鄧權(quán)龍，蔣仲安，韓 碩，付恩琦

(北京科技大學(xué)金屬礦山高效開(kāi)采與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100083)

礦井防塵供水管網(wǎng)作為保障礦山井下安全生產(chǎn)的基礎(chǔ)設(shè)施，為井下采掘工作面粉塵防治工作提供重要支持，其能否正常有效運(yùn)行直接關(guān)系著礦山工人的職業(yè)健康．井下防塵供水管網(wǎng)所處的井下環(huán)境較為惡劣，受到高壓、高濕、高腐蝕等因素影響，擔(dān)負(fù)長(zhǎng)時(shí)間持續(xù)供水的任務(wù)，此外，供水管網(wǎng)本身的結(jié)構(gòu)具有復(fù)雜性，維護(hù)難度大，所以，有必要對(duì)礦井供水管網(wǎng)系統(tǒng)可靠性做進(jìn)一步量化研究，用科學(xué)分析方法評(píng)估其可靠性．

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)供水管網(wǎng)可靠性研究主要集中于城市供水管網(wǎng)，對(duì)礦井供水管網(wǎng)系統(tǒng)可靠性研究報(bào)道較少．目前，在供水管網(wǎng)可靠性研究方面，較主流的方法[1]主要有代理法、解析法、模擬法．代理法主要有信息熵法[2]、剩余能量熵[3]、可恢復(fù)性指標(biāo)法[4]等；解析法主要有故障分析法[5]、最小割集法[6]、一次二階矩陣法[7]等；模擬法主要包括蒙特卡羅法[8-9]、擬蒙特卡羅法[10-11]等．針對(duì)礦山井下防塵供水管網(wǎng)多為樹(shù)狀分布的特點(diǎn)，筆者將解析法和模擬法相結(jié)合，綜合考慮路徑重要度和連通率，提出了對(duì)管網(wǎng)系統(tǒng)可靠度的解析求解法；并為了避免傳統(tǒng)的蒙特卡羅法偽隨機(jī)數(shù)序列求解的收斂速率慢、求解精度不夠等缺點(diǎn)，采用 Sobol序列的擬蒙特卡羅法對(duì)管網(wǎng)單元故障次數(shù)進(jìn)行抽樣，最終求解管網(wǎng)系統(tǒng)可靠度．

1 可靠性計(jì)算模型

礦井防塵供水管網(wǎng)主要由水池、水泵、閥門、用水點(diǎn)、水管以及管段連接部件等組成，經(jīng)簡(jiǎn)化并忽略管網(wǎng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)微小的差別，可以將礦井供水管網(wǎng)認(rèn)為是節(jié)點(diǎn)和邊按照一定規(guī)則連接組成的集合，邊代表連接節(jié)點(diǎn)的管段，節(jié)點(diǎn)代表用水點(diǎn)、水源、管段連接處等．礦山井下防塵供水管網(wǎng)大多數(shù)為樹(shù)狀分布管網(wǎng)，如果將每根管段流量賦予該邊作為權(quán)值，則礦井供水管網(wǎng)實(shí)質(zhì)上是一棵以水源為根的有向樹(shù)．對(duì)于礦井供水管網(wǎng)可靠度的求解可以轉(zhuǎn)化為樹(shù)狀網(wǎng)絡(luò)可靠度求解的問(wèn)題．

由于樹(shù)狀管網(wǎng)中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間有且僅有一條路徑，對(duì)于任一用水點(diǎn)與水源處只有一條路徑，所以礦井供水管網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)可靠度的定義為：在規(guī)定條件和規(guī)定時(shí)間內(nèi)，水源以規(guī)定的流量輸送至各個(gè)用水點(diǎn)的概率[12-13]，R＝P｛水流以規(guī)定的流量從水源到達(dá)各個(gè)用水點(diǎn)｝．

若供水管網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)某節(jié)點(diǎn)或邊發(fā)生故障后，水流不一定能以規(guī)定流量到達(dá)用水點(diǎn)，管網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)的可靠度必然受到影響，為了深入量化求解供水管網(wǎng)系統(tǒng)可靠度，引入流可靠度與閾級(jí)、重要度、連通率的概念．

建立礦井防塵供水管網(wǎng)可靠性計(jì)算模型時(shí)需要先進(jìn)行2個(gè)假設(shè)：①管網(wǎng)單元只有正常和失效兩種狀態(tài)之分；②管網(wǎng)單元故障率 λ和修復(fù)時(shí)間 Tr都是常數(shù)，單元失效、修復(fù)彼此獨(dú)立．

1.1 流可靠度與閾級(jí)

供水管網(wǎng)中賦權(quán)的單元發(fā)生故障時(shí)，設(shè)定流或權(quán)值受到影響，不能到達(dá)規(guī)定的目的地．但是，在網(wǎng)絡(luò)中，其他完好路徑部分中的流是能夠到達(dá)目的地．因此，定義流可靠度為：在一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)某單元發(fā)生故障時(shí)，到達(dá)規(guī)定目的地的流與網(wǎng)絡(luò)正常時(shí)完全到達(dá)目的地的流之比，用u表示．

設(shè)礦井供水管網(wǎng)為 G，用 Q表示單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)各個(gè)用水點(diǎn)的總水量．當(dāng)供水時(shí)間為 T時(shí)，則供水管網(wǎng)傳輸至用水點(diǎn)的總水量為

若管網(wǎng)中某一單元 e發(fā)生故障且故障持續(xù)時(shí)間為 ΔT，而其他單元在供水時(shí)間 T內(nèi)均正常供水，則供水管網(wǎng)能夠傳輸至用水點(diǎn)的總水量為

在可靠性求解方面，閾級(jí)代表的實(shí)際含義為網(wǎng)絡(luò)某單元故障對(duì)管網(wǎng)中輸送至用水點(diǎn)水量的影響程度.

1.2 重要度

在整個(gè)供水管網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)中，由于網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和管段流量不同，每個(gè)單元在網(wǎng)絡(luò)中扮演角色的重要程度均不同，對(duì)整個(gè)供水管網(wǎng)的影響程度也不同．當(dāng)管網(wǎng)中某些管段、節(jié)點(diǎn)故障失效時(shí)，對(duì)管網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)整體的可靠性影響較小，而其他管段、節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障時(shí)，對(duì)管網(wǎng)可靠性影響較大．為合理、科學(xué)量化供水管網(wǎng)中各個(gè)單元重要度，借鑒基于閾級(jí)的單元重要度的理念，用來(lái)衡量各組件對(duì)管網(wǎng)可靠性影響的重要程度．

假設(shè)供水管網(wǎng)中共有m個(gè)單元，單元i的重要度Ii可以表示為

定義管網(wǎng)有效路徑為以水源節(jié)點(diǎn)為起點(diǎn)且需水點(diǎn)為終點(diǎn)的管路路徑，管網(wǎng)中有效路徑條數(shù)等于需水點(diǎn)的個(gè)數(shù)．每條有效路徑由多個(gè)單元(節(jié)點(diǎn)、管段)組成，設(shè)管網(wǎng)中總共有 x條有效路徑，則有效路徑 k的重要度Lk為

1.3 連通率

在樹(shù)狀礦井供水管網(wǎng)中，用水點(diǎn)到水源只有唯一路徑，由節(jié)點(diǎn)和邊組成，一旦位于路徑上的某一單元故障，該路徑將受到影響，影響路徑的連通性，所以有必要對(duì)路徑的連通率進(jìn)行量化分析．組成供水管網(wǎng)系統(tǒng)單元主要包括節(jié)點(diǎn)和管段，若管網(wǎng)系統(tǒng)某一單元i正常工作的概率為Pi，單元故障修復(fù)的平均時(shí)間為 Tr，若分析時(shí)間為 1,a(365,d)，設(shè)該時(shí)間段內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)為 ni，則管網(wǎng)中單元 i的正常工作的概率為

定義路徑連通率為路徑上所有單元同時(shí)正常工作的概率，那么有效路徑k的連通率Pk可表示為

1.4 管網(wǎng)系統(tǒng)可靠度

礦井防塵供水管網(wǎng)系統(tǒng)可靠性就是保證管網(wǎng)中所有需水點(diǎn)與水源連通并達(dá)到規(guī)定流量的概率．將供水管網(wǎng)路徑重要度和路徑連通率相結(jié)合，求解出供水管網(wǎng)系統(tǒng)可靠度

式中Lk為管網(wǎng)中有效路徑k的重要度．

2 基于Sobol序列的供水管網(wǎng)系統(tǒng)可靠性求解

2.1 擬蒙特卡羅法的Sobol序列

擬蒙特卡羅法求解問(wèn)題的主要思路[14-16]為：首先建立與問(wèn)題相關(guān)的概率模型或隨機(jī)過(guò)程，通過(guò)對(duì)概率模型或隨機(jī)過(guò)程的觀察或抽樣試驗(yàn)計(jì)算所求的隨機(jī)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征，依據(jù)求解精度或者次數(shù)要求，得到目標(biāo)的求解近似值．與傳統(tǒng)的蒙特卡羅法相比，擬蒙特卡羅法采用低偏差數(shù)序列對(duì)問(wèn)題模擬求解．低偏差數(shù)序列能保證產(chǎn)生點(diǎn)列有更強(qiáng)的均勻特征，避免了偽隨機(jī)序列的隨機(jī)特征，在仿真模擬中，既能夠保證解算結(jié)果的精度和穩(wěn)定性，又能夠提高收斂速度．

擬蒙特卡羅法經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展，統(tǒng)計(jì)學(xué)者們提出多種低偏差序列，常見(jiàn)的有 Halton序列[17]、Niederreiter 序列[18]、Sobol 序列[19]等．每種低偏差序列在點(diǎn)列產(chǎn)生的方法均不同，但都能保證無(wú)隨機(jī)的均勻分布特征．

本文采用 Sobol序列對(duì)礦井防塵供水管網(wǎng)系統(tǒng)可靠性進(jìn)行求解，Sobol序列的構(gòu)成過(guò)程如下[20]．

設(shè)mi是小于2i的正奇數(shù)，則

式中vi的構(gòu)成是借助于功能多項(xiàng)式的形式產(chǎn)生的，該多項(xiàng)式為

對(duì)于i＞p，存在遞歸公式

式中⊕表示二進(jìn)制中的按位異或運(yùn)算，即 1⊕0＝0⊕ 1＝1，1⊕ 1＝0⊕ 0＝0．對(duì)于 mi，對(duì)等的遞歸公式為

存在任一整數(shù) y(y為十進(jìn)制數(shù))，能夠唯一表示為與數(shù)基b＝2相關(guān)的表達(dá)式

式中k表示大于等于lb y的最小整數(shù)；aj取值 0或1．則Sobol序列的第z個(gè)元素通過(guò)式(15)產(chǎn)生．

為了加快序列的產(chǎn)生速度，Antonov和Saleev提出了Gray code法[21]，可將式(9)修正為

式中i為滿足aj＝0的最小的j．

Sobol序列在近些年的應(yīng)用較為廣泛，其序列構(gòu)造方法簡(jiǎn)單，點(diǎn)列的均勻性較好．圖1和圖2分別為在1,cm×1,cm的面域內(nèi)抽樣1,000次的偽隨機(jī)數(shù)序列和 Sobol序列的二維分布圖，不難看出，偽隨機(jī)數(shù)序列容易出現(xiàn)局部團(tuán)簇現(xiàn)象，Sobol序列具有較好均勻分布特征．

圖1 偽隨機(jī)數(shù)序列二維分布(抽樣1,000次)Fig.1 Two-dimensional distribution of pseudo-random number sequence(sampling 1,000,times)

2.2 求解流程

礦井供水管網(wǎng)系統(tǒng)可靠度求解流程如圖3所示.

步驟1 計(jì)算供水管網(wǎng)中各個(gè)路徑重要度Lk．根據(jù)各個(gè)需水點(diǎn)的需水量可得到管網(wǎng)總需水量，由各個(gè)單元故障時(shí)管網(wǎng)需水量求得單元閾級(jí)，由式(5)求得單元重要度，再由式(6)求得各路徑重要度．

步驟 2 確定供水管網(wǎng)單元故障率．供水管網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)中單元故障概率較小，參考相關(guān)文獻(xiàn)與統(tǒng)計(jì)資料[10,12]，單元故障次數(shù)的分布規(guī)律接近泊松分布．

用xi表示管段i在1,a內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)，則

式中 l為管段 i的長(zhǎng)度，km；λ為管段 i的故障率，km-1．

用xj表示節(jié)點(diǎn)j在1,a內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)，則

式中Q為節(jié)點(diǎn)j的流量，m3/h；δ為節(jié)點(diǎn)j的故障率，m-3·h

步驟 3 確定模擬次數(shù)，即樣本抽樣次數(shù)．依據(jù)求解精度得到模擬次數(shù)N，構(gòu)造數(shù)量為N的Sobol序列，以便后續(xù)求解．

步驟 4 計(jì)算各路徑連通率 Pk．根據(jù)每次樣本抽樣結(jié)果得到各個(gè)管段發(fā)生故障次數(shù)，由式(7)求解各管段1,a正常工作的概率Pi，計(jì)算各路徑的連通率.

步驟 5 計(jì)算供水管網(wǎng)系統(tǒng)可靠度 R(G)．根據(jù)式(9)求得管網(wǎng)系統(tǒng)可靠度．

步驟 6 判別結(jié)果收斂程度、抽樣次數(shù)是否到達(dá)預(yù)設(shè)的要求．每進(jìn)行 1次抽樣，都求得對(duì)應(yīng)的管網(wǎng)系統(tǒng)可靠度，觀察多次抽樣結(jié)果，判斷結(jié)果是否收斂，抽樣次數(shù)是否達(dá)到要求．若判斷結(jié)果為否，則循環(huán)步驟2～5；若判斷結(jié)果為是，則進(jìn)入下一步驟．

步驟 7 進(jìn)行 N次計(jì)算的可靠度結(jié)果統(tǒng)計(jì)與分析．

圖3 供水管網(wǎng)系統(tǒng)可靠度求解流程Fig.3 Solution process of water supply network system reliability

3 實(shí)例應(yīng)用

將該可靠性分析模型應(yīng)用于開(kāi)灤集團(tuán)某煤礦井下防塵供水管網(wǎng)，該礦供水管網(wǎng)以－50,m處?kù)o壓水池作為主要供水水源．經(jīng)過(guò)對(duì)管網(wǎng)簡(jiǎn)化，管網(wǎng)中共有28個(gè)節(jié)點(diǎn)、27個(gè)管段、10個(gè)需水作業(yè)點(diǎn)，各個(gè)作業(yè)點(diǎn)需水量詳見(jiàn)表 1．礦山井下防塵供水管網(wǎng)基本信息見(jiàn)圖4．管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)、管段參數(shù)信息詳見(jiàn)表2和表3．

表1 礦山井下作業(yè)點(diǎn)需水量Tab.1 Flow water of mine underground working faces

圖4 礦山井下防塵供水管網(wǎng)基本信息Fig.4 Basic information of mine dust-proof water supply network

表2 節(jié)點(diǎn)參數(shù)信息Tab.2 Parameter information of nodes

表3 管段參數(shù)信息Tab.3 Parameter information of pipes

首先，根據(jù)各個(gè)作業(yè)工作面用水點(diǎn)的需水量，分別計(jì)算各個(gè)節(jié)點(diǎn)、管網(wǎng)故障時(shí)能夠保證作業(yè)點(diǎn)水量總和，得到單元閾級(jí)，再代入式(5)求得單元重要度及各個(gè)節(jié)點(diǎn)、管段閾級(jí)和重要度，如表4和表5所示．從表4和表5中可以看出，當(dāng)單元故障時(shí)，其閾級(jí)越低，對(duì)供水管網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)的影響程度越大．管段中流量越集中時(shí)，管段故障時(shí)閾級(jí)越小，其在供水網(wǎng)絡(luò)的重要度越高，同時(shí)對(duì)網(wǎng)絡(luò)可靠性影響程度越高．

所以在管網(wǎng)規(guī)劃設(shè)計(jì)時(shí)，為了提高管網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的可靠性，應(yīng)盡量避免管段流量過(guò)度集中，在條件允許下分散管網(wǎng)管段流量．流量過(guò)于集中時(shí)，一旦發(fā)生故障，對(duì)網(wǎng)絡(luò)的影響程度將會(huì)很大，網(wǎng)絡(luò)整體可靠性隨之降低．此外，在管網(wǎng)維護(hù)時(shí)，應(yīng)當(dāng)根據(jù)不同單元的重要度采取不同程度的加固措施．

表4 節(jié)點(diǎn)閾級(jí)和重要度Tab.4 Threshold level and importance of nodes

表5 管段閾級(jí)和重要度Tab.5 Threshold level and importance of pipes

對(duì)供水管網(wǎng)的路徑進(jìn)行分析，共得出 10條路徑，依據(jù)各路徑的組成單元及其重要度，由式(6)計(jì)算各路徑的重要度，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表6．

表6 各路徑重要度Tab.6 Importance of each path

為求解各路徑上的連通率，首先要計(jì)算單元正常工作的概率，采用 Sobol序列進(jìn)行抽樣，確定管網(wǎng)中各單元 1,a內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)，由式(7)求出各個(gè)單元正常工作的概率，再根據(jù)各路徑上單元組成，代入式(8)求得管網(wǎng)各路徑連通率．結(jié)合路徑重要度和路徑連通率，由式(9)計(jì)算出整個(gè)供水管網(wǎng)系統(tǒng)可靠度．利用 Matlab軟件強(qiáng)大的數(shù)學(xué)計(jì)算功能，并基于Visual C＋＋編程語(yǔ)言和 SQL Server數(shù)據(jù)庫(kù)實(shí)現(xiàn)基于 Sobol序列擬蒙特卡羅法的供水管網(wǎng)可靠度的計(jì)算過(guò)程，為了與傳統(tǒng)蒙特卡羅法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，同時(shí)采用偽隨機(jī)數(shù)序列進(jìn)行供水管網(wǎng)系統(tǒng)可靠度計(jì)算，兩者求解管網(wǎng)可靠度結(jié)果對(duì)比、標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)比結(jié)果分別見(jiàn)圖5和圖6．通過(guò)對(duì)兩者的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較可以看出，進(jìn)行1,000次抽樣模擬后，Sobol序列的模擬結(jié)果基本趨于穩(wěn)定，管網(wǎng)系統(tǒng)可靠度為0.983,889，標(biāo)準(zhǔn)差為 1.497×10-4；偽隨機(jī)數(shù)序列模擬結(jié)果仍然存在振蕩，標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)較大．兩者的模擬結(jié)果與誤差統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表7．

圖5 Sobol序列與偽隨機(jī)數(shù)序列求解管網(wǎng)可靠度曲線Fig.5 Reliability solved with Sobol sequence and pseudorandom sequence

圖6 Sobol序列與偽隨機(jī)數(shù)序列求解可靠度標(biāo)準(zhǔn)差曲線Fig.6 Results′ standard deviation solved with Sobol sequence and pseudo-random sequence

表7 模擬計(jì)算結(jié)果與誤差統(tǒng)計(jì)Tab.7 Statistics of simulation results and standard deviation

4 結(jié) 論

(1) 基于閾級(jí)的單元重要度能夠?qū)┧芫W(wǎng)系統(tǒng)中關(guān)鍵組件進(jìn)行識(shí)別．當(dāng)單元中的流量越集中時(shí)，單元組件故障時(shí)閾級(jí)越小，該組件對(duì)管網(wǎng)系統(tǒng)重要性越大，對(duì)管網(wǎng)可靠性的影響程度越高．

(2) 可以通過(guò)減小單元的故障率和修復(fù)時(shí)間提高管網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可靠性，此外，還應(yīng)盡量避免管段流量過(guò)度集中，在條件允許下分散管網(wǎng)管段流量，根據(jù)單元的重要度大小采取有層次的維護(hù)加固措施．

(3) Sobol序列能保證點(diǎn)列具有更強(qiáng)的均勻性，避免了偽隨機(jī)數(shù)序列的隨機(jī)性，在進(jìn)行 1,000次抽樣模擬后，偽隨機(jī)數(shù)序列的模擬結(jié)果仍然存在振蕩，而Sobol序列模擬的系統(tǒng)可靠度為0.983,889，標(biāo)準(zhǔn)差為1.497×10-4，求解結(jié)果基本趨于穩(wěn)定，具有更高精準(zhǔn)度和穩(wěn)定性，收斂時(shí)間更短．

(4) 將礦井防塵供水管網(wǎng)路徑重要度與連通率相結(jié)合，建立了管網(wǎng)系統(tǒng)可靠性計(jì)算模型，并采用基于 Sobol序列的擬蒙特卡羅法對(duì)管網(wǎng)系統(tǒng)可靠度求解，并將該模型應(yīng)用于礦山實(shí)例，為礦井防塵供水管網(wǎng)系統(tǒng)可靠性分析提供一種新思路．