25題計算題20較難滑塊模型2015年卷Ⅱ25題計算題20較難滑塊模型2013年卷Ⅱ25題計算題20較難滑塊模型2011年新課標卷21題選擇題6適中滑塊模型考查牛頓第二定律的瞬時性、研究對象的選擇及臨界條件的處理

二、為什么這樣考

1.此內(nèi)容易錯且難掌握，考查學生分析研究動力學的基本功，此內(nèi)容屬于易錯知識；

2.體現(xiàn)牛頓第二定律的基本性質——矢量性、同一性、瞬時性、獨立性；

3.體現(xiàn)確定研究對象的方法——整體法、隔離法；

4.突出考查“四翼”思想——基礎性、應用性、綜合性、創(chuàng)新性。

三、研究此類問題的基本思路

基本思維如下：

1.審題找關鍵字眼；

2.確定研究對象，分析運動過程；

3.找準瞬時關系；

4.抓住兩過程的銜接點——臨界條件;

5.發(fā)散思維、一題多變、舉一反三。

下面從點、線、面全方位對動力學中的臨界條件進行歸納總結，以饗讀者。

四、臨界條件歸類

1.分離類臨界條件

【例1】如圖1所示，傾角為θ的光滑固定斜面上有一輕彈簧，下端與斜面底部連接，上端與物塊A連接，B物塊疊放在A上面，A、B物塊的質量均為M，靜止時彈簧被壓縮了L，對B物塊施加平行于斜面的力，下列判斷正確的是

( )

圖1

A．若施加沿斜面向下的最大值為F1的變力，使彈簧緩慢壓縮，要使撤去F1后的運動中A、B能分離，應滿足F1>2Mgsinθ

B．若施加沿斜面向下的F2=2Mgsinθ的恒力，使彈簧再壓縮L時立即撤去F2，以后的運動中A、B一定能夠分離

C．若施加沿斜面向上的F3=Mgsinθ的恒力，到A、B兩物塊分離時沿斜面向上運動了大小為L的位移

D．若施加沿斜面向上的F4=2Mgsinθ的恒力，A、B兩物塊立即分離

【答案】ABD

【點評】本題的關鍵是抓住分離瞬間的臨界條件：加速度和速度相同，彈簧彈力為零。

【拓展一】若θ=90°，如圖2所示，即系統(tǒng)變?yōu)樨Q直方向，其他條件都不變，則：

(1)施加向下的力緩慢壓縮彈簧，要使A、B分離，則有F1>2Mg；

(2)施加向下的恒力F2=2Mg壓縮L，則A、B將在彈簧原長處分離；

(4)施加向上的F4=2Mg的恒力，則A、B兩物塊立即分離。

圖2

【拓展二】若θ=0，即系統(tǒng)處于水平方向，如圖3所示，A、B帶等量的正電荷q(不計A、B之間的作用力)，系統(tǒng)處在水平向左的勻強電場中，靜止時彈簧壓縮L，則：

(1)施加向左的力緩慢壓縮彈簧，要使A、B分離，則有F1>2Eq；

(2)施加向左的恒力F2=2Eq壓縮L，則A、B將在彈簧原長處分離；

(4)施加向右的恒力F4=2Eq，則A、B兩物塊立即分離。

圖3

【拓展三】如圖4所示，A、B帶等量的正電荷q(不計A、B之間的作用力)，處在沿斜面向下的勻強電場中，其他條件不變，則：

(1)施加沿斜面向下的力緩慢壓縮彈簧，要使A、B分離，則有F1>2(Mgsinθ+Eq)；

(2)施加沿斜面向下F2=2(Mgsinθ+Eq)的恒力壓縮彈簧L，則A、B將在彈簧原長處分離；

(4)施加沿斜面向上F4=2(Mgsinθ+Eq)的恒力，則A、B兩物體立即分離。

圖4

2.滑塊類臨界條件

【例2】如圖5甲所示,一質量為M的長木板靜置于光滑水平面上,其上放置一質量為m的小滑塊。木板受到水平拉力F作用時,用傳感器測出長木板的加速度a與水平拉力F的關系如圖5乙所示,重力加速度g=10 m/s2,下列說法正確的是

( )

圖5

A.小滑塊的質量m=2 kg

B.小滑塊與長木板之間的動摩擦因數(shù)為0.1

C.當水平拉力F=7 N時,長木板的加速度大小為 3 m/s2

D.當水平拉力F增大時，小滑塊的加速度一定增大

【分析】當拉力較小時，m和M保持相對靜止，一起做勻加速直線運動，當拉力達到一定值時，m和M發(fā)生相對滑動，可結合牛頓第二定律，運用整體法和隔離法進行分析。

【答案】AC

【點評】本題屬于對下方的木板施加作用力的類型，解題的關鍵點是能用整體法求出系統(tǒng)最大的共同加速度。

【拓展一】如圖6所示,地面依次排放兩塊完全相同的木板A、B,長度均為L=2.5 m,質量均為m2=150 kg,現(xiàn)有一小滑塊以速度v0=6 m/s沖上木板A左端,已知小滑塊質量m1=200 kg,小滑塊與木板間的動摩擦因數(shù)為μ1,木板與地面間的動摩擦因數(shù)μ2=0.2。(最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等,取g=10 m/s2)

圖6

(1)若小滑塊滑上木板A時,木板不動,而滑上木板B時,木板B開始滑動,求μ1應滿足的條件。

(2)若μ1=0.4,求小滑塊運動時間。(結果用分數(shù)表示)

【解析】(1)滑上木板A時,木板不動,由受力分析得

μ1m1g≤μ2(m1+2m2)g

若滑上木板B時,木板B開始滑動,由受力分析得

μ1m1g>μ2(m1+m2)g

代入數(shù)據(jù)得0.35<μ≤0.5。

(2)若μ1=0.4,則小滑塊在木板A上滑動時,木板不動。設小滑塊在木板A上做減速運動時的加速度大小為a1,由牛頓第二定律得μ1m1g=m1a1

解得a1=4 m/s2

解得小滑塊到達B板時速度v1=4 m/s

在A板上滑動時間由v1=v0-a1t1

解得t1=0.5 s

小滑塊滑上B板時B運動,對B板用牛頓第二定律得

μ1m1g-μ2(m1+m2)g=m2a2

當小滑塊和B板速度相同時有a2t2=v1-a1t2

然后相對靜止一起減速，有

μ2(m1+m2)g= (m1+m2)a共

【點評】此題中的滑塊初始狀態(tài)不同，過程很復雜，但只要牢牢抓住過程細節(jié)的銜接點，能把握不同狀態(tài)下的受力情況和運動情況問題就可迎刃而解。

圖7

(1)若恒力F=0，則物塊會從木板的右端滑下，求物塊在木板上滑行的時間t是多少；

(2)若恒力F=2 N，則物塊與木板因摩擦而產(chǎn)生的熱量Q為多少；

【解析】(1)以初速度v0為正方向,物塊的加速度大小為am=μg=2 m/s2，木板的加速度大小為

(2)①當F較小時,物塊將從木板右端滑下,當F增大到某一值時物塊恰好到達木板的右端,且兩者具有共同速度v,歷時t1，則有F+μmg=Ma1

根據(jù)運動學關系可得v=v0-amt1=a1t1

由圖乙知，相對路程s≤1 m

代入解得F≥1 N。

②當F繼續(xù)增大時,物塊減速、木板加速,物塊在木板上某一位置時二者具有共同速度;當二者共速后能保持相對靜止(靜摩擦力作用)，且以相同加速度a做勻加速運動，則有

F=(M+m)a，而f=ma

由于靜摩擦力存在最大值,所以f≤fmax=μmg=2 N

聯(lián)立解得F≤3 N

當F=2 N時有s=0.8 m

故有Q=μmgs=0.2×1×10×0.8 J=1.6 J。

【點評】此題中滑塊有初速度且木板受力，過程復雜，難度很大，解此類題的關鍵在于分析出兩者具有相同速度時加速度及二者位移的關系。

3.連接體類臨界條件

【例3】如圖8所示,質量分別為m1、m2的A、B兩個物體放在斜面上,中間用一個輕桿相連,A、B與斜面間的動摩擦因數(shù)分別為μ1、μ2,它們在斜面上加速下滑,關于桿的受力情況。下列分析正確的是

( )

圖8

A.若μ1>μ2,m1=m2，則桿受到壓力

B.若μ1=μ2,m1>m2，則桿受到拉力

C.若μ1<μ2,m1

D.若μ1=μ2,m1≠m2，則桿無作用力

【解析】假設桿無彈力，物體A受重力、支持力和滑動摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律，有m1gsinθ-μ1m1gcosθ=m1a1，解得a1=g(sinθ-μ1cosθ)，同理a2=g(sinθ-μ2cosθ)。若μ1>μ2,則a1a2，A加速度較大，則桿受到拉力，故C正確。

【答案】ACD

【點評】本題中用輕桿替代傳統(tǒng)繩，假設桿無彈力，根據(jù)牛頓第二定律分別求解出A和B的加速度，比較大小，然后判斷A、B的相對運動趨勢，最后判斷A、B間彈力的方向。

【拓展一】如圖9所示，三個物體質量分別為m1=1.0 kg、m2=2.0 kg、m3=3.0 kg，已知斜面上表面光滑，斜面傾角θ=30°，m1和m2之間的動摩擦因數(shù)μ=0.8。不計繩和滑輪的質量和摩擦。初始用外力使整個系統(tǒng)靜止，當撤出外力時，m2將(g=10 m/s2，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)

( )

圖9 圖10

A.和m1一起沿斜面下滑

B.和m1一起沿斜面上滑

C.相對于m1下滑

D.相對于m1上滑

【答案】C

【點評】本題中將連接體通過滑輪放在斜面上，先后用假設法和整體法求出二者相對靜止整體加速度，再用隔離法求出二者間的摩擦力，最后判斷該摩擦力是否超過最大靜摩擦力，從而判斷能否保持相對靜止。

【拓展二】如圖11所示，有1、2、3三個質量均為m=1 kg的物體，物體2為一長板，與物體3通過不可伸長的輕繩連接，跨過光滑的定滑輪，設長板2到定滑輪足夠遠，物體3離地面高H=5.75 m，物體1與木板2之間的動摩擦因數(shù)μ=0.2。長板2在光滑的桌面上從靜止開始釋放，同時物體1(視為質點)在長板2的左端以v=4 m/s的初速度開始運動，運動過程中恰好沒有從長板2的右端掉下，求：

(1)長板2開始運動時的加速度大小；

(2)長板2的長度L0；

(3)當物體3落地時，物體1在長板2上的位置。

圖11

【解析】(1)隔離物體1，由牛頓第二定律有ma1=μmg

解得a1=2 m/s2

隔離長板2和物體3系統(tǒng)，由牛頓第二定律有

2ma2=mg+μmg

解得a2=6 m/s2。

(2)設經(jīng)過時間t1二者的速度相等，有

v1=v-a1t1=a2t1

解得t1=0.5 s,v1=3 m/s

長板2的長度為L0=x1-x2=1 m。

則對物體1有ma=3.3 N>Ffm=μmg=2 N,故假設不成立，物體1和長板2仍相對滑動，有

物體1的加速度a3=μg=2 m/s2

整體下落高度h=H-x2=5 m

Δx=h-x3=1 m,即物體1在長板2的最左端。

【點評】此題在傳統(tǒng)連接體的基礎上加入另一個物體，題目過程略復雜，解答此題的關鍵是抓住關鍵字眼，理解速度和位移的幾何關系，再利用假設法、整體法、隔離法求解。