吳 佳何雪明何 楷張 榮

(1. 江蘇省食品先進制造裝備技術(shù)重點實驗室，江蘇 無錫 214122；2. 江南大學理學院，江蘇 無錫 214122)

凸輪曲線從最早只能用于低速凸輪機構(gòu)的等速曲線，到目前能夠用于中、高速凸輪機構(gòu)的標準多項式曲線、簡諧凸輪曲線等已形成了一些系統(tǒng)論述[1-2]。王波波等[3]選取適當?shù)脑O(shè)計變量，根據(jù)工程實際設(shè)計要求的凸輪機構(gòu)參數(shù)，建立相應(yīng)的優(yōu)化模型，求出了符合實際情況的凸輪曲線。相較于簡諧梯形組合凸輪曲線，多項式曲線只要取足夠高的冪次數(shù)，高階導(dǎo)數(shù)便總是連續(xù)的，因此可用于高速凸輪機構(gòu)[4]。劉昌祺等[5]總結(jié)了數(shù)種多項式凸輪曲線的表達式，葛正浩等[6]給出了多項式凸輪曲線的通用表達式以及與各種邊界條件相對應(yīng)的解決辦法。對于中低速凸輪機構(gòu)，設(shè)計時進行運動學分析即可，但隨著生產(chǎn)效率加快，凸輪機構(gòu)的轉(zhuǎn)速不斷提高，僅僅分析運動學特性的方法漸漸失效，因此對于高速凸輪機構(gòu)，在分析運動學特性的同時還需要關(guān)注其動力學特性。張策[7]對凸輪機構(gòu)動力學方面的研究進行了分析與總結(jié)。田亞平等[8]建立了單自由度動力學模型來分析阻尼對凸輪動力學特性的影響，發(fā)現(xiàn)殘余振幅會因阻尼的變大而慢慢衰減。高江紅[9]建立了考慮輸入軸速度波動的等效單自由度高速凸輪機構(gòu)的動力學模型，對力封閉凸輪和形封閉凸輪的動力學特性進行了分析比較，為高速凸輪機構(gòu)的合理設(shè)計提供了依據(jù)。

雖然凸輪曲線設(shè)計及動力學模擬在學術(shù)領(lǐng)域已有較為成熟的理論，但在實際生產(chǎn)過程中卻缺乏科學的應(yīng)用。目前中國多數(shù)從事液體食品包裝的公司在設(shè)計旋蓋機凸輪曲線時采用的方法是：將旋蓋機完成相關(guān)動作時的各個關(guān)鍵點用直線相連，并在關(guān)鍵點連接處倒圓。這種方法將直接導(dǎo)致凸輪曲線僅滿足速度連續(xù)，當凸輪高速運轉(zhuǎn)時，由于存在柔性沖擊，構(gòu)件的動載荷比較大，旋蓋機在現(xiàn)場工作時噪聲大、易磨損，運行效率很低。因此，本研究擬采用多項式擬合法分別對凸輪曲線進行設(shè)計，以提高凸輪曲線的光順性和連續(xù)性，然后對凸輪機構(gòu)進行動力學仿真，最終達到降低旋蓋機凸輪機構(gòu)運行時的振動與噪聲，提高機構(gòu)運行精度。

1 多項式凸輪曲線表達方法

在利用多項式設(shè)計凸輪曲線時，經(jīng)常會遇到局部位移控制條件過多的情況，運用多項式插值法會導(dǎo)致多項式冪次過高，不利于加工，此時運用多項式擬合法可以有效控制多項式冪次。

當凸輪處于升程期(或回程期)時，其控制條件為：在無因次時間Ti(i=0,1,……,m)處達到對應(yīng)的從動件無因次位移Si(i=0,1,……,m)。此時可將問題轉(zhuǎn)化為：存在m對數(shù)據(jù)(Ti,Si)(i=1,2,……,m)，需用n次多項式來擬合這些點，多項式表達式為：

S=C0+C1T1+……+CnTn，

(1)

式中：

n≤m，選取合適的C0,C1,……,Cn，使得：

(2)

那么式(2)為最小二乘擬合多項式凸輪曲線。令

(3)

把式(3)對Ck求偏導(dǎo)數(shù)，得m+1個方程：

(4)

即

(5)

式(5)是關(guān)于C0,C1,……,Cn的線性方程，用矩陣表示為：

(6)

解出Ck(k=0,1,……,n)，從而可得S表達式，即所設(shè)計凸輪曲線的多項式擬合表達。多項式擬合法能夠有效解決局部位移控制條件過多的問題，但是擬合出來的凸輪曲線也會與位移控制點之間存在誤差，因此在對n進行選取時要保證誤差被控制在允許誤差范圍內(nèi)。

2 多項式擬合法設(shè)計旋蓋機凸輪曲線

2.1 凸輪曲線設(shè)計要求描述

現(xiàn)有一臺旋蓋機，單個旋蓋頭每小時旋蓋1 800個，設(shè)計要求在提高轉(zhuǎn)速的情況下，單個旋蓋頭每小時旋蓋個數(shù)能夠達到2 400個，且凸輪機構(gòu)不會出現(xiàn)劇烈振動。凸輪從動件在相應(yīng)角度到達對應(yīng)的位移點，將這些位移點稱為關(guān)鍵點，規(guī)定在關(guān)鍵點的設(shè)計允許誤差為1 mm，其中出瓶位置點至 P1點(30°)和P2點(230°)至旋蓋結(jié)束點為已定的兩段水平位移，旋蓋開始點至P2點也為既定的一段運動規(guī)律。由于現(xiàn)有的凸輪主要工作段在回程期，旋蓋機需要在回程期完成主要的抓蓋、進瓶和旋蓋等動作，該段曲線設(shè)計的好壞直接影響了旋蓋機的旋蓋速度和旋蓋質(zhì)量，因此本文主要對回程期凸輪曲線進行設(shè)計，即主要對從P1點至旋蓋開始點這段進行重新設(shè)計。旋蓋機凸輪機構(gòu)與凸輪模型見圖1。

圖1 旋蓋機凸輪機構(gòu)與凸輪模型

2.2 多項式擬合法設(shè)計凸輪曲線

從P1點至旋蓋開始點共計6個關(guān)鍵點，依次為P1點、抓蓋開始點、抓蓋中心點、抓蓋最低點、進瓶位置點、旋蓋開始點，將時間T無因次化后得到各關(guān)鍵點的無因次位移。因為多項式擬合法缺少對邊界導(dǎo)數(shù)條件的控制，所以不設(shè)定邊界導(dǎo)數(shù)約束條件。多項式擬合法在應(yīng)用時需要給定多項式的最后一項冪次數(shù)，為保證凸輪曲線的速度、加速度、躍度、跳度在回程期均連續(xù)，因此多項式的最高次冪最低必須為5次，本文取高速凸輪機構(gòu)上常用的5次、6次和7次多項式進行擬合。

2.2.1 5次多項式擬合凸輪曲線 根據(jù)式(1)，5次多項式擬合凸輪曲線位移函數(shù)可表示為：

S=C0+C1T+……+C5T5。

(7)

為更方便地控制凸輪曲線形狀，另外插入局部控制點，結(jié)合約束條件，利用最小二乘法，得到5次多項式擬合的凸輪曲線見式(8)。

(8)

根據(jù)式(8)得到利用5次多項式擬合法設(shè)計出來的 P1點至旋蓋開始點整體多項式凸輪曲線圖譜，見圖2。

在關(guān)鍵點的設(shè)計允許誤差為1 mm，計算出各關(guān)鍵點的擬合誤差見表1。從表1中可以看出，在抓蓋開始點有最大的實際位移擬合誤差為0.959 64 mm，小于設(shè)計允許誤差1 mm，符合設(shè)計要求。

圖2 5次多項式擬合凸輪曲線圖譜

關(guān)鍵點無因次時間T無因次位移S現(xiàn)擬合點位移無因次誤差ΔS實際位移誤差Δs/mmP10.000 001.000 001.002 5500.002 550.168 30抓蓋開始0.092 860.848 480.833 9380.014 540.959 64抓蓋中心0.125 000.772 730.785 9810.013 250.874 50抓蓋最低0.339 290.651 520.656 7160.005 200.343 20進瓶位置0.464 290.681 820.668 9950.012 820.846 12旋蓋開始1.000 000.000 000.000 3700.000 370.024 42

2.2.2 6次多項式擬合凸輪曲線 仿照5次多項式擬合凸輪曲線的設(shè)計方法，調(diào)節(jié)控制點，可得到6次多項式擬合凸輪各特性曲線表達式，由表達式得到利用多項式擬合法設(shè)計出來的 P1 點至旋蓋開始點6次多項式凸輪曲線位移圖譜，見圖3。

在關(guān)鍵點的設(shè)計允許誤差為 1 mm，計算出各關(guān)鍵點的擬合誤差見表2。

從表2中可以看出，在抓蓋中心點最大的實際位移擬合誤差為0.502 26 mm，小于設(shè)計允許誤差1 mm，符合設(shè)計要求。

2.2.3 7次多項式擬合凸輪曲線 仿照5次多項式擬合凸輪曲線的設(shè)計方法，調(diào)節(jié)控制點，可得到7次多項式擬合凸輪各特性曲線表達式，由表達式得到利用多項式擬合法設(shè)計出來的P1點至旋蓋開始點7次多項式凸輪曲線位移圖譜，見圖4。

在關(guān)鍵點的設(shè)計允許誤差為 1 mm，計算出各關(guān)鍵點的擬合誤差見表3。

表2 6次多項式關(guān)鍵點的擬合誤差表

圖3 6次多項式擬合凸輪曲線圖譜

圖4 7次多項式擬合凸輪曲線圖譜

關(guān)鍵點無因次時間 T無因次位移 S現(xiàn)擬合點位移無因次誤差ΔS實際位移誤差Δs/mmP10.000 001.000 001.000 1800.000 180.011 88抓蓋開始0.092 860.848 480.846 5060.001 970.130 02抓蓋中心0.125 000.772 730.774 9600.002 230.147 18抓蓋最低0.339 290.651 520.650 0890.001 430.094 38進瓶位置0.464 290.681 820.683 7960.001 980.130 68旋蓋開始1.000 000.000 000.000 7010.000 700.046 20

從表3中可以看出，在抓蓋中心點最大的實際位移擬合誤差為0.147 18 mm，小于設(shè)計允許誤差1 mm，符合設(shè)計要求。

由表1～3中可以看出，隨著多項式的最后一項冪次數(shù)的增加，最大的實際位移擬合誤差由5次多項式擬合的0.959 64 mm 減少到7次多項式的0.147 18 mm，其他關(guān)鍵點的實際位移擬合誤差也相繼減少，可以看出增加最后一項冪次數(shù)，多項式擬合精度更高。為了更直觀地分析凸輪曲線特性參數(shù)的變化，將5次、6次、7次多項式擬合凸輪曲線特性參數(shù)集中加以比較，見表4。

表4 5次、6次、7次多項式擬合凸輪曲線特性參數(shù)對比表

Table 4 Five-power, six-power and seven-power polynomial fitting cam curve characteristic parameter comparison table

多項式次數(shù)VmaxAmaxJmaxQmaxAVmax5次2.16715.58169.7742.620.506次2.03430.96544.94 424.036.407次2.34069.911 292.013 450.052.93

從表4中可以看出，在各特性參數(shù)中，6次多項式的最大速度Vmax最小，為2.034，其他特性參數(shù)Amax、Jmax、Qmax和AVmax均是5次多項式最優(yōu)。而7次多項式的各種特性值在3種多項式曲線中均是最高的，因此性能較差。而且5次多項式的最大速度為2.167，與6次多項式相差不大，并且在高速凸輪機構(gòu)中，最大加速度Amax的重要性優(yōu)于最大速度Vmax，而5次多項式的最大加速度為15.58，只有6次多項式的最大加速度(30.96)的50%左右，因此可以看出這3種多項式中，5次多項式擬合的凸輪曲線綜合性能最優(yōu)。同時，多項式擬合法可以有效解決整體多項式插值法不能控制位移局部形狀的問題以及分段多項式插值法位移高階導(dǎo)數(shù)會出現(xiàn)尖點及突變、曲線銜接不光滑的問題。

3 旋蓋機凸輪機構(gòu)動力學分析

3.1 原凸輪機構(gòu)動力學分析

為了驗證新設(shè)計的凸輪曲線性能，需要先將原旋蓋機凸輪機構(gòu)模型進行動力學仿真分析，如圖5所示，將原凸輪機構(gòu)模型分為5部分，即凸輪中心軸、凸輪、凸輪從動件、從動件上滾子、從動件下滾子，將凸輪機構(gòu)模型導(dǎo)入ADAMS軟件中，對各零部件添加約束與驅(qū)動。

1. 凸輪 2. 凸輪中心軸 3. 凸輪從動件 4. 凸輪上滾子 5. 凸輪下滾子

圖5 凸輪機構(gòu)導(dǎo)入ADMAS的三維模型

Figure 5 3D model of cam mechanism imported into ADMAS

設(shè)置完仿真條件后開始進行動力學仿真分析，得到結(jié)果見圖6。

由于原有的凸輪曲線是將各關(guān)鍵點以直線連接，并在關(guān)鍵點處倒圓，因此僅僅能保證凸輪曲線的速度連續(xù)，但加速度容易在關(guān)鍵點處發(fā)生突變。分析圖6可知，加速度曲線在凸輪機構(gòu)主要工作段即回程有幾處明顯的突變，這是比較符合實際情況的，因為該凸輪機構(gòu)升程期不是主要工作段，對旋蓋機影響比較小，因此主要對P1點至旋蓋開始點段動力學仿真結(jié)果進行分析。為了消除量綱的影響，將P1點至旋蓋開始點段位移、速度和加速度曲線無因次化，得到P1點至旋蓋開始點段無因次動力學仿真曲線見圖7。

分析圖7可知，原凸輪機構(gòu)的動力學仿真速度曲線基本連續(xù)，速度絕對值最大為5.777，而加速度在整個周期內(nèi)均不連續(xù)，且多個地方存在沖擊，最大加速度達到了4.393×104，高速狀態(tài)下，很容易導(dǎo)致凸輪機構(gòu)磨損、振動和疲勞破壞，隨著振動的加劇，從動件的實際運動曲線必將偏離理論曲線，發(fā)生動態(tài)運動誤差。

3.2 多項式擬合凸輪動力學分析

為了驗證新設(shè)計的凸輪曲線性能，分別將5次、6次和7次多項式擬合凸輪曲線轉(zhuǎn)換成凸輪輪廓線并建出凸輪機構(gòu)模型，導(dǎo)入 ADAMS軟件并仿照原凸輪機構(gòu)動力學分析方法，分別得到3種多項式凸輪曲線對應(yīng)凸輪機構(gòu)在P1點至旋蓋開始點段的無因次動力學仿真曲線，與原凸輪動力學仿真曲線進行比較，結(jié)果見圖8。

圖6 原凸輪動力學仿真結(jié)果

圖7 P1點至旋蓋開始點段無因次動力學仿真曲線圖譜

圖8 多項式擬合凸輪和原凸輪動力學分析對比

分析圖8可以發(fā)現(xiàn)，3種多項式擬合凸輪的位移曲線很明顯比原凸輪的位移曲線更加光順，在T=0.1附近，所有速度曲線方向為負，速度急劇增大，其中原凸輪速度曲線變化最大，仿真速度最大值達 5.77；對于仿真加速度曲線，原凸輪的加速度變化也遠遠大于其他曲線，因此可知多項式擬合法設(shè)計凸輪曲線是有效的。由圖8(d)可知，在3種加速度曲線中，整體5次多項式擬合凸輪運行最平穩(wěn)，波動最小，整體 7次多項式擬合凸輪運行時波動最大，與理論加速度曲線的分析是一致的。

由于阻尼和間隙等因素的影響，3條多項式的仿真速度最大值都遠大于理論速度，見表5。6次多項式擬合凸輪的理論速度最大值大于5次多項式的，但是仿真值卻是5次多項式擬合凸輪略優(yōu)于6次多項式的，再因為5次多項式擬合凸輪加速度曲線更平穩(wěn)，因此可以判斷5次多項式擬合凸輪曲線的綜合性能優(yōu)于其他2種曲線。

表5 多項式擬合凸輪理論與仿真速度最大值對比

Figure 5 The comparison of the maximum speed of the polynomial fitting cam theory and simulation

Vmax5次多項式6次多項式7次多項式理論2.1672.0342.340仿真5.2095.2335.611

4 結(jié)論

(1) 經(jīng)過多項式擬合后的凸輪曲線各項特性參數(shù)與原凸輪相比均有所改善。首先，就凸輪運動學性能來說，6次多項式的最大速度Vmax最小(2.034)，5次多項式次之(2.167)，其他特性參數(shù)Amax、Jmax、Qmax和AVmax均是5次多項式最優(yōu)，7次多項式的各種特性值在3種多項式曲線中均最高，因此運動學性能較差；雖然隨著冪次的增加，最大的實際位移擬合誤差由5次多項式的0.959 64 mm減小到了7次多項式的0.147 18 mm，但5次多項式擬合誤差仍能滿足誤差小于1 mm的設(shè)計要求。其次，經(jīng)過多項式擬合設(shè)計的凸輪曲線在動力學性能上也得到了提高，位移、速度曲線較原凸輪變得更加光順，加速度未再出現(xiàn)明顯的突變現(xiàn)象，對比3種多項式擬合而構(gòu)造的凸輪，以5次多項式擬合的凸輪曲線動力學綜合性能最優(yōu)。因此，針對該種旋蓋機凸輪機構(gòu)，采用5次多項式擬合凸輪曲線的設(shè)計方法最合適。

(2) 本研究所采用的多項式擬合凸輪曲線設(shè)計方法，相比于企業(yè)用直線連接關(guān)鍵點并倒圓的設(shè)計方法，極大地提高了曲線的連續(xù)性，曲線由原本的G1連續(xù)升至G2、G3，甚至是G4，這將有效提高凸輪機構(gòu)的動力學性能，減少機構(gòu)振動，從而使旋蓋機在提高轉(zhuǎn)速的情況下也能平穩(wěn)運行。

(3) 本研究為凸輪曲線設(shè)計提供了比較靈活的設(shè)計方法，研究了凸輪曲線對凸輪機構(gòu)動力學特性的影響，所建立的動力學模型雖然精度已足夠，但仍不夠精細，后期可以將間隙的影響考慮其中，進一步深入研究凸輪曲線對凸輪機構(gòu)動力學的影響。