劉志東,鄭雪飛

(中央財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100081)

1 引言

Merton[1]較早地提出了擴(kuò)散-跳躍模型，他在經(jīng)典B-S期權(quán)公式的理論框架下加入了跳躍項(xiàng)，認(rèn)為跳躍是一些特殊信息引起價(jià)格的不連續(xù)變動。Barndorff-Nie1sen等[2-3]利用已實(shí)現(xiàn)變差(Realized Variance，簡稱為RV)和雙冪次變差(Bipower Variance，簡稱為BV)的漸進(jìn)分布來檢驗(yàn)跳躍，Andersen，Bollerslev和Dobrev[4]、Lee和Myland[5]提出了局部波動率的概念，提出了能夠識別準(zhǔn)確時(shí)間的跳躍檢驗(yàn)方法。在ABD、LM跳躍檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上，如果同時(shí)對多只股票進(jìn)行跳躍檢驗(yàn)，則可以把相同時(shí)間發(fā)生的跳躍稱之為共跳(Cojumps)。對共跳問題進(jìn)行分析有助于對系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)、市場風(fēng)險(xiǎn)傳導(dǎo)等問題進(jìn)行深入研究。其他對于共跳的研究是從二維資產(chǎn)價(jià)格過程開始的，如Barndorff-Nie1sen和Shepharcl[6]、Gobbi和Mancini[7]、Jacod和Todorov[8]等。Bollerslev等[9]在二維資產(chǎn)價(jià)格研究的基礎(chǔ)上提出了BLT共跳檢驗(yàn)，他們在利用BN-S方法檢驗(yàn)股票和由個(gè)股組成的等權(quán)重指數(shù)跳躍時(shí)發(fā)現(xiàn)，個(gè)股跳躍頻率比指數(shù)跳躍頻率要高，而且個(gè)股之間的跳躍和指數(shù)之間的跳躍沒有明顯的關(guān)系。作者進(jìn)而提出了基于CP統(tǒng)計(jì)量(Cross Product)的共跳檢驗(yàn)方法，這種方法的邏輯是，如果一個(gè)可分散風(fēng)險(xiǎn)組合發(fā)生了跳躍，這個(gè)跳躍只能是由于資產(chǎn)同時(shí)跳躍產(chǎn)生的，即共跳。Liao Yin等[10]基于BLT提出了First-High-Low-Last方法。這種方法本質(zhì)與BLT類似，但是用到了每個(gè)時(shí)間區(qū)間的開盤價(jià)、最高價(jià)、最低價(jià)以及收盤價(jià)。作者利用這四種價(jià)格的線性組合對共跳進(jìn)行檢驗(yàn)，并且證明利用這種方法得到的估計(jì)量相比于BLT方法中的估計(jì)量更為有效，均方根誤差更小。

Bajgrowicz等[11]提出了基于錯誤發(fā)現(xiàn)率(FDR)的閾值跳躍檢驗(yàn)，作者認(rèn)為目前的非參數(shù)檢驗(yàn)方法由于多重檢驗(yàn)問題而存在大量偽跳。隨后，作者基于高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行了跳躍檢驗(yàn)，結(jié)果顯示，之前的非參數(shù)檢驗(yàn)結(jié)果90%左右均是偽跳，沒有顯著的證據(jù)說明跳躍存在聚集性，不能拒絕“泊松跳”的假設(shè)，并且沒有觀察到所有樣本股票共跳的現(xiàn)象，說明跳躍風(fēng)險(xiǎn)是可以分散的。在描述跳躍特征方面，目前主流的理論和實(shí)證研究認(rèn)為純跳躍是復(fù)合泊松過程。泊松跳躍過程的優(yōu)勢是解析式可處理，然而，現(xiàn)實(shí)中不僅單個(gè)資產(chǎn)價(jià)格中的跳躍過程呈聚集性，而且，隨著金融市場的聯(lián)系越來越緊密，不同資產(chǎn)價(jià)格跳躍發(fā)生的時(shí)間也表現(xiàn)出某種同步性。這種同步性最明顯的例子是2010年5月6日發(fā)生在美國市場的“閃電崩盤”。根據(jù)美國證券交易委員會和美國商品期貨交易委員會的統(tǒng)計(jì)，“閃電崩盤”最初發(fā)生在EMiniS&P 500市場價(jià)格急速下跌，然而，在非常短的時(shí)間，這種價(jià)格下跌向ETFs、股票市場指數(shù)及其成份股、衍生品擴(kuò)展和傳播，道瓊斯工業(yè)平均指數(shù)在數(shù)分鐘之內(nèi)下跌9%，這種傳染效應(yīng)在流動性市場極其迅速，導(dǎo)致很多資產(chǎn)價(jià)格出現(xiàn)明顯的同步不連續(xù)跳躍。這些系統(tǒng)性事件不能被假設(shè)價(jià)格跳躍是獨(dú)立過程的泊松模型描述。Gilder等[12]采用高頻數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)股票趨向于系統(tǒng)性共跳的證據(jù)，拒絕了股票跳躍發(fā)生時(shí)間獨(dú)立的假設(shè)。

基于這些明顯偏離獨(dú)立泊松模型的經(jīng)驗(yàn)和事實(shí)，有必要采用合適模型表示資產(chǎn)跳躍過程。Bormetti等[13]認(rèn)為“泊松跳”不足以解釋觀察到的資產(chǎn)價(jià)格跳躍聚集性和大量共跳存在的事實(shí)，建議將Hawkes過程應(yīng)用于跳躍和共跳研究。Hawkes過程最早由Hawkes[14]提出，之后主要應(yīng)用于地震數(shù)據(jù)的研究。在Bormetti等[13]之前，已經(jīng)有學(xué)者開始將Hawkes過程應(yīng)用于數(shù)理金融和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的研究。例如，Bowsher[15]將Hawkes過程應(yīng)用于金融時(shí)間序列分析中，Bacry等[16]將Hawkes過程應(yīng)用到對一維和二維逐筆數(shù)據(jù)的方差建模中，借此來研究微觀噪聲(如均值回復(fù))和Epps效應(yīng)等。

Hawkes過程由于其跳躍強(qiáng)度是時(shí)變的，這一特性可以很好地解釋跳躍的聚集性。但是，直接將單個(gè)Hawkes過程擴(kuò)展到多維資產(chǎn)過程時(shí)卻存在問題，其中之一是多維Hawkes過程需要估計(jì)的參數(shù)呈指數(shù)形式上升。A?t-Sahalia等[17]采用多維Hawkes模型描述跳躍擴(kuò)散過程，來刻畫在危機(jī)期間的金融傳染，并給出在此條件下對數(shù)效用投資者最優(yōu)消費(fèi)和投資問題，采用廣義矩估計(jì)方法對模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。但是該方法由于參數(shù)估計(jì)計(jì)算效率較低，使其應(yīng)用中維數(shù)受到限制，多數(shù)情況下只能用來研究兩種資產(chǎn)跳躍。而采用因子Hawkes模型可以解決此問題。

目前，國內(nèi)學(xué)者對于共跳的研究較少。唐勇和林欣[18]采用常用的日內(nèi)跳躍檢驗(yàn)方法，構(gòu)建了共同跳躍(協(xié))方差和連續(xù)樣本路徑(協(xié))方差，并擴(kuò)展HAR-RV-CJ模型，將(協(xié))方差、共同跳躍置于統(tǒng)一波動模型框架內(nèi)。通過對上證綜指和深圳成指高頻數(shù)據(jù)的實(shí)證分析，結(jié)果顯示兩指數(shù)共同跳躍占其各自的跳躍比例較大，且基本上都是同方向的跳躍；共同跳躍(協(xié))方差和連續(xù)樣本路徑(協(xié))方差對已實(shí)現(xiàn)(協(xié))方差的影響都是顯著的，考慮共同跳躍影響有助于提高(協(xié))方差建模的準(zhǔn)確性。在跳躍、共跳和宏觀信息方面，趙華和秦可佶[19]采用非參數(shù)跳躍識別方法，利用滬深300指數(shù)的高頻數(shù)據(jù)，對中國股市跳躍性和宏觀信息沖擊的關(guān)系進(jìn)行研究。

為此，本文擬引入Hawkes因子模型描述系統(tǒng)性的共跳，假定存在一個(gè)無法觀測的點(diǎn)過程表示市場因子，當(dāng)該因子發(fā)生跳躍時(shí)，每種資產(chǎn)以不同的概率發(fā)生跳躍。通常每種資產(chǎn)價(jià)格跳躍也包含異質(zhì)性點(diǎn)過程。為了捕捉跳躍聚集性，本文采用Hawkes過程對點(diǎn)過程建模。并給出如何對模型進(jìn)行估計(jì)，以及如何區(qū)分系統(tǒng)性跳躍和異質(zhì)性跳躍。并通過實(shí)證和仿真研究展示該模型能夠在縱向和橫向截面上重現(xiàn)多資產(chǎn)跳躍過程。

2 共跳檢驗(yàn)方法比較

共跳檢驗(yàn)方法可以分成兩大類，一種是基于單個(gè)資產(chǎn)跳躍檢驗(yàn)的共跳檢驗(yàn)，這包括：BN-S檢驗(yàn)方法、ABD和LM檢驗(yàn)方法。由于這些方法在研究單個(gè)資產(chǎn)跳躍中應(yīng)用較多，本文在這里不再詳細(xì)贅述，具體可參見相關(guān)文獻(xiàn)。本問在這里重點(diǎn)介紹基于多資產(chǎn)的共跳檢驗(yàn)方法。

考慮一維資產(chǎn)的價(jià)格過程，通常認(rèn)為，資產(chǎn)的對數(shù)價(jià)格pt滿足以下過程：

dpt=μtdt+σtdWt+κtdQt

(1)

其中，μt表示漂移系數(shù)，在研究高頻數(shù)據(jù)時(shí)，一般假設(shè)漂移系數(shù)為0。σt表示擴(kuò)散系數(shù)，Wt是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，κtdQt在這里表示一個(gè)純跳列維過程，通常假設(shè)這個(gè)列維過程是一個(gè)復(fù)合泊松過程，本文用κt表示跳躍的幅度，其跳躍強(qiáng)度是常數(shù)，而跳躍的幅度是獨(dú)立同分布的。

研究中，對于單個(gè)資產(chǎn)，每天可觀察到的等時(shí)間間隔的對數(shù)價(jià)格有M+1個(gè)，時(shí)間間隔為δ，那么，第t天第j個(gè)收益可表示為:

(2)

這樣得到了每個(gè)交易日M個(gè)收益的收益序列。

定義交易日t的已實(shí)現(xiàn)變差RVt(Realized Variance)為：

(3)

在有跳躍的情況下，當(dāng)M→∞時(shí)，RVt將收斂于積分變差和跳躍平方之和：

(4)

其中，Nt表示第t個(gè)交易日跳躍的數(shù)量。

2.1 BLT方法

BLT方法是在BN-S檢驗(yàn)方法的基礎(chǔ)上建立起來的。首先，Bollerslev等[9]構(gòu)建了n只股票的等權(quán)重組合(Equiweighted Portfolio)：

(5)

將BN-S中的RV、BV概念移植到等權(quán)重組合中：

(6)

相應(yīng)的還有：

BVEQW,t=

(7)

(8)

這里為了方便表示，本文應(yīng)用了不同的符號，當(dāng)n足夠大時(shí)，上式中的第一項(xiàng)可以忽略，第二項(xiàng)的系數(shù)近似等于1，因此：

(9)

為了檢驗(yàn)共跳，Bollerslev等[9]提出了CP(Cross Product)統(tǒng)計(jì)量：

(10)

CP統(tǒng)計(jì)量描述了多只個(gè)股之間兩兩協(xié)同運(yùn)動情況，將t交易日的CP統(tǒng)計(jì)量相加，得到：

(11)

當(dāng)n足夠大時(shí)，第二項(xiàng)可以忽略不計(jì)，這說明cpt對單個(gè)股票的特異性運(yùn)動是不敏感的，而對組合的同時(shí)性運(yùn)動即共跳是敏感的，當(dāng)組合出現(xiàn)跳躍時(shí)，有理由相信cpt的值將變大。

從理論上很難證明CP統(tǒng)計(jì)量的分布情況，本文采取靴攀法(Bootstrap)，首先將CP統(tǒng)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)化：

(12)

其中，

(13)

(14)

然后利用蒙特卡羅模擬確定該統(tǒng)計(jì)量在要求的顯著性水平下的閾值。

2.2 FHLL方法

BLT方法只利用了每個(gè)交易區(qū)間的開盤價(jià)和收盤價(jià)，Liao Yin和Anderson[10]在BLT方法的基礎(chǔ)上提出了FHLL方法。FHLL方法利用了每個(gè)交易區(qū)間的開盤價(jià)ptj-1、收盤價(jià)ptj、最高價(jià)htj-1和最低價(jià)ltj-1。在前面的BN-S跳躍檢驗(yàn)方法中，RVt可以表示為：

(15)

(16)

基于以上理論，F(xiàn)HLL方法構(gòu)建了更加有效的估計(jì)量：

(17)

本文將FHLL方法中的統(tǒng)計(jì)量記為FHLLC，和CP統(tǒng)計(jì)量類似，可以構(gòu)造相應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

(18)

其中，F(xiàn)HLLVEQW,t是等權(quán)重組合的FHLLV值，在構(gòu)建組合時(shí)，首先分別計(jì)算每個(gè)時(shí)刻所有樣本股開盤價(jià)、收盤價(jià)、最高價(jià)、最低價(jià)的平均值，然后以平均值計(jì)算出組合在每個(gè)時(shí)刻的FHLLV值，再將每個(gè)交易日的FHLLV值累積求和，得到組合一個(gè)交易日的FHLLVEQW,t的值。

同樣，將FHLLC統(tǒng)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)化，得到：

(19)

其中，

(20)

和BLT方法類似，F(xiàn)HLL方法統(tǒng)計(jì)量的閾值也需要通過蒙特卡羅模擬進(jìn)行計(jì)算。

3 共跳檢驗(yàn)的實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)描述

本文從滬深300成分股中選取了50只股票，這些股票在2013年1月21日至2016年1月21日三年的時(shí)間跨度中均沒有停牌，交易記錄是連續(xù)完整的，本文所有交易高頻數(shù)據(jù)均來自WIND金融咨詢。本文通過兩個(gè)指標(biāo)來確定較為合適的數(shù)據(jù)頻率，一是Andersen等[20]提出的波動率特征圖，即通過計(jì)算不同數(shù)據(jù)頻率下日平均RV，選擇使得RV較為平穩(wěn)的數(shù)據(jù)頻率，如果RV相對平穩(wěn)，則說明微觀噪聲的影響已經(jīng)弱化。二是零收益占比，如果數(shù)據(jù)中出現(xiàn)較多的零收益，會對跳躍檢驗(yàn)產(chǎn)生影響。本文計(jì)算了部分樣本股的日平均RV和零收益占比，結(jié)果顯示，數(shù)據(jù)頻率大于5分鐘之后，其日平均RV較為平穩(wěn)。各股零收益占比隨著數(shù)據(jù)頻率的降低顯著下降，數(shù)據(jù)頻率大于5分鐘之后，零收益占比較為穩(wěn)定，大部分在5%以下，值得注意的是，樣本股中市值最大的個(gè)股工商銀行(601398)交易較為活躍，零收益占比較高，但5分鐘頻率數(shù)據(jù)比1分鐘頻率數(shù)據(jù)的零收益占比下降了近50%。結(jié)合A?t sahalia等[21]的研究，為兼顧數(shù)據(jù)信息量和微觀噪聲影響，本文選擇5分鐘數(shù)據(jù)頻率。

本文從WIND獲取了50只股票除權(quán)除息之后的5分鐘高頻數(shù)據(jù)。由于每日開盤數(shù)據(jù)受到隔夜信息的影響，本文剔除了開盤價(jià)，價(jià)格序列從每個(gè)交易日的9點(diǎn)35分開始，到15點(diǎn)整結(jié)束，每只股票每個(gè)交易日有48個(gè)觀察數(shù)據(jù)。2016年開始試行熔斷機(jī)制，導(dǎo)致市場在新年第一個(gè)交易日就經(jīng)歷了熔斷，隨后馬上再次出發(fā)熔斷。為了避免熔斷對數(shù)據(jù)的影響，本文剔除了兩次熔斷發(fā)生當(dāng)日的交易數(shù)據(jù)，即2016年1月4日、2016年1月7日，處理后，每只股票共計(jì)728個(gè)交易日、34944個(gè)交易價(jià)格。

這50只樣本股覆蓋了25個(gè)不同行業(yè)，本文計(jì)算了樣本股2015年最后一個(gè)交易日的市值，最低為天津港189億元，最高為工商銀行15751億元，從行業(yè)和市值的分布情況看，樣本股對于市場具有非常大的代表性。

由于高頻數(shù)據(jù)存在波動率的日間U效應(yīng)，即在開盤和收盤階段，股票價(jià)格的波動率要大于其他時(shí)間，因此需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，消除這種效應(yīng)對跳躍和共跳檢驗(yàn)的影響。根據(jù)Bormetti等的方法，本文將日間收益數(shù)據(jù)除以一個(gè)日間效應(yīng)因子。

3.2 LM跳躍和共跳檢驗(yàn)結(jié)果

50只樣本股的LM跳躍檢驗(yàn)結(jié)果顯示，每只股票平均發(fā)生了103次跳躍，占數(shù)據(jù)總數(shù)的2.94%，最少的個(gè)股發(fā)生了51次跳躍，最多的個(gè)股天津港(600717)則發(fā)生了171次跳躍。巧合的是，跳躍發(fā)生最多的是市值最小的公司。本文統(tǒng)計(jì)了這些股票跳躍的方向、跳躍時(shí)間等信息，這里選取了10只股票的跳躍結(jié)果。

表1中選取的10只股票，跳躍次數(shù)從66次到171次不等，這里的跳躍概率由跳躍數(shù)量與總收益數(shù)據(jù)量相除得出，可以看到，這10只股票的跳躍概率最低為0.19%，最高為0.49%，以最高概率為例，大概200個(gè)收益序列中會出現(xiàn)一次跳躍，說明跳躍事件的發(fā)生頻率是較低的。另外，平均跳躍收益統(tǒng)計(jì)了當(dāng)跳躍發(fā)生時(shí)該股票在跳躍時(shí)間間隔的收益絕對值的平均值，本文挑選的10只股票中，平均跳躍收益最大的是機(jī)器人(300024)，達(dá)到了3.34%，這只股票來自創(chuàng)業(yè)板，這與市場直觀印象是一致的：創(chuàng)業(yè)板的股票波動性更大，其他個(gè)股的平均跳躍收益基本在3%以下。

表1 部分樣本股跳躍檢驗(yàn)結(jié)果

本文研究了10只股票的跳躍方向，將跳躍發(fā)生時(shí)刻是正收益的跳躍稱為正向跳躍，將跳躍發(fā)生時(shí)刻是負(fù)收益的跳躍稱為負(fù)向跳躍，可以看到，10只樣本股跳躍中大部分是正向跳躍，正向跳躍平均占比達(dá)到了74%，最低占比比例為59.4%，最高占比比例為83.08%，說明在上漲行情時(shí)，市場更容易追漲，使得價(jià)格在短時(shí)間內(nèi)迅速拉升，觸發(fā)跳躍。另一方面，由于我國股市存在漲跌幅限制，對于利好消息的反應(yīng)不能一步到位，有可能是多個(gè)漲停才能徹底消化，這也進(jìn)一步持續(xù)了上漲行情。但是本文注意到，雖然負(fù)向跳躍的數(shù)量占比很低，但是，本文選取的10只樣本股中，只有兩只股票的負(fù)向平均跳躍收益小于正向平均跳躍收益，有三只股票正負(fù)向平均跳躍收益基本相同，而有五只股票負(fù)向平均跳躍收益明顯大于正向跳躍時(shí)的數(shù)值。本文認(rèn)為，相比于上漲行情，引起快速下跌行情的情況較少，但是這些情況都比較嚴(yán)重，如有時(shí)個(gè)股會遭遇“黑天鵝”事件，這種事件的觸發(fā)幾率很小，但是觸發(fā)后對價(jià)格的負(fù)面影響很大。

對于共跳，很多學(xué)者將兩只或以上資產(chǎn)價(jià)格同時(shí)跳躍即作為共跳來處理，如Lahaye等[22]、Gilder等[12]，當(dāng)發(fā)生共跳時(shí)，用公式表示如下：

(21)

其中，Ⅱ{Jumpt,i,j>0}稱為共跳指示函數(shù)，當(dāng)同時(shí)發(fā)生跳躍的資產(chǎn)大于2時(shí)，指示函數(shù)取1，不滿足條件時(shí)，指示函數(shù)取0。Gilder也將這種判別標(biāo)準(zhǔn)稱為“超越數(shù)”規(guī)則。

在個(gè)股LM跳躍檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上，本文依照上述規(guī)則整理出了共跳的情況，本文將這種檢驗(yàn)稱為LM共跳檢驗(yàn)。

表2統(tǒng)計(jì)了不同數(shù)量股票共跳的情況。一共觀察到709次共跳，占數(shù)據(jù)總數(shù)的2%，這一比例要大于單只股票跳躍所占比例。同時(shí)有4只股票或以上跳躍的情況有146次，而至少20只股票一起跳躍的次數(shù)有9次，最多的情況發(fā)生在第一次熔斷之后的首個(gè)交易時(shí)段，即2016年1月5日9點(diǎn)35分，一共有42只股票同時(shí)發(fā)生跳躍，占所有樣本股票的84%；其次是第二次熔斷之后的2016年1月8日9點(diǎn)35分，有30只股票同時(shí)發(fā)生跳躍。由于本文將熔斷發(fā)生的兩天交易數(shù)據(jù)剔除，可能導(dǎo)致前后交易數(shù)據(jù)連續(xù)性受到影響，因此本文單獨(dú)將這兩次大規(guī)模共跳定義為熔斷共跳。

表2 LM共跳檢驗(yàn)結(jié)果

針對20只股票以上的共跳情況，本文進(jìn)行了詳細(xì)分析，表3列出了這9種情況的具體時(shí)刻。9種情況中，除2016年兩次熔斷共跳外，2015年發(fā)生了5次，2013年發(fā)生了2次，2014年沒有觀察到這種情況。本文搜集了這9種情況發(fā)生時(shí)市場表現(xiàn)和重大事件，發(fā)現(xiàn)這9種情況都是在市場暴漲暴跌狀態(tài)下發(fā)生的:兩次熔斷共跳、三次股市暴跌、兩次深V反轉(zhuǎn)、一次大漲、一次極端事件。從2014年7月開始，我國股市進(jìn)入了上漲行情，滬深300指數(shù)從2014年7月1日的2164.56點(diǎn)一路上漲到2015年6月9日的5380.43點(diǎn)，漲幅高達(dá)148.6%，隨后股市開始斷崖式下跌，2015年8月26日，跌到2952.01點(diǎn)，隨后市場開始小幅反彈，但進(jìn)入2016年，又開始新的一波下跌潮。2015年經(jīng)歷了完整的市場動蕩，因此大規(guī)模股票共跳次數(shù)最多。這說明市場在極端情況下，個(gè)股表現(xiàn)和市場關(guān)聯(lián)度非常大，極易遭受市場情緒影響，這也解釋了為什么大規(guī)模共跳發(fā)生時(shí)，個(gè)股跳躍方向基本是一致的，(除兩次熔斷共跳有跳躍方向不一致的情況發(fā)生外，其余情況共跳發(fā)生時(shí)，所有跳躍股票的跳躍方向是一致的)當(dāng)市場趨勢形成時(shí)，更容易出現(xiàn)追漲殺跌的情況，導(dǎo)致大多數(shù)股票價(jià)格隨著市場行情方向運(yùn)動。

表3 20只以上股票共跳情況

另一方面，2015年股市經(jīng)歷了多次暴漲暴跌，如上證綜指跌幅超過5%的共有12次，檢驗(yàn)結(jié)果只記錄到這12次暴跌中的3次，說明并不是每次暴跌都會引起多只股票共跳，如果下跌行情是持續(xù)緩慢的，則價(jià)格路徑也可能是連續(xù)的，并非能造成跳躍。相比于暴漲，暴跌可能更容易造成大規(guī)模共跳，因?yàn)?015年上證綜指漲幅超過3%的情況有19次，但檢驗(yàn)結(jié)果只記錄了一次2.97%的漲幅情況。

本文對LM共跳的日間時(shí)間分布進(jìn)行了分析，結(jié)果顯示，開盤時(shí)間共跳數(shù)量最多，9點(diǎn)35分共跳占所有共跳的4.9%，達(dá)到了35次，而每個(gè)時(shí)間段的平均共跳個(gè)數(shù)是14次，開盤半小時(shí)內(nèi)的共跳占全部共跳的14.5%。另外，由于我國股市有午間休息時(shí)間，下午13點(diǎn)開盤后，共跳數(shù)量也有所上升，下午開盤半小時(shí)內(nèi)發(fā)生共跳占比達(dá)到了16.4%，高于上午開盤半小時(shí)內(nèi)的共跳數(shù)，但各個(gè)時(shí)間段共跳數(shù)量分布相對平均，這說明市場對午間休息時(shí)積累的信息反應(yīng)沒有隔夜信息那么多，釋放速度也較為緩慢，沒有導(dǎo)致開盤即大量共跳的現(xiàn)象發(fā)生。其他時(shí)間段中，臨近尾盤的14點(diǎn)30分共跳是最少的，隨后共跳數(shù)量有所上升，但收盤階段半小時(shí)的共跳只占所有共跳的10.5%，說明尾盤時(shí)間個(gè)股波動沒有開盤時(shí)間劇烈。

3.3 BLT共跳檢驗(yàn)情況

在討論BLT共跳檢驗(yàn)結(jié)果之前，首先要通過蒙特卡羅模擬確定BLT檢驗(yàn)的閾值。

利用Euler分解模擬出50×1維的純隨機(jī)擴(kuò)散過程(即沒有跳躍項(xiàng))，且漂移率為0，方差協(xié)方差矩陣為Σ=CC′,且模擬出的資產(chǎn)對數(shù)價(jià)格滿足如下公式：

dps=C′dW(s)

(22)

這里，本文用ps表示50只股票的對數(shù)價(jià)格運(yùn)動路徑，W(s)是50×1維的相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。方差協(xié)方差矩陣Σ則采用了50只實(shí)證股票的對應(yīng)數(shù)據(jù)。本文設(shè)置每天的時(shí)間為T=1，K表示每天模擬的收益數(shù)量，則每一個(gè)時(shí)間間隔表示為Δt=1/k，N表示一共模擬的天數(shù)。

首先生成Z1,Z2…Zk個(gè)相互獨(dú)立的符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的R50隨機(jī)向量，設(shè)置布朗運(yùn)動的初始狀態(tài)W(0)為50×1的零向量，則有：

(23)

對數(shù)資產(chǎn)價(jià)格的初始狀態(tài)p0設(shè)置為50×1的零向量，則有：

pth+1=pth+C′W(th+1),h=0,…,K-1

(24)

這樣就模擬出50只股票的對數(shù)價(jià)格路徑，然后計(jì)算出相應(yīng)的收益數(shù)據(jù)。

這里，每次模擬100個(gè)交易日的數(shù)據(jù)，再將這個(gè)過程重復(fù)100次，如果模擬5分鐘數(shù)據(jù)，則每天生產(chǎn)48個(gè)交易價(jià)格，每天有47個(gè)收益數(shù)據(jù)，一共47萬個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的原分布，然后計(jì)算出0.1%顯著性水平下的臨界值。從模擬情況下的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布情況，可以看出，BLT統(tǒng)計(jì)量呈現(xiàn)明顯的右偏分布:

在模擬中，本文計(jì)算了不同時(shí)間頻率、不同股票數(shù)量下CP統(tǒng)計(jì)量的臨界值情況:

表4說明，CP統(tǒng)計(jì)量的臨界值在不同顯著性水平下差異較大，但同一顯著性水平下，臨界值對股票數(shù)量不敏感，三組不同數(shù)量的股票結(jié)果基本相同，但是臨界值對數(shù)據(jù)頻率非常敏感，在0.1%、1%水平下，隨著數(shù)據(jù)頻率的增多，臨界值也明顯增大，0.1%水平下，每日16個(gè)價(jià)格頻率的臨界值大概在3.5左右，但每日96個(gè)價(jià)格頻率的臨界值則在6左右。在5%水平下，臨界值呈現(xiàn)不一樣的特征：隨著數(shù)據(jù)頻率增多，臨界值減少，但減小的幅度不明顯。CP統(tǒng)計(jì)量呈現(xiàn)明顯的右偏分布，在降低顯著性要求時(shí)，臨界值會迅速減少，但減少到一定程度后，由于大量數(shù)據(jù)都集中分布在左側(cè)，臨界值會趨于穩(wěn)定。

表4 CP統(tǒng)計(jì)量臨界值

根據(jù)本文數(shù)據(jù)的實(shí)際情況，選取5.32作為0.1%顯著性水平的臨界值，得出了BLT檢驗(yàn)結(jié)果。結(jié)果顯示，50只股票一共出現(xiàn)了130次共跳，從共跳的年度分布看，2013年發(fā)生了43次，2014年發(fā)生了37次，2015年發(fā)生了48次，因?yàn)?016年數(shù)據(jù)量較少，只有兩次共跳發(fā)生，但有一次共跳發(fā)生在2016年1月5日9點(diǎn)35分，即第一次熔斷之后的首筆交易。

從共跳發(fā)生時(shí)的CP統(tǒng)計(jì)量的值看，有些時(shí)間段的共跳較為集中，但有些時(shí)間段共跳較少，共跳呈現(xiàn)一定的聚集性特點(diǎn)，本文將在后面的部分深入討論這個(gè)問題。

本文針對BLT共跳的日間時(shí)間分布進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，BLT共跳結(jié)果顯示，開盤9點(diǎn)35分一共發(fā)生15次共跳，占比為11.53%，開盤半小時(shí)內(nèi)的共跳占所有共跳的16.2%，其他時(shí)間段的共跳分布普遍在5次以下，下午14點(diǎn)之后，共跳數(shù)量有所增大，但臨近尾盤階段共跳數(shù)量明顯減少。雖然方法不同，但和基于單個(gè)資產(chǎn)的LM共跳檢驗(yàn)類似，大部分共跳發(fā)生在10點(diǎn)之前。

3.4 FHLL共跳檢驗(yàn)情況

在描述BLT方法時(shí)，本文利用蒙特卡羅模擬得出了CP統(tǒng)計(jì)量的閾值。進(jìn)行FHLL共跳檢驗(yàn)時(shí)，依然遵循這一思路，由于FHLL需要得到每個(gè)時(shí)間段的開盤價(jià)(對數(shù)值，下同)、收盤價(jià)、最高價(jià)、最低價(jià)，在進(jìn)行模擬時(shí)，本文設(shè)定每個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)有細(xì)分的10個(gè)觀察值，在這10個(gè)觀察值中，取首尾兩項(xiàng)為開盤價(jià)和收盤價(jià)，除首尾外的最高價(jià)、最低價(jià)作為這個(gè)時(shí)間段的相應(yīng)最高價(jià)和最低價(jià)，由此構(gòu)建FHLL統(tǒng)計(jì)量，然后模擬得出了FHLL共跳檢驗(yàn)的臨界值為4.42，這一閾值比BLT的結(jié)果要小，這與Yin Liao和Anderson[10]的結(jié)論是一致的。FHLL檢驗(yàn)結(jié)果顯示，共有70次共跳發(fā)生，共跳次數(shù)是三種共跳檢驗(yàn)方法中最少的，F(xiàn)HLL共跳的日間時(shí)間分布和之前的兩種方法有所不同，由于共跳次數(shù)較少，有5個(gè)時(shí)間段的共跳次數(shù)時(shí)最多的，分別是9點(diǎn)35分、11點(diǎn)、13點(diǎn)20分、15點(diǎn)。雖然開盤9點(diǎn)35分的共跳次數(shù)也較多，但只占到所有共跳的5.7%，且沒有明顯比其他時(shí)間多，開盤半小時(shí)的共跳為10次，占比為14.28%。從FHLLV統(tǒng)計(jì)量的結(jié)構(gòu)來看，由于用到了開盤收盤、最高最低等價(jià)格，此時(shí)的共跳條件要比單純利用開盤收盤要嚴(yán)格，因此共跳的頻率減少了。

3.5 共跳檢驗(yàn)結(jié)果比較

本文對三種共跳檢驗(yàn)方法進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)：

表5 不同共跳檢驗(yàn)方法結(jié)果

三種方法中，檢驗(yàn)共跳數(shù)量最多的是LM方法，其次是BLT方法的130次，最少的是FHLL方法的70次，BLT和FHLL方法的本質(zhì)類似，由于FHLL利用了更多的數(shù)據(jù)，且其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸進(jìn)方差最小，因此結(jié)果有所減少。

從三者的共跳時(shí)間分布來看，第一個(gè)檢驗(yàn)點(diǎn)9點(diǎn)35分所占比重最大的是BLT方法，為11.5%，最小的是LM方法，為4.9%，但是除FHLL共跳外，其他兩種方法9點(diǎn)35分共跳數(shù)量是所有時(shí)間段中最高的，且要明顯大于其他時(shí)間段。10點(diǎn)之前的共跳比例最高的依然是BLT方法，為16.2%，最少是FHLL方法，為14.3%。從三種檢驗(yàn)方法結(jié)果來看，每個(gè)交易日開盤時(shí)刻以及交易最初半小時(shí)是共跳發(fā)生頻率較大的，說明市場在開盤階段，協(xié)同運(yùn)動效應(yīng)是最明顯的，這可能是由于市場開盤階段要對一些宏觀經(jīng)濟(jì)信息以及非交易時(shí)間的隔夜信息進(jìn)行反應(yīng)。

本文對三種方法檢驗(yàn)共跳的重合部分進(jìn)行了研究，并統(tǒng)計(jì)了重合共跳個(gè)數(shù)占各種方法的比例：

表6 不同共跳檢驗(yàn)重合情況

對比結(jié)果顯示，BLT和FHLL、LM和FHLL的重合時(shí)間均較少，為5次、10次，而BLT和LM的重合時(shí)間較多，為59次。從比例上來講，LM與其他兩種方法重合部分分別是8.3%、1.4%，BLT和其他兩者重復(fù)分布分別為45.4%、3.8%，F(xiàn)HLL與其他兩種方法重合部分分別占到7.1%、14.3%?？傮w而言，由于LM共跳數(shù)量最多，導(dǎo)致與LM共跳重復(fù)的比例占其他共跳比例較高，但占LM自身比例較少，雖然BLT檢驗(yàn)方法和LM不同，但是利用的數(shù)據(jù)都是收益數(shù)據(jù)，因此兩者的重合率較高，而FHLL方法與其他兩者的重合率較低。在檢驗(yàn)的時(shí)間范圍內(nèi)，有5次共跳是三種方法同時(shí)檢驗(yàn)到的，具體時(shí)間如下：

表7 三種共跳檢驗(yàn)重合時(shí)間

在LM共跳檢驗(yàn)分析時(shí)，本文對20只以上股票同時(shí)跳躍的時(shí)刻進(jìn)行了分析，其中包括了上述共跳重復(fù)時(shí)間中的2015年1月19日、2015年10月8日和2015年6月4日，這三個(gè)交易日市場波動明顯。2014年11月17日是滬港通正式開始交易的時(shí)間，受此影響，上證綜指高開隨后又迅速下降，導(dǎo)致開盤階段波動明顯，LM共跳檢驗(yàn)顯示有8只樣本股發(fā)生跳躍，2015年5月21日上證綜指上漲1.87%，但沒有發(fā)現(xiàn)其他異常情況。因此，在5個(gè)重復(fù)共跳時(shí)刻，有4次市場有明顯的波動行情，這說明三種共跳檢驗(yàn)都能夠檢驗(yàn)到市場的異常波動，只是各種方法在處理數(shù)據(jù)和利用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上存在差異，導(dǎo)致不同方法對異常波動的敏感性不同，因此大部分檢驗(yàn)結(jié)果在時(shí)間存在不一致性。

4 Hawkes過程與泊松過程

對跳躍研究的主流觀點(diǎn)認(rèn)為，跳躍項(xiàng)是復(fù)合泊松過程?！安此商庇袃蓚€(gè)基本假設(shè)，一是單個(gè)資產(chǎn)跳躍和跳躍之間是獨(dú)立的，二是不同資產(chǎn)之間的跳躍是獨(dú)立的。然而，越來越多的證據(jù)表明，無論是單個(gè)資產(chǎn)還是資產(chǎn)組合之間的跳躍都呈現(xiàn)出和泊松跳不一樣的特點(diǎn)。個(gè)股跳躍發(fā)生的密度呈現(xiàn)出明顯的聚集性，有些時(shí)間內(nèi)跳躍很少，有些時(shí)間內(nèi)發(fā)生跳躍之后會接著發(fā)生多次跳躍。另外一個(gè)和泊松跳假設(shè)不符的現(xiàn)象就是共跳。前文用不同的方法證實(shí)了共跳存在的普遍性，過去的2015年，中國股市上演了多次的千股漲停和千股跌停，綜合指數(shù)在短時(shí)間內(nèi)有很大幅度的下挫，而創(chuàng)業(yè)板更是經(jīng)歷了多次指數(shù)跌停，這些現(xiàn)象都說明市場的融合性在不斷提高，多個(gè)資產(chǎn)之間的同時(shí)性、同方向、大幅度的價(jià)格跳躍現(xiàn)象越來越多，這些同時(shí)性問題顯然是違背每個(gè)資產(chǎn)的跳躍是獨(dú)立的泊松跳的假設(shè)。

根據(jù)Bormetti等[13]的方法，本文將同一只股票在一段時(shí)間窗口內(nèi)至少有兩次跳躍的事件定義為MJ(Multiple Jump)事件，本文用下面的估計(jì)量來表示MJ事件的概率：

(25)

其中，N表示總的時(shí)間長度，w表示選擇的時(shí)間窗口長度，?N/w」表示N/w的整數(shù)部分，Ιsi≥2是一個(gè)指示性函數(shù)，當(dāng)一只股票在選定的w窗口內(nèi)至少發(fā)生兩次跳躍時(shí)，該函數(shù)取值為1，否則為0。這個(gè)估計(jì)量很好地反應(yīng)了個(gè)股跳躍的聚集性，另一個(gè)類似的事件可以描述不同股票之間的共跳情況，本文將這個(gè)情況定義為CJ(Cross Jump)時(shí)間，同樣有：

(26)

本文首先檢驗(yàn)泊松跳的假設(shè)，如果認(rèn)為個(gè)股的跳躍是相互獨(dú)立的泊松跳，那么根據(jù)泊松跳的性質(zhì)，上述兩個(gè)估計(jì)量的均值方差計(jì)算如下：

(27)

其中，pw,λ=P({s≥2})=1-eλω(1-λw)，λ是泊松過程的密度。對于CJ估計(jì)量，類似有：

(28)

其中，qw,λt=P({si≥1})=1-eλiw。

根據(jù)中心極限定理，MJ統(tǒng)計(jì)量的分布近似于正態(tài)分布，可以根據(jù)正態(tài)分布計(jì)算臨界值。

對于本文選取的50只樣本股MJ統(tǒng)計(jì)量計(jì)算結(jié)果，在時(shí)間長度從10分鐘到240分鐘(即一個(gè)交易日的時(shí)間)跨度中，有47只股票實(shí)際計(jì)算出的MJ統(tǒng)計(jì)量均落在了99%臨界值之外。三個(gè)例外個(gè)股情況分別是600009、600362、000983，但是，50只股票在最長100分鐘的時(shí)間跨度中，所有股票的結(jié)果都不符合泊松跳的假設(shè)。因此可以得出結(jié)論，這些個(gè)股的跳躍不可能來自于泊松跳躍。

既然個(gè)股跳躍不符合泊松過程，就需要一個(gè)更為合適的模型去描述資產(chǎn)價(jià)格的跳躍，然后利用實(shí)證數(shù)據(jù)去驗(yàn)證這個(gè)過程是否較泊松過程更為有效。一個(gè)直觀的想法是，可以放松一些泊松過程的假設(shè)條件，比如非齊次泊松過程，考慮到實(shí)證數(shù)據(jù)中一個(gè)跳躍可能激發(fā)另一個(gè)跳躍，本文采取了Hawkes過程作為代替泊松過程的點(diǎn)過程，這類過程的特點(diǎn)是密度是隨機(jī)的、時(shí)變的，當(dāng)一個(gè)跳躍發(fā)生之后，跳躍強(qiáng)度傾向于增大。

考慮單個(gè)點(diǎn)過程N(yùn)(t)，如果該過程的密度滿足以下條件，稱之為Hawkes過程：

(29)

本文參考Ozaki的算法，采用極大似然估計(jì)方法估計(jì)參數(shù)。由于篇幅限制，這里對極大似然函數(shù)和參數(shù)估計(jì)結(jié)果等省略，有需要的可以和作者索取。在參數(shù)估計(jì)的基礎(chǔ)上，利用算法模擬Hawkes過程，將上述參數(shù)帶入模擬算法，得到結(jié)果，在結(jié)果的基礎(chǔ)上計(jì)算MJ統(tǒng)計(jì)量。在模擬Hawkes過程時(shí)，本文參考Ogata[23]、Ozaki[24]等關(guān)于點(diǎn)過程模擬的算法。

從計(jì)算結(jié)果看，在Hawkes過程的假設(shè)下，在較小時(shí)間間隔下，大部分MJ統(tǒng)計(jì)量已經(jīng)在99%置信區(qū)間內(nèi)，隨著時(shí)間間隔的增大，MJ統(tǒng)計(jì)量完全落入了99%的置信區(qū)間內(nèi)，說明單變量Hawkes比泊松過程更好地描述個(gè)股跳躍的聚集性特征。

既然Hawkes過程能夠很好地描述個(gè)股跳躍的聚集性，那是否可以描述多只股票跳躍的互激性呢？本文計(jì)算了數(shù)對股票的CJ統(tǒng)計(jì)量，利用模擬算法模擬1000次每對股票在Hawkes跳躍假設(shè)條件下的CJ統(tǒng)計(jì)量，然后計(jì)算99%置信區(qū)間，結(jié)果顯示，獨(dú)立的多維Hawkes過程不能描述多只股票之間的互激性，以000623、600030股票為例，結(jié)果顯示，所有時(shí)間間隔長度下，CJ統(tǒng)計(jì)量均不在99%置信區(qū)間內(nèi)，實(shí)證結(jié)果的CJ統(tǒng)計(jì)量要顯著大于獨(dú)立Hawkes假設(shè)條件下的模擬值。獨(dú)立的Hawkes過程難以描述個(gè)股跳躍之間的聚集性，是否可以設(shè)立多維Hawkes過程，通過設(shè)置互激參數(shù)來描述多只股票跳躍之間的關(guān)系？

考慮K維Hawkes過程，多維密度為I(t)=(I1(t),…,IK(t))'，第k種資產(chǎn)的密度可以表示為：

(34)

上式中，所有的參數(shù)都是非負(fù)的，保證該過程的平穩(wěn)性，參數(shù)矩陣

(35)

其值應(yīng)小于1。參數(shù)αkk、βkk表示第m種股票價(jià)格路徑的自激性參數(shù)，其余2K(K-1)個(gè)αkm、βkm表示第m種股票價(jià)格跳躍對第k種股票價(jià)格的互激參數(shù)。可以計(jì)算，當(dāng)只有2種資產(chǎn)時(shí)，需要估計(jì)的參數(shù)是10個(gè)，K種資產(chǎn)則需要估計(jì)K(2K+1)個(gè)參數(shù)，數(shù)量較大，因此本文放棄多維Hawkes過程的假設(shè)。

5 Hawkes因子模型及其參數(shù)估計(jì)

5.1 泊松框架下的因子模型

參照Bormetti等[13]的研究思路，本文先建立一個(gè)“虛擬”因子模型，以闡述因子模型的主要思路，并說明因子模型在描述多只股票跳躍關(guān)系的優(yōu)勢。假設(shè)在市場中存在一個(gè)不可觀察的因子，這個(gè)因子可以用一個(gè)點(diǎn)過程來描述。當(dāng)這個(gè)因子發(fā)生跳躍，即代表市場因子的點(diǎn)過程發(fā)生跳躍時(shí)，不同的個(gè)股會依照各自特有的概率而發(fā)生跳躍。先考慮由兩種股票S1、S2組成的市場組合，當(dāng)市場因子跳躍時(shí)，股票S1有p1的概率會發(fā)生跳躍，股票S2有p2的概率會發(fā)生跳躍。當(dāng)因子不發(fā)生跳躍時(shí)，這兩只股票價(jià)格均不會發(fā)生跳躍，但是，如果觀察到兩只股票都沒有發(fā)生跳躍，并不說明市場因子沒有發(fā)生跳躍。本文用密度是λF的泊松過程表示市場因子，總時(shí)間長度為T，則因子發(fā)生跳躍的期望為λFT。個(gè)股跳躍和因子跳躍數(shù)之間的關(guān)系如下：

p1λFT=n1

(36)

p2λFT=n2

(37)

p1p2λFT=n12

(38)

其中，n12表示兩只股票觀察到的共跳數(shù)量。上述方程式中，前兩個(gè)式子要求個(gè)股實(shí)際發(fā)生的跳躍數(shù)量和期望發(fā)生的跳躍數(shù)量相等，而最后一個(gè)式子保證了觀察到的共跳和理論上共跳的期望值相同。n1、n2、n12、T都是已知量，未知參數(shù)可以表示為：

(39)

(40)

(41)

以000623、600030兩只個(gè)股為例，000623發(fā)生了78次跳躍，即n1=78，600030發(fā)生了99次跳躍，即n2=99，兩只個(gè)股同時(shí)跳躍的數(shù)量為24次，即n12=24。根據(jù)上述模型的假設(shè)，可以計(jì)算得出λF=0.0092，p1=0.24，p2=0.31。

在上述計(jì)算結(jié)果的基礎(chǔ)上，首先模擬1000次密度為λF的泊松跳躍過程，在每一次模擬結(jié)果的基礎(chǔ)上，加入符合二項(xiàng)分布的個(gè)股跳躍數(shù)據(jù)，然后得出每一次因子跳躍之后兩只個(gè)股的跳躍情況，根據(jù)跳躍情況計(jì)算出CJ統(tǒng)計(jì)量的值，綜合多次模擬結(jié)果計(jì)算出CJ統(tǒng)計(jì)量的均值和99%置信區(qū)間。從計(jì)算結(jié)果可以看到，泊松因子模型假設(shè)下CJ統(tǒng)計(jì)量都落在了模擬均值的附近，說明因子模型能夠很好地描述股票跳躍之間的關(guān)系。但是，基于泊松過程的模型假設(shè)與實(shí)際情況不相符，泊松跳的假設(shè)不能很好地描述個(gè)股跳躍的聚集現(xiàn)象；另外，上述模型假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格所有跳躍均來自于因子跳躍，不能發(fā)生特異性跳躍。

5.2 基于Hawkes過程的因子模型

本節(jié)將構(gòu)建基于Hawkes過程的因子模型。在泊松因子模型中，假設(shè)存在一個(gè)不被觀察的市場因子，而在Hawkes因子模型中，首先需要找到一個(gè)能夠代表市場的因子的“事件”。怎樣的事件才能代表市場因子，最明顯的是當(dāng)所有股票全部跳躍時(shí)，幾乎可以肯定這時(shí)發(fā)生了系統(tǒng)性“事件”，可以認(rèn)為是市場因子在發(fā)揮作用。但是，本文之前對50只樣本股的跳躍實(shí)證檢驗(yàn)說明，全部股票同時(shí)跳躍的事件是極其罕見的，最多觀察到42只股票同時(shí)跳躍，這種現(xiàn)象發(fā)生在首個(gè)熔斷機(jī)制觸發(fā)之后的第一個(gè)交易日的首個(gè)交易時(shí)間段。當(dāng)然，因子事件的識別也不能基于太少股票同時(shí)發(fā)生跳躍，比如2只股票，2只股票同時(shí)發(fā)生跳躍的次數(shù)共發(fā)生了709次，不能排除有一些2只股票共跳是“偶然發(fā)生的”。因此，本文將“因子”事件定義為3只或以上股票同時(shí)發(fā)生跳躍。

Ρ(Ns(t)在時(shí)間[t,t+Δt]發(fā)生跳躍t)=Is(t)Δt

(42)

其中，Ρ代表在長度為Δt的時(shí)間內(nèi)，該計(jì)數(shù)過程在歷史信息t的基礎(chǔ)上發(fā)生跳躍的概率。假設(shè)樣本股復(fù)合N維獨(dú)立的Hawkes過程，前文已經(jīng)通過極大似然估計(jì)計(jì)算出相應(yīng)的參數(shù)值，然后針對共跳因子出現(xiàn)的時(shí)間，可以計(jì)算出個(gè)股在這些時(shí)間(設(shè)為t=1,…,TF)內(nèi)跳躍的概率矩陣：

(43)

如果這些個(gè)股符合獨(dú)立Hawkes過程的假設(shè)，可以計(jì)算在每個(gè)因子時(shí)間點(diǎn)，這些股票中恰好有3只股票同時(shí)發(fā)生跳躍的概率：

(44)

(45)

這樣就得到了個(gè)股特異性跳躍的時(shí)間點(diǎn)和因子事件的時(shí)間點(diǎn)，然后可以通過極大似然估計(jì)重新對這些跳躍時(shí)間進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，以確定因子事件參數(shù)λF、αF、βF，以及個(gè)股特異性參數(shù)λs、αs、βs。

和之間泊松因子模型類似，當(dāng)因子事件發(fā)生時(shí)，個(gè)股不一定全部跟著跳躍，跳躍與否和各自的概率ps有關(guān):

(46)

下面針對以上模型設(shè)定進(jìn)行實(shí)證分析。在35只樣本股中，3只股票或以上同時(shí)跳躍情況有172次，本文計(jì)算了這172次的Ρ(Jt=3)的值，剔除了其中23次概率值大于0.01的情況，最終確定149個(gè)因子事件，然后對因子事件和個(gè)股特異性跳躍進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。由于篇幅限制，這里參數(shù)估計(jì)結(jié)果等省略。有需要的可以和作者索取。

在參數(shù)估計(jì)的基礎(chǔ)上，本文通過蒙特卡羅模擬來計(jì)算前文中的MJ、CJ統(tǒng)計(jì)量的均值及99%的置信區(qū)間。在模擬時(shí)，每只個(gè)股的總跳躍由兩部分構(gòu)成：一是特異性跳躍，二是以一定概率跟隨因子事件的跳躍。首先利用因子事件的參數(shù)模擬出因子跳躍發(fā)生的時(shí)間，然后通過個(gè)股各自的ps值確定由因子事件產(chǎn)生的跳躍，隨后利用個(gè)股的跳躍參數(shù)模擬出特異性跳躍，將兩種跳躍取并集，得到個(gè)股跳躍的一次模擬結(jié)果，最后將上述模擬過程重復(fù)1000次。

本文選取了具有代表性的四只個(gè)股:000538、300024、000623、600030。其中，000538和300024的ps值較小，分別是0.09、0.06，000623和600030的ps較大，分別是0.13、0.17。本文計(jì)算了四只個(gè)股的MJ統(tǒng)計(jì)量，并通過模擬計(jì)算了相應(yīng)的均值和置信區(qū)間。計(jì)算結(jié)果顯示，在小于100分鐘的較小時(shí)間間隔內(nèi)，四只個(gè)股的MJ統(tǒng)計(jì)量基本落在99%置信區(qū)間內(nèi)，有個(gè)別時(shí)間間隔在置信區(qū)間外，如000538，有些個(gè)股的MJ統(tǒng)計(jì)量基本在模擬均值附近，如600030。當(dāng)時(shí)間長度大于100分鐘時(shí)，所有個(gè)股的MJ統(tǒng)計(jì)量都在99%置信區(qū)間內(nèi)。這和獨(dú)立Hawkes假設(shè)條件下得出的結(jié)果基本一致，說明因子模型能夠很好地描述個(gè)股跳躍的聚集性。

本文計(jì)算了兩對個(gè)股的CJ統(tǒng)計(jì)量：000538和300024、000623和600030，前對組合特異性跳躍數(shù)、共跳數(shù)和ps值均小于后面的組合，這樣的組合選擇可以研究在不同參數(shù)組合情況下因子模型是否穩(wěn)健。計(jì)算結(jié)果顯示，第一組組合的CJ統(tǒng)計(jì)量都落在了均值附近，第二組組合在小時(shí)間長度下，CJ統(tǒng)計(jì)量在99%置信區(qū)間的邊緣，當(dāng)時(shí)間長度大于100分鐘時(shí)，完全落在置信區(qū)間內(nèi)，其他股票組合的結(jié)論與此類似?？偟膩砜?，因子模型能夠解釋多只股票共跳之間的同時(shí)性關(guān)系，但對互激關(guān)系較為密切的股票組合且時(shí)間窗口長度較小時(shí)，模型解釋力要弱于其他股票組合，具體成因還有待進(jìn)一步研究。

6 結(jié)語

本文選取了三種共跳檢驗(yàn)方法對共跳進(jìn)行了研究，LM檢驗(yàn)方法識別的共跳數(shù)量最多，達(dá)到了709次，占數(shù)據(jù)總量的2.03%；BLT檢驗(yàn)方法識別了130次共跳，而FHLL檢驗(yàn)方法識別出70次共跳。從共跳日間時(shí)間分布情況來看，盡管剔除了數(shù)據(jù)的日間效應(yīng)，三種方法結(jié)果都顯示開盤時(shí)間的共跳數(shù)量是最多的，開盤半小時(shí)內(nèi)的共跳數(shù)量占到所有共跳的15%左右。LM共跳檢驗(yàn)結(jié)果顯示，同時(shí)有超過20只個(gè)股共跳的情況基本都發(fā)生在市場有劇烈波動的情況下，其他兩種共跳檢驗(yàn)也捕捉到了一些劇烈波動，三種方法在檢驗(yàn)時(shí)間上有5個(gè)時(shí)間點(diǎn)是重合的，這些時(shí)間點(diǎn)主要是市場處于暴漲暴跌行情時(shí)，另外，2016年首個(gè)熔斷機(jī)制觸發(fā)后的交易日時(shí)間也被三種方法識別為共跳，本文稱之為“熔斷共跳”?？傮w而言，三種方法對于市場較大波動的情況都能有效識別，但LM方法由于利用了個(gè)股跳躍結(jié)果，能夠識別更多的市場波動，BLT方法和FHLL方法對于共跳識別較為謹(jǐn)慎， BLT方法與LM方法都只利用了收益數(shù)據(jù)，因此重合率較高，而FHLL方法利用了更多數(shù)據(jù)，與其他兩種方法識別結(jié)果的重合率較低。但對于不同特征高頻數(shù)據(jù)，由于微觀噪聲影響，通過LM方法識別的共跳可能是由于噪聲的干擾，存在“偽共跳”，而BLT方法通過CP(Cross Product)統(tǒng)計(jì)量估計(jì)協(xié)方差也并不一定是最好的選擇。FHLL方法對于共跳識別較為謹(jǐn)慎，利用了更多數(shù)據(jù)，對協(xié)方差估計(jì)更有效。但是FHLL方法對中等大小的共同跳躍更敏感。

引入Hawkes過程能夠較好地描述個(gè)股跳躍的聚集性，通過對個(gè)股跳躍聚集性的MJ統(tǒng)計(jì)量和個(gè)股共跳聚集性的CJ統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算發(fā)現(xiàn)，泊松跳的假設(shè)和實(shí)證數(shù)據(jù)相差較大，在假設(shè)個(gè)股跳躍符合Hawkes過程的基礎(chǔ)上，50只個(gè)股中有35只個(gè)股的相關(guān)參數(shù)是顯著收斂的，而且Hawkes假設(shè)下的MJ統(tǒng)計(jì)量計(jì)算結(jié)果與實(shí)證結(jié)果相吻合，但CJ統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果說明獨(dú)立的Hawkes過程不能描述共跳的聚集性，而多維Hawkes過程的推廣又存在待估參數(shù)過多的問題，因此本文建立基于Hawkes過程的因子模型，在特異性跳躍的基礎(chǔ)上，當(dāng)市場因子跳躍時(shí)，個(gè)股依據(jù)不同的概率跳躍。本文將3只及以上個(gè)股的共跳作為市場因子事件，并剔除了此類事件發(fā)生概率較高的時(shí)間點(diǎn)。對因子參數(shù)和個(gè)股參數(shù)的估計(jì)結(jié)果顯示，市場因子參數(shù)是顯著收斂的，35只個(gè)股中有30只的參數(shù)是顯著收斂的，且基于模型的MJ統(tǒng)計(jì)量、CJ統(tǒng)計(jì)量和實(shí)證數(shù)據(jù)的擬合程度較好，說明因子模型能夠更好地描述跳躍和共跳的聚集性。