趙 強(qiáng)，何 法

(1. 東北林業(yè)大學(xué) 交通學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150040; 2. 華晨公司汽車工程研究院，遼寧 沈陽 110141)

0 引 言

主動(dòng)懸架通過采用主動(dòng)伺服作動(dòng)器，由外界提供能量，能夠根據(jù)汽車行駛條件動(dòng)態(tài)自適應(yīng)調(diào)節(jié)懸架的剛度和阻尼系數(shù)，兼顧車輛的操作穩(wěn)定性和行駛平順性，還具有可控車身高度等優(yōu)點(diǎn)，一直是行業(yè)內(nèi)學(xué)者和車企的研究重點(diǎn)之一。包括奔馳、保時(shí)捷、豐田、福特等在內(nèi)的國際著名車企都致力于主動(dòng)懸架的開發(fā)與研究，并將不同類型主動(dòng)懸架系統(tǒng)應(yīng)用到各自的車輛上，這些車企一般都有自主研發(fā)的高端主動(dòng)懸架產(chǎn)品。比如：2010年德國大眾汽車公司將最新研發(fā)的空氣懸架系統(tǒng)應(yīng)用到途銳車型上；2013年本田將研發(fā)的主動(dòng)可調(diào)后懸架系統(tǒng)(ADS)首次應(yīng)用到思域旅行車上，其懸架系統(tǒng)能根據(jù)載重情況設(shè)置不同的工作模式；雪鐵龍C5和C6車型采用其第3代的Hydractive液壓式主動(dòng)懸架系統(tǒng)；奧迪A6L、A8車型采用可調(diào)空氣式主動(dòng)懸架，奧迪TT、R8車型則采用電磁式主動(dòng)懸架；2015款凱迪拉克XTS車型裝配了其第3代MRC主動(dòng)式電磁懸架系統(tǒng)。

主動(dòng)懸架研發(fā)主要包括懸架結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化和控制方法設(shè)計(jì)[1]。結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)良的懸架也必須配以最優(yōu)的控制器才能達(dá)到其最佳性能，且優(yōu)秀的控制算法一般對(duì)各種形式主動(dòng)懸架都有應(yīng)用價(jià)值或借鑒作用。所以，深入研究主動(dòng)懸架的控制算法變得尤為重要。目前主動(dòng)懸架控制方法的研究包括：天棚及其改進(jìn)控制[2]、模糊控制[3-4]、最優(yōu)控制[5]、預(yù)測控制[6]、預(yù)瞄控制和魯棒控制等[7-9]。以上研究幾乎都基于1/4車(quarter car)的兩自由度模型，該模型是簡化的線性模型，且未考慮具體懸架形式(如麥弗遜、多連桿型等)的物理特性影響，例如具體懸架幾何關(guān)系所帶來的固有非線性。針對(duì)上述線性兩自由度模型所設(shè)計(jì)的控制算法在應(yīng)用到具體懸架上的控制效果和實(shí)用性有待檢驗(yàn)。因此，筆者基于主動(dòng)懸架具體形式設(shè)計(jì)了合適的魯棒控制算法。

麥弗遜懸架具有結(jié)構(gòu)簡單緊湊、體積小、經(jīng)久耐用等優(yōu)點(diǎn)，是當(dāng)今應(yīng)用最廣泛的懸架之一。國內(nèi)眾多常見車型，如標(biāo)致307、卡羅拉、君越、邁騰、高爾夫6和現(xiàn)代ix35等均采用麥弗遜式懸架。筆者建立了麥弗遜式主動(dòng)懸架LPV模型，針對(duì)該模型采用LMI技術(shù)和區(qū)域極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋H∞控制器，提高懸架性能。

1 麥弗遜主動(dòng)懸架動(dòng)力學(xué)分析

麥弗遜式懸架系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1，主要由控制臂5、減振器3、車身2(簧載質(zhì)量)、主軸和輪胎4(非簧載質(zhì)量)組成。圖1中：zs表示車身垂向位移運(yùn)動(dòng)；d表示減振器上體和下體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)；θ1表示控制臂和減振器之間的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；θ2表示減振器和車身之間的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

由于控制臂質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于簧載質(zhì)量和非簧載質(zhì)量，因此忽略不計(jì)，同時(shí)忽略其柔性變形。則在圖1中添加伺服作動(dòng)器，并假定螺旋彈簧、輪胎變形和阻尼力都在線性區(qū)域內(nèi)變化，形成二維麥弗遜式主動(dòng)懸架簡化模型如圖2。圖2中：伺服作動(dòng)器(其產(chǎn)生的主動(dòng)力為fa)，被動(dòng)元件彈簧(其剛度為ks)和阻尼器(其阻尼系數(shù)為cp)并聯(lián)形成主動(dòng)懸架的滑柱；ms為簧載質(zhì)量；mu為非簧載質(zhì)量；kt為輪胎剛度；fd為負(fù)載擾動(dòng)；zs為車身垂向位移；zr為路面垂向位移；θ0為平衡點(diǎn)控制臂的初始角位移；α′為平衡點(diǎn)時(shí)減振器上端點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線和控制臂之間的夾角；θ為控制臂的角位移。

圖1 麥弗遜式懸架機(jī)構(gòu)Fig. 1 Mechanism diagram of Macpherson suspension

圖2 二維麥弗遜式主動(dòng)懸架簡化模型Fig. 2 Simplified model of 2-D Macpherson active suspension

該模型為從實(shí)際麥弗遜懸架物理模型抽象出的幾何結(jié)構(gòu)，與傳統(tǒng)線性兩自由度模型相比，考慮了懸架具體幾何關(guān)系所帶來的固有非線性特性，因此該模型更準(zhǔn)確，更接近于實(shí)際懸架。由于圖2 模型具有兩個(gè)獨(dú)立自由度，考慮到用zs和zr描述系統(tǒng)更方便簡潔，故為廣義坐標(biāo)。應(yīng)用含耗散能的拉格朗日方程建立懸架的運(yùn)動(dòng)微分方程，首先由動(dòng)能定理可求得主動(dòng)懸架系統(tǒng)的總動(dòng)能，如式(1)：

(1)

由彈性勢能基本公式可得到主動(dòng)懸架系統(tǒng)總勢能，如式(2)：

(2)

麥弗遜式主動(dòng)懸架系統(tǒng)減振器中含有阻尼器，其產(chǎn)生的耗散能如式(3)：

(3)

含耗散能的拉格朗日方程[10-11]如式(4)：

(4)

將式(1)～(3)帶入式(4)，可得二維麥弗遜式主動(dòng)懸架的動(dòng)力學(xué)方程，如式(5)、(6)：

kt{zs+lC[sin(θ-θ0)-sin(-θ0)]-zr}=-fd

(5)

ktlCcos(θ-θ0){zs+lC[sin(θ-θ0)-sin(-θ0)]-zr}-

(6)

(7)

式中：

矩陣中的參數(shù)a21、a23、a24、a41、a43和a44的表達(dá)式限于篇幅不再展開。

2 LPV模型的極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋魯 棒控制

2.1 基于LMI區(qū)域極點(diǎn)配置

其矩陣值函數(shù)如式(8)：

(8)

定義2[12-13]：對(duì)復(fù)平面中給定的左半復(fù)平面的子區(qū)域D和矩陣A，如果矩陣A所有特征值都位于區(qū)域D內(nèi)，則稱矩陣A是D-穩(wěn)定的。

定義3：矩陣Kronecker乘積[12-13](矩陣張量積)對(duì)兩個(gè)給定的矩陣A=(aij)∈Rn×m和B∈Rp×q，矩陣A和B的Kronecker乘積是一個(gè)分塊矩陣A?B=(aijB)∈Rnp×mq。

復(fù)平面上半徑為r，圓心在(-q，0)的圓盤D(r,q)為一個(gè)LMI圓盤區(qū)域，如圖3。

圖3 圓心在(-q，0)半徑為r的圓盤區(qū)域Fig. 3 Disk domain with center at(-q，0)with radius r

該區(qū)域用線性矩陣不等式描述其LMI區(qū)域，如式(9)：

(9)

由r>0可推出：

(10)

因此它的特征函數(shù)如式(11)：

(11)

由式(11)可得：

MD(A,X)=L?X+M?(AX)+MT?(AX)T=

(12)

由以上分析能得出推理：矩陣A的所有特征值均在半徑為r，圓心在(-q，0)的圓盤中充分必要條件是存在對(duì)稱矩陣X>0，使得：

(13)

2.2 LPV系統(tǒng)的區(qū)域極點(diǎn)配置控制

LPV(linear parameter varying)是線性變參數(shù)系統(tǒng)，LMI的發(fā)展推動(dòng)了基于LPV系統(tǒng)的魯棒控制在工程實(shí)踐中應(yīng)用，其克服了傳統(tǒng)控制缺點(diǎn)，能保證系統(tǒng)全局穩(wěn)定性。考慮帶有k個(gè)線性無關(guān)的變量參數(shù)θ=[θ1,…,θk]T的 LPV 系統(tǒng)G(θ)如式(14)：

(14)

式中：x∈Rn為狀態(tài)向量；u∈Rn為控制輸入向量；w∈Rn為擾動(dòng)輸入向量；z∈Rn為性能輸出向量；y∈Rn為系統(tǒng)輸出向量；參數(shù)θ=[θ1,…,θk]T為時(shí)變的參數(shù)序列，代表系統(tǒng)的不確定性或者系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)變化，也是系統(tǒng)所依賴的參數(shù)；A、B1、B2、C1、C2、D11、D12、D21、D22為關(guān)于變參數(shù)θ的仿射函數(shù)，θi為θ=[θ1,…,θk]T的線性仿射函數(shù)。

對(duì)式(14)的時(shí)變變參數(shù)系統(tǒng)，給定γ>0，通過狀態(tài)反饋u=Kx，若存在一個(gè)對(duì)稱矩陣X和矩陣L=KX，使得以下不等式約束成立：

(15)

(16)

若式(15)、(16)對(duì)多胞體模型各個(gè)頂點(diǎn)優(yōu)化問題有解，則所求狀態(tài)反饋增益K=LX-1不僅可保證閉環(huán)的極點(diǎn)落在所設(shè)置的圓盤區(qū)域L(q,r)之中，而且也能保證閉環(huán)的擾動(dòng)抑制具有最小的H系能指標(biāo)γ。根據(jù)所求得凸多胞形結(jié)構(gòu)系統(tǒng)LPV的區(qū)域極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋H的控制器為：K=LX-1,上述不等式約束可通過 LMI 優(yōu)化軟件(如 LMI Control Toolbox)求解[14]。

2.3 基于LPV的主動(dòng)懸架H∞控制

以某車型的麥弗遜式懸架為研究對(duì)象，其基本參數(shù)如下：ms=453 kg；mu=71 kg；cp=1 950 N·s/m；ks=17 658 N/m；kt=183 887 N/m；lA=0.66 m；lB=0.34 m；lC=0.37 m；θ0=12°；α=50°。

根據(jù)式(5)、(6)，考慮非線性項(xiàng)sin2(θ-θ0)和簧載質(zhì)量ms的不確定性，其他參數(shù)均已知。由被動(dòng)麥弗遜式懸架的仿真結(jié)果可知θ的取值范圍，并且已知θ0的值，即可確定sin(θ-θ0)的范圍。令n=sin2(θ-θ0)，可得參數(shù)矩陣φ∈[msn]，其中ms∈[msminmsmax],n∈[nminnmax]。

麥弗遜式主動(dòng)懸架的LPV模型可用多胞體的4個(gè)頂點(diǎn)如式(17)：

(17)

針對(duì)麥弗遜式主動(dòng)懸架的LPV系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)限制在左半平面圓心為(-60，0)、半徑為50的圓盤區(qū)域內(nèi)，并利用 MATLAB中的LMI 工具箱的相關(guān)命令函數(shù)可求解得到極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋魯棒H控制器K，K=[-491.204 2 -121 9.921 6 121.965 4 -11.465 7 ]無論簧載質(zhì)量在317 kg到589 kg范圍如何變動(dòng)，此控制器不僅可保證閉環(huán)的極點(diǎn)落在圓盤區(qū)域L(q,r)之中，且可保證閉環(huán)的擾動(dòng)抑制具有最小H性能γ=1.983 1，此控制器是利用LMI技術(shù)求解麥弗遜主動(dòng)懸架LPV的極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋控制器。

3 仿真分析

選擇C級(jí)路面的不平度來建模，車速取40 km/h，麥弗遜式懸架的簧載質(zhì)量設(shè)置為標(biāo)稱質(zhì)量453 kg，根據(jù)2.3節(jié)中給出的懸架參數(shù)，在Simulink平臺(tái)中建立麥弗遜主動(dòng)懸架仿真模型，如圖4。

選取路面激勵(lì)模型作為路面輸入zr，得到車身加速度和控制臂角位移響應(yīng)曲線，如圖5。

由圖5可看出：在隨機(jī)路面激勵(lì)下，麥弗遜主動(dòng)懸架相比于同參數(shù)的被動(dòng)麥弗遜懸架和模糊PID控制的麥弗遜懸架，其車身加速度和控制臂角位移的峰值都有所減少。其計(jì)算對(duì)應(yīng)的均方根值如表1。

由表1可看出：主動(dòng)麥弗遜懸架與其被動(dòng)形式相比：車體質(zhì)心垂直加速度減少了13.48%；控制臂角位移減少了大約17.58%；而其與模糊PID控制主動(dòng)懸架相比，雖然加速度增加了11.12%，但控制臂減少了24.68%，明顯降低了車身振動(dòng)幅度。

根據(jù)圖5中的數(shù)據(jù)，繪制車身加速度和控制臂角位移的功率譜密度曲線，如圖6。

圖4 麥弗遜主動(dòng)懸架simulink模型Fig. 4 Simulink model of Macpherson active suspension

圖5 車身加速度和控制臂位移曲線Fig. 5 Vehicle body acceleration and angular displacement of control arm

圖6 功率譜密度曲線Fig. 6 Power spectral density curve

結(jié)果(均方根值)車身加速度/(m·s-2)控制臂角位移/rad/(°)被動(dòng)1.232 80.063 73.654 9模糊PID控制器0.959 80.069 83.999 2極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋魯棒控制器1.066 50.052 53.012 1

由圖6可看出：在隨機(jī)路面的激勵(lì)下，主動(dòng)麥弗遜懸架相比于被動(dòng)麥弗遜懸架在4～8 Hz范圍內(nèi)，其車身加速度和控制臂角位移功率譜密度峰值較小，因此從頻域內(nèi)進(jìn)一步驗(yàn)證主動(dòng)懸架提高了車輛的平順性和懸架的穩(wěn)定性。

將模型中的簧載質(zhì)量標(biāo)稱值分別改為最小值317 kg(空載)和最大值589 kg(滿載)，并以階躍函數(shù)代替模型中的隨機(jī)路面輸入，分別得到車身加速度和控制臂角位移的響應(yīng)曲線，如圖7。

圖7 車身加速度和控制臂角位移Fig. 7 Vehicle body acceleration and control arm angular displacement

由圖7看出：參數(shù)簧載質(zhì)量取最小值和最大值時(shí)，所設(shè)計(jì)的極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋魯棒控制器均適用，與被動(dòng)麥弗遜懸架相比，能降低車身加速度和控制臂角位移幅度，進(jìn)一步提高車輛行駛平順性和懸架穩(wěn)定性。

4 結(jié) 語

筆者運(yùn)用拉格朗日方程分析簡化的二維麥弗遜懸架模型，并推導(dǎo)出麥弗遜懸架的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，并針對(duì)簧載質(zhì)量的不確定性，建立麥弗遜式主動(dòng)懸架的LPV模型，應(yīng)用LMI技術(shù)和區(qū)域極點(diǎn)配置方法完成了狀態(tài)反饋魯棒控制器設(shè)計(jì)。仿真分析驗(yàn)證了帶有極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋魯棒H∞控制器的麥弗遜式主動(dòng)懸架車輛行駛平順性和穩(wěn)定性明顯優(yōu)于參數(shù)相同的被動(dòng)麥弗遜式懸架。