桑 意 平

(1. 武漢大學(xué) 水資源與水電工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430072；2. 武漢大學(xué) 水工巖石力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430072)

0 引 言

基樁是巖土工程中常見(jiàn)的巖土結(jié)構(gòu)物。在基樁正常使用極限狀態(tài)失效概率估計(jì)中，表征荷載-位移關(guān)系的雙曲線參數(shù)通常被視為關(guān)鍵的隨機(jī)變量[1-7]。此外，現(xiàn)有研究[5-7]表明基樁荷載-位移雙曲線參數(shù)具有明顯的負(fù)相關(guān)性，且這種負(fù)相關(guān)性對(duì)基樁失效概率的估計(jì)具有顯著的影響，忽略雙曲線參數(shù)的負(fù)相關(guān)性將嚴(yán)重高估基樁的失效概率。為了更加準(zhǔn)確地估計(jì)基樁失效概率，實(shí)際工程應(yīng)該充分考慮雙曲線參數(shù)的負(fù)相關(guān)性，建立雙曲線參數(shù)的二維分布模型。近年來(lái)，Copula方法[8]為基樁荷載-位移雙曲線參數(shù)二維分布模型的建立提供了一條簡(jiǎn)單而有效的途徑[5-7]。Copula方法相比其他方法的優(yōu)勢(shì)是，它將二維分布模型的構(gòu)造簡(jiǎn)化為邊緣分布函數(shù)的估計(jì)與Copula函數(shù)的選擇問(wèn)題，且邊緣分布函數(shù)估計(jì)與Copula函數(shù)選擇分開(kāi)獨(dú)立進(jìn)行[5-7]。

試驗(yàn)數(shù)據(jù)是Copula方法構(gòu)造二維分布模型的基礎(chǔ)。當(dāng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的樣本數(shù)目無(wú)窮大時(shí)，基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立的二維分布模型是精確的。然而，受技術(shù)經(jīng)濟(jì)條件的限制，實(shí)際工程中試驗(yàn)數(shù)據(jù)非常有限，基于有限試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立的二維分布模型不可避免地存在較大的統(tǒng)計(jì)不確定性，這是因?yàn)榛谟邢拊囼?yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)量如樣本均值、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)和AIC值具有明顯的變異性[9,10]。傳統(tǒng)的基樁失效概率估計(jì)方法幾乎無(wú)一例外地忽略了雙曲線參數(shù)的統(tǒng)計(jì)不確定性，這些方法只能得到基樁失效概率的點(diǎn)估計(jì)。該點(diǎn)估計(jì)僅考慮了雙曲線參數(shù)本身固有的變異性，而沒(méi)有考慮因試驗(yàn)數(shù)據(jù)有限引起的統(tǒng)計(jì)不確定性。由于統(tǒng)計(jì)不確定性的存在，失效概率的點(diǎn)估計(jì)可能無(wú)法真實(shí)反映基樁的安全度。根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)理論，當(dāng)考慮雙曲線參數(shù)的統(tǒng)計(jì)不確定性時(shí)，基樁失效概率本質(zhì)上是一個(gè)概率分布，此時(shí)將基樁失效概率表示為具有一定置信度水平的置信區(qū)間即失效概率的區(qū)間估計(jì)是一種更加合理的方法[11-13]。

實(shí)現(xiàn)基樁失效概率區(qū)間估計(jì)的關(guān)鍵一步是表征雙曲線參數(shù)二維分布模型的統(tǒng)計(jì)不確定性。該統(tǒng)計(jì)不確定性可以通過(guò)直接模擬雙曲線參數(shù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量如樣本均值、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)和AIC值的變異性來(lái)表征。然而，常規(guī)方法模擬統(tǒng)計(jì)量變異性需要已知大量與試驗(yàn)數(shù)據(jù)相同樣本數(shù)目的樣本，這在工程上是不可能實(shí)現(xiàn)的。幸運(yùn)的是，作為重抽樣方法的Bootstrap方法[14]為統(tǒng)計(jì)量變異性的直接模擬提供了一種有效的工具。Bootstrap方法通過(guò)對(duì)原始試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行有放回地隨機(jī)抽樣獲得大量的與原始試驗(yàn)數(shù)據(jù)相同樣本數(shù)目的Bootstrap子樣本，基于Bootstrap子樣本即可計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的估計(jì)值并獲得統(tǒng)計(jì)量的變異性。Bootstrap方法模擬統(tǒng)計(jì)量變異性只需已知原始試驗(yàn)數(shù)據(jù)，無(wú)需對(duì)統(tǒng)計(jì)量的實(shí)際分布作任何假設(shè)和增加新的數(shù)據(jù)觀測(cè)。Bootstrap方法的上述優(yōu)點(diǎn)使得它在巖土工程領(lǐng)域巖土體參數(shù)統(tǒng)計(jì)量變異性模擬方面獲得了廣泛的應(yīng)用[10-13]。

本文目的在于提出基樁正常使用極限狀態(tài)失效概率區(qū)間估計(jì)方法，推動(dòng)基樁失效概率估計(jì)從傳統(tǒng)的點(diǎn)估計(jì)向區(qū)間估計(jì)轉(zhuǎn)變。為此，首先介紹了基樁標(biāo)準(zhǔn)化荷載-位移雙曲線參數(shù)的定義，并給出了鉆孔現(xiàn)澆灌注樁(ACIP)雙曲線參數(shù)的現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)。其次，基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)采用Copula方法構(gòu)造了雙曲線參數(shù)的二維分布模型，并應(yīng)用Bootstrap方法表征了雙曲線參數(shù)二維分布模型的統(tǒng)計(jì)不確定性。最后，給出了考慮雙曲線參數(shù)二維分布模型統(tǒng)計(jì)不確定性的基樁失效概率區(qū)間估計(jì)方法，并比較了基樁失效概率點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)結(jié)果的優(yōu)缺點(diǎn)。

1 基樁標(biāo)準(zhǔn)化荷載-位移雙曲線模型

1.1 雙曲線參數(shù)的定義

基樁的荷載-位移關(guān)系是基樁設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。為了得到基樁的荷載-位移關(guān)系，首先需要開(kāi)展荷載試驗(yàn)獲取荷載-位移數(shù)據(jù)，然后采用一定的模型如雙曲線模型、冪函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型、GM(1, 1)模型等擬合荷載-位移數(shù)據(jù)，從而得出基樁的荷載-位移關(guān)系曲線。由于參數(shù)較少且物理意義明確，雙曲線模型在擬合基樁的荷載-位移關(guān)系曲線中應(yīng)用最為廣泛。為了進(jìn)一步減小實(shí)測(cè)基樁荷載-位移雙曲線的離散性，有學(xué)者[4-5]提出采用基樁的實(shí)測(cè)極限承載力對(duì)基樁荷載-位移雙曲線模型進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，該標(biāo)準(zhǔn)化的基樁荷載-位移雙曲線模型如下式所示：

(1)

式中：Q為基樁軸向荷載；QSTC為基樁的實(shí)測(cè)極限承載力；y為樁端位移；a和b是雙曲線模型中兩個(gè)參數(shù)，它們均具有明確的物理意義(見(jiàn)圖1)，其中a為雙曲線初始斜率的倒數(shù)，而b為雙曲線極限值的倒數(shù)?？梢?jiàn)，基樁標(biāo)準(zhǔn)化荷載-位移雙曲線模型由雙曲線參數(shù)a和b唯一確定。

圖1 雙曲線參數(shù)的定義Fig.1 Definition of hyperbolic curve-fitting parameters

1.2 雙曲線參數(shù)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)

如前所述，雙曲線參數(shù)a和b是基樁正常使用極限狀態(tài)失效概率估計(jì)的關(guān)鍵變量。為此，以文獻(xiàn)[6]中鉆孔現(xiàn)澆灌注樁(ACIP)雙曲線參數(shù)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)(樣本數(shù)目N=40，屬于非常有限的試驗(yàn)數(shù)據(jù))為例建立a和b的二維分布模型，并估計(jì)基樁的正常使用極限狀態(tài)失效概率。圖2給出了雙曲線參數(shù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖及其生成的40條基樁荷載-位移雙曲線。由于場(chǎng)地變異性和基樁制造缺陷的存在，同一場(chǎng)地的同類(lèi)型基樁得到的荷載-位移關(guān)系曲線并不相同，而是表現(xiàn)出明顯的離散性，與之對(duì)應(yīng)的荷載-位移雙曲線參數(shù)a和b展現(xiàn)出顯著的變異性。此外，a和b還具有明顯的負(fù)相關(guān)性，由試驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算知：a和b的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ為-0.548。下面采用Copula方法建立a和b的二維分布模型以表征a和b的變異性和負(fù)相關(guān)性。

圖2 雙曲線參數(shù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)及基樁標(biāo)準(zhǔn)化荷載-位移雙曲線Fig.2 Test data for a and b and the resulting normalized hyperbolic load-displacement curves for single piles

2 基于Copula方法的雙曲線參數(shù)二維分布模型構(gòu)造

2.1 Copula方法

本文采用Copula方法構(gòu)造雙曲線參數(shù)a和b的二維分布模型。根據(jù)Sklar定理[8]，a和b的聯(lián)合分布函數(shù)F(a,b) 和聯(lián)合概率密度函數(shù)f(a,b)可以分別表示為：

F(a,b)=C[F1(a),F2(b);θ]=C(u1,u2;θ)

(2)

f(a,b)=f1(a)f2(b)D[F1(a),F2(b);θ]=

f1(a)f2(b)D(u1,u2;θ)

(3)

式中：C(u1,u2;θ)為二維Copula函數(shù)；D(u1,u2;θ)為二維Copula函數(shù)的密度函數(shù)；θ為Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)；u1=F1(a)和u2=F2(b)分別為a和b的邊緣分布函數(shù)；f1(a)和f2(b)分別為a和b的概率密度函數(shù)。因此，若已知a和b的邊緣分布函數(shù)和Copula函數(shù)，利用式(2)和式(3)就可以構(gòu)造出a和b的聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度函數(shù)。

2.2 雙曲線參數(shù)二維分布模型

Copula方法構(gòu)造雙曲線參數(shù)a和b的二維分布模型包括以下獨(dú)立的兩步：①確定a和b的邊緣分布函數(shù)；②選擇最優(yōu)的Copula函數(shù)表征a和b的相關(guān)結(jié)構(gòu)?；趫D2所示的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，下面采用Copula方法構(gòu)造a和b的二維分布模型。

首先確定a和b的邊緣分布函數(shù)。為此，選取巖土工程中常用的正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、極值I型分布和威布爾分布作為備選邊緣分布函數(shù)擬合a和b的邊緣分布。為了避免出現(xiàn)負(fù)值，正態(tài)分布和極值I型分布在0處進(jìn)行左截尾。上述4種邊緣分布函數(shù)的分布參數(shù)可以利用a和b的均值和標(biāo)準(zhǔn)差求出(a的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為5.15和3.07 mm；b的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.62和0.16)。

在確定了備選邊緣分布函數(shù)的分布參數(shù)之后，下一步就是采用AIC準(zhǔn)則[15]識(shí)別出擬合試驗(yàn)數(shù)據(jù)最優(yōu)的邊緣分布函數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，具有最小AIC值的邊緣分布函數(shù)被認(rèn)為是擬合試驗(yàn)數(shù)據(jù)最優(yōu)的邊緣分布函數(shù)。對(duì)于參數(shù)a來(lái)說(shuō)，基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算的正態(tài)、對(duì)數(shù)正態(tài)、極值I型和威布爾分布的AIC值分別為202.47、196.03、194.71和196.53，最優(yōu)的邊緣分布是極值I型分布；對(duì)于參數(shù)b而言，4種分布的AIC值分別為-29.12、-30.32、-28.26和-27.53，最優(yōu)的邊緣分布是對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

其次選擇最優(yōu)的Copula函數(shù)表征a和b的相關(guān)結(jié)構(gòu)。眾所周知，數(shù)學(xué)上存在多種二維Copula函數(shù)可以用來(lái)擬合隨機(jī)變量的相關(guān)結(jié)構(gòu)，如Gaussian、Plackett、Frank、Clayton、Gumbel、FGM、AMH Copula等。鑒于a和b具有明顯的負(fù)相關(guān)性，選取巖土工程中常用的Gaussian、Plackett、Frank和No.16 Copula函數(shù)[8]作為備選Copula函數(shù)擬合a和b的相關(guān)結(jié)構(gòu)。上述4種Copula函數(shù)都能表征a和b的負(fù)相關(guān)性，且相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值都能達(dá)到1，非常適合表征a和b的相關(guān)結(jié)構(gòu)[8]。這些Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)θ可以利用a和b的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ求出(Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ為-0.548)。

在確定了備選Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)θ之后，下一步就是采用AIC準(zhǔn)則[15]識(shí)別出擬合試驗(yàn)數(shù)據(jù)最優(yōu)的Copula函數(shù)。同理，具有最小AIC值的Copula函數(shù)被認(rèn)為是擬合試驗(yàn)數(shù)據(jù)相關(guān)結(jié)構(gòu)最優(yōu)的Copula函數(shù)。為此，計(jì)算了Gaussian、Plackett、Frank和No.16 Copula函數(shù)的AIC值，它們分別為-27.01、-31.37、-27.52和-28.25，可見(jiàn)Plackett Copula函數(shù)是擬合鉆孔現(xiàn)澆灌注樁(ACIP)的雙曲線參數(shù)相關(guān)結(jié)構(gòu)最優(yōu)的Copula函數(shù)。

3 基于Bootstrap方法的雙曲線參數(shù)統(tǒng)計(jì)不確定性表征

3.1 Bootstrap方法

如前所述，基于有限試驗(yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)量如樣本均值、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)和AIC值具有較大的變異性，這種變異性導(dǎo)致基于有限試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立的二維分布模型存在明顯的統(tǒng)計(jì)不確定性。為了表征a和b的二維分布模型的統(tǒng)計(jì)不確定性，本文采用Bootstrap方法模擬雙曲線參數(shù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量變異性。Bootstrap方法由Efron于1979年提出，它的基本原理是：通過(guò)對(duì)原始試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行有放回地隨機(jī)抽樣獲得大量與原始試驗(yàn)數(shù)據(jù)相同樣本數(shù)目的Bootstrap子樣本，然后基于Bootstrap子樣本計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的估計(jì)值，最終獲得統(tǒng)計(jì)量的變異系數(shù)及其概率分布。Bootstrap方法只需已知原始試驗(yàn)數(shù)據(jù)，無(wú)需對(duì)統(tǒng)計(jì)量的實(shí)際分布作任何假設(shè)以及增加新的數(shù)據(jù)觀測(cè)。盡管簡(jiǎn)單，但是該方法的理論依據(jù)及其良好的收斂性早已被統(tǒng)計(jì)學(xué)家所證明[14]。

令雙曲線參數(shù)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為X={(ai,bi),i= 1, 2,…,N}，從中有放回地隨機(jī)抽樣N次，每次抽取雙曲線參數(shù)的一次觀測(cè)，從而得到一個(gè)與X相同樣本數(shù)目的Bootstrap子樣本Bj={B1,j,B2,j, …,BN,j}，該抽樣過(guò)程如圖3所示。由于是有放回地隨機(jī)抽樣，因此在Bj中雙曲線參數(shù)的某次觀測(cè)(ai,bi)可能出現(xiàn)一次、多次或零次。重復(fù)上述步驟Ns次，即可獲得Ns個(gè)Bootstrap子樣本。一般來(lái)說(shuō)，為了達(dá)到良好的收斂效果，Bootstrap子樣本數(shù)目Ns通常取值較大。參考前人的研究結(jié)果[10-13]，本文采用Ns=104模擬統(tǒng)計(jì)量如樣本均值、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)和AIC值的變異性。Ns個(gè)Bootstrap子樣本可以得到Ns組樣本均值、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)和AIC值。根據(jù)這些數(shù)值即可獲得樣本均值、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)和AIC值的概率分布和變異系數(shù)。

圖3 Bootstrap方法抽樣示意圖Fig.3 The generation of one bootstrap sample

3.2 雙曲線參數(shù)統(tǒng)計(jì)不確定性

由于Copula方法構(gòu)造的二維分布模型由邊緣分布函數(shù)和Copula函數(shù)組成，因此研究雙曲線參數(shù)二維分布模型的統(tǒng)計(jì)不確定性可以轉(zhuǎn)化為研究邊緣分布函數(shù)和Copula函數(shù)的統(tǒng)計(jì)不確定性。

首先研究邊緣分布函數(shù)的統(tǒng)計(jì)不確定性。圖4給出了Bootstrap方法模擬的a和b樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差的概率密度函數(shù)。可以看出，基于有限數(shù)據(jù)估計(jì)的樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差具有較大的變異性，如a的樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差的變異系數(shù)分別為0.09和0.17，b的樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差的變異系數(shù)分別為0.04和0.12，可見(jiàn)高階矩的樣本標(biāo)準(zhǔn)差比低階矩的樣本均值變異性更大，表明樣本標(biāo)準(zhǔn)差比樣本均值更加難以準(zhǔn)確估計(jì)。樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差的變異性將導(dǎo)致a和b的邊緣分布函數(shù)的分布參數(shù)具有統(tǒng)計(jì)不確定性，這是因?yàn)檫吘壏植己瘮?shù)的分布參數(shù)是根據(jù)樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差確定的。

圖4 樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差的概率密度函數(shù)Fig.4 Probability density functions of sample mean and standard deviation for a and b

圖5給出了Bootstrap方法模擬的4種備選邊緣分布函數(shù)AIC值的概率密度函數(shù)?？梢钥闯觯谟邢迶?shù)據(jù)估計(jì)的AIC值也具有較大的變異性。對(duì)于參數(shù)a來(lái)說(shuō)，正態(tài)、對(duì)數(shù)正態(tài)、極值I型和威布爾分布的AIC值變異系數(shù)分別為0.06、0.06、0.06和0.06；對(duì)于參數(shù)b而言，4種分布AIC值變異系數(shù)分別為0.30、0.27、0.29和0.31。4種備選邊緣分布函數(shù)AIC值的變異性將導(dǎo)致a和b的邊緣分布函數(shù)的分布類(lèi)型具有統(tǒng)計(jì)不確定性，這是因?yàn)檫吘壏植己瘮?shù)的分布類(lèi)型是根據(jù)AIC值識(shí)別的。此外，4種備選邊緣分布函數(shù)AIC值的概率密度函數(shù)重疊區(qū)域較大，這進(jìn)一步說(shuō)明4種備選邊緣分布都有可能被識(shí)別為最優(yōu)邊緣分布函數(shù)。下面分析a和b的邊緣分布函數(shù)的分布類(lèi)型不確定性。

圖5 4種備選邊緣分布函數(shù)AIC值的概率密度函數(shù)Fig.5 Probability density functions of AIC scores for the four candidate marginal distributions

基于每個(gè)Bootstrap子樣本計(jì)算的4種備選邊緣分布函數(shù)的AIC值即可識(shí)別出該子樣本的最優(yōu)邊緣分布函數(shù)，Ns個(gè)Bootstrap子樣本就可以得到Ns個(gè)最優(yōu)邊緣分布函數(shù)。為了表征分布類(lèi)型不確定性，統(tǒng)計(jì)4種備選邊緣分布函數(shù)被識(shí)別為最優(yōu)邊緣分布的次數(shù)。對(duì)于參數(shù)a來(lái)說(shuō)，Ns=104個(gè)Bootstrap子樣本中正態(tài)、對(duì)數(shù)正態(tài)、極值I型和威布爾分布被識(shí)別為最優(yōu)邊緣分布的次數(shù)分別為94、3 435、3 958和2 513；對(duì)于參數(shù)b而言，4種分布被識(shí)別為最優(yōu)邊緣分布的次數(shù)分別為2 334、5 282、1 048和1 336?？梢?jiàn)，在考慮AIC值的變異性時(shí)沒(méi)有一種備選邊緣分布函數(shù)能夠100%被識(shí)別為最優(yōu)邊緣分布。上述結(jié)果表明：基于有限試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定的a和b的邊緣分布函數(shù)存在較大的統(tǒng)計(jì)不確定性，包括分布參數(shù)不確定性和分布類(lèi)型不確定性。

其次研究Copula函數(shù)的統(tǒng)計(jì)不確定性。圖6給出了Kendall秩相關(guān)系數(shù)的概率密度函數(shù)。可以看出，基于有限數(shù)據(jù)估計(jì)的Kendall秩相關(guān)系數(shù)也具有較大的變異性，其變異系數(shù)為0.17。Kendall秩相關(guān)系數(shù)的變異性將導(dǎo)致a和b的Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)具有統(tǒng)計(jì)不確定性，這是因?yàn)镃opula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)是根據(jù)Kendall秩相關(guān)系數(shù)確定的。

圖6 Kendall秩相關(guān)系數(shù)的概率密度函數(shù)Fig.6 Probability density function of Kendall rank correlation coefficient between a and b

圖7給出了4種備選Copula函數(shù)AIC值概率密度函數(shù)?？梢钥闯?，基于有限數(shù)據(jù)估計(jì)的Copula函數(shù)的AIC值也具有較大的變異性，Gaussian、Plackett、Frank和No.16 Copula函數(shù)的AIC值變異系數(shù)分別為0.39、0.39、0.40和0.46。4種備選Copula函數(shù)AIC值的變異性將導(dǎo)致a和b的Copula函數(shù)類(lèi)型具有統(tǒng)計(jì)不確定性，這是因?yàn)镃opula函數(shù)類(lèi)型是根據(jù)AIC值識(shí)別的。此外，4種備選Copula函數(shù)AIC值的概率密度函數(shù)重疊區(qū)域較大，這說(shuō)明4種備選Copula都有可能被識(shí)別為最優(yōu)Copula函數(shù)。下面分析a和b的Copula函數(shù)類(lèi)型不確定性。

圖7 4種備選Copula函數(shù)AIC值的概率密度函數(shù)Fig.7 Probability density functions of AIC scores for the four candidate copula functions

基于每個(gè)Bootstrap子樣本計(jì)算的4種備選Copula函數(shù)的AIC值即可識(shí)別出該子樣本的最優(yōu)Copula函數(shù)，Ns個(gè)Bootstrap子樣本可以得到Ns個(gè)最優(yōu)Copula函數(shù)。為了表征Copula類(lèi)型不確定性，統(tǒng)計(jì)4種備選Copula函數(shù)被識(shí)別為最優(yōu)Copula的次數(shù)，可以得出Ns=104個(gè)Bootstrap子樣本中Gaussian、Plackett、Frank和No.16 Copula函數(shù)被識(shí)別為最優(yōu)Copula的次數(shù)分別為2 251、5 233、9 67和1 549?？梢?jiàn)，在考慮AIC值的變異性時(shí)沒(méi)有一種備選Copula函數(shù)能夠100%被識(shí)別為最優(yōu)Copula。上述結(jié)果表明：基于有限試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定的a和b的Copula函數(shù)存在較大的統(tǒng)計(jì)不確定性，包括Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)不確定性和類(lèi)型不確定性。

4 基樁正常使用極限狀態(tài)失效概率估計(jì)

4.1 失效概率計(jì)算方法

上面應(yīng)用Bootstrap方法表征了a和b二維分布模型的統(tǒng)計(jì)不確定性，下面進(jìn)一步給出考慮a和b二維分布模型統(tǒng)計(jì)不確定性的基樁正常使用極限狀態(tài)失效概率區(qū)間估計(jì)方法。首先給出基樁正常使用極限狀態(tài)失效概率計(jì)算方法。

對(duì)于基樁正常使用極限狀態(tài)來(lái)說(shuō)，當(dāng)基樁實(shí)際位移大于允許位移時(shí)認(rèn)為基樁失效，基樁失效概率計(jì)算的功能函數(shù)為[5]：

g=ya-y(Q)

(4)

式中：ya為基樁允許位移；y(Q)為外荷載Q時(shí)基樁的位移。如果將ya對(duì)應(yīng)的荷載表示為Qa，可得基樁正常使用極限狀態(tài)失效概率計(jì)算另一種表述方式，即當(dāng)基樁實(shí)際荷載Q大于允許荷載Qa時(shí)認(rèn)為基樁失效，基樁失效概率計(jì)算的功能函數(shù)為[5]：

g=Qa(ya)-Q

(5)

由于荷載數(shù)據(jù)比位移數(shù)據(jù)更加容易獲得，這里采用式(5)計(jì)算基樁正常使用極限狀態(tài)失效概率，相應(yīng)的失效概率pf為：

pf=P(Qa(ya)

(6)

將式(1)代入可得：

(7)

從式(7)可以看出，計(jì)算基樁正常使用極限狀態(tài)的失效概率涉及5個(gè)隨機(jī)變量：a、b、ya、Q和QSTC。為此，將式(7)進(jìn)一步表示為：

(8)

4.2 失效概率點(diǎn)估計(jì)

在給出基樁失效概率區(qū)間估計(jì)之前，首先給出傳統(tǒng)方法計(jì)算的基樁失效概率點(diǎn)估計(jì)。如前所述，基樁失效概率點(diǎn)估計(jì)是忽略a和b的二維分布模型統(tǒng)計(jì)不確定性或直接采用基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立的二維分布模型的結(jié)果?；陔p曲線參數(shù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，本文第2節(jié)建立了a和b的二維分布模型，即a和b的最優(yōu)邊緣分布函數(shù)分別為極值I型分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布，a和b的最優(yōu)Copula函數(shù)為Plackett Copula函數(shù)。上述最優(yōu)邊緣分布函數(shù)的分布參數(shù)和最優(yōu)Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)采用基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算的樣本均值、標(biāo)準(zhǔn)差和Kendall秩相關(guān)系數(shù)確定。下面給出基樁失效概率點(diǎn)估計(jì)結(jié)果。

基于本文第2節(jié)建立的a和b的二維分布模型，利用蒙特卡洛模擬方法即可計(jì)算出基樁失效概率的點(diǎn)估計(jì)。表1第2列給出了FS=3.0、2.5和2.0時(shí)基樁失效概率的點(diǎn)估計(jì)結(jié)果?？梢钥闯?，基樁失效概率隨FS的減小而增大。基樁失效概率位于10-2量級(jí)，可見(jiàn)本文設(shè)定的蒙特卡洛模擬次數(shù)完全滿足精度要求。此外，忽略a和b的二維分布模型統(tǒng)計(jì)不確定性，傳統(tǒng)方法只能得到基樁失效概率的點(diǎn)估計(jì)。由本文第3節(jié)可知，a和b的二維分布模型具有較大的統(tǒng)計(jì)不確定性。因此，基樁失效概率的點(diǎn)估計(jì)可能無(wú)法真實(shí)反映基樁的安全度。針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出了基樁失效概率區(qū)間估計(jì)方法。該方法通過(guò)考慮a和b的二維分布模型統(tǒng)計(jì)不確定性，得出基樁失效概率的概率密度函數(shù)，并將失效概率表示為具有一定置信度水平的置信區(qū)間。下面給出該方法的具體實(shí)現(xiàn)步驟。

表1 基樁失效概率點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)Tab.1 Point and interval estimates of probability offailure of single piles

4.3 失效概率區(qū)間估計(jì)

本節(jié)進(jìn)一步給出基樁失效概率區(qū)間估計(jì)。實(shí)現(xiàn)基樁失效概率區(qū)間估計(jì)的關(guān)鍵是成功模擬失效概率的概率分布。首先，基于每個(gè)Bootstrap子樣本識(shí)別的最優(yōu)邊緣分布函數(shù)和最優(yōu)Copula函數(shù)建立a和b的二維分布模型。其次，基于每個(gè)Bootstrap子樣本的二維分布模型利用蒙特卡洛模擬方法計(jì)算出該子樣本的失效概率，Ns個(gè)Bootstrap子樣本就可以得到Ns個(gè)失效概率。最后，基于Ns個(gè)失效概率采用常規(guī)統(tǒng)計(jì)方法即可獲得失效概率的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)和概率分布。

圖8以FS=3.0為例給出了基樁失效概率的概率密度函數(shù)。由于a和b的二維分布模型統(tǒng)計(jì)不確定性的存在，基樁失效概率具有明顯的變異性，如FS=3.0時(shí)基樁失效概率的變異系數(shù)達(dá)到了0.121。為了表征基樁失效概率的變異性，本文將基樁失效概率表示為具有一定置信度水平的置信區(qū)間。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，將基樁失效概率的97.5%和2.5%分位數(shù)分別作為基樁失效概率的95%置信區(qū)間的上下限。表1給出了基樁失效概率區(qū)間估計(jì)結(jié)果，包括基樁失效概率均值、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)和95%置信區(qū)間。與傳統(tǒng)方法計(jì)算的基樁失效概率點(diǎn)估計(jì)相比，由于考慮了a和b的二維分布模型統(tǒng)計(jì)不確定性，基樁失效概率區(qū)間估計(jì)能夠更加合理地表征基樁的真實(shí)可靠度水平。

圖8 基樁失效概率的概率密度函數(shù)Fig.8 Probability density function of probability of failure of single piles

為了研究FS對(duì)基樁失效概率置信區(qū)間的影響，圖9給出了基樁失效概率的95%置信區(qū)間隨FS的變化曲線。為了比較，圖中還給出了基樁失效概率的點(diǎn)估計(jì)。可以看出，基樁失效概率95%置信區(qū)間的上下限隨FS的降低而增加，基樁失效概率置信區(qū)間的變化范圍亦隨FS的降低而增大?；趥鹘y(tǒng)方法計(jì)算的基樁失效概率的點(diǎn)估計(jì)只能反映基樁的平均可靠度水平，而不能給出基樁失效概率的變異系數(shù)及其上下限。與其相反，基樁失效概率區(qū)間估計(jì)方法能夠有效得到基樁失效概率的概率分布及其置信區(qū)間。這種置信區(qū)間不僅能夠更加準(zhǔn)確地表征基樁的可靠度，而且便于工程設(shè)計(jì)人員進(jìn)行基樁的加固設(shè)計(jì)。這是因?yàn)楣こ淘O(shè)計(jì)人員能夠方便地看到基樁失效概率的上下限隨FS的變化關(guān)系。

圖9 基樁失效概率隨FS的變化曲線Fig.9 Variation of probability of failure of single piles with factor of safety

5 結(jié) 語(yǔ)

(1)基于有限雙曲線參數(shù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)的樣本均值、標(biāo)準(zhǔn)差、Kendall秩相關(guān)系數(shù)和AIC值具有較大的變異性，這種變異性進(jìn)一步導(dǎo)致雙曲線參數(shù)的二維分布模型存在明顯的統(tǒng)計(jì)不確定性。

(2)Bootstrap方法通過(guò)模擬雙曲線參數(shù)統(tǒng)計(jì)量的變異性，有效地表征了雙曲線參數(shù)二維分布模型的統(tǒng)計(jì)不確定性。該方法只需已知雙曲線參數(shù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，為有限數(shù)據(jù)條件下統(tǒng)計(jì)量變異性模擬和統(tǒng)計(jì)不確定性表征提供了一條有效的途徑。

(3)雙曲線參數(shù)二維分布模型的統(tǒng)計(jì)不確定性對(duì)基樁失效概率的估計(jì)具有重要的影響。有限數(shù)據(jù)條件下基樁失效概率具有顯著的變異性。為了減小基樁失效概率的變異性，建議增加雙曲線參數(shù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的樣本數(shù)目。

(4)通過(guò)考慮雙曲線參數(shù)二維分布模型的統(tǒng)計(jì)不確定性，基樁失效概率可以表示為具有一定置信水平的置信區(qū)間，而不是傳統(tǒng)方法的點(diǎn)估計(jì)?；鶚妒Ц怕实膮^(qū)間估計(jì)相比點(diǎn)估計(jì)能更加合理地表征基樁的真實(shí)可靠度水平。