蔡 蘇，方 勃

(沈陽航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)部(院)，沈陽 110136)

熱彈性應(yīng)力被廣泛應(yīng)用于航天航空工程實(shí)際問題中， 如零件在熱應(yīng)力作用下的強(qiáng)度、剛度等等問題，使熱彈性應(yīng)力的探討具有越來越重要的意義。M.A.Biot[1]建立熱彈性力學(xué)變分原理，但是溫度場(chǎng)的變化不僅受熱源、換熱邊界條件、傳熱系數(shù)等因素影響[2]，還取決于彈性應(yīng)變，認(rèn)為熱傳導(dǎo)方程與熱彈性運(yùn)動(dòng)方程需聯(lián)立耦合求解[3]。耦合效應(yīng)增加了實(shí)際問題的求解難度，什么情況下可以將耦合項(xiàng)略去不計(jì)至關(guān)重要。B.A.Boley[4]等人引入耦合系數(shù)來討論耦合影響。在計(jì)算耦合熱彈性問題時(shí)，最常用方法是拉普拉斯變換，Y.Takeuti等[5-6]通過熱彈性勢(shì)函數(shù)和勒夫位移函數(shù)的引入探討了軸對(duì)稱耦合熱應(yīng)力問題，給出熱應(yīng)力的一般處理方法，該法在求解二維或三維的瞬態(tài)熱應(yīng)力問題非常實(shí)用[7-9]。同時(shí)熱沖擊問題受到廣泛關(guān)注，外界加熱條件的突變使物體產(chǎn)生非定常熱應(yīng)力，較高的應(yīng)變率影響了溫度場(chǎng)分布規(guī)律，所以耦合效應(yīng)在熱沖擊問題中表現(xiàn)明顯[10]。廣義熱彈性理論的耦合非線性控制方程的精確解存在于特殊邊界條件下，當(dāng)邊界條件非理想化時(shí)，精確求解存在一定困難，于是J.T.Orden[11]等人利用了有限元法近似求解半空間耦合問題。隨著對(duì)耦合效應(yīng)理解加深，溫度場(chǎng)、應(yīng)變場(chǎng)、電磁場(chǎng)等多場(chǎng)耦合的研究為實(shí)際問題的解決提供了越來越多的幫助，也進(jìn)一步發(fā)展了耦合熱彈性應(yīng)力地研究。

本文采用常用的金屬材料分析，耦合項(xiàng)的影響比動(dòng)力項(xiàng)大，所以可忽略動(dòng)力項(xiàng)，模型變?yōu)閿M靜態(tài)形式，建立解析方法求解模型。基于熱彈性理論，引入勢(shì)函數(shù)將互耦的溫度場(chǎng)與位移場(chǎng)分離為獨(dú)立方程，采用Bessel方程、Laplace變換與留數(shù)定理求解[12]，研究了圓柱體受垂直于外表面的熱沖擊作用的熱彈耦合問題。

1 模型建立

圖1所示有限長均質(zhì)各向同性圓柱體結(jié)構(gòu)，長度為L，半徑為a，沿圓柱體的軸向?yàn)橹鴺?biāo)系當(dāng)中的坐標(biāo)軸Z軸，假定初始時(shí)刻t=0時(shí)，受到垂直于外表面的持續(xù)熱沖擊。

圖1 圓柱體模型

圓柱體表面受熱沖擊屬第一類熱邊界條件，初始條件和邊界條件如下，其中TA為參考溫度，T表示溫度場(chǎng)，H[t]為Heaviside單位函數(shù)，h為相對(duì)換熱系數(shù)

初始條件：t≤0時(shí)，T=0，ui=0，σij=0

(1)

邊界條件：t>0及Z=0，Z=L時(shí)，T=0，u=0，σZ=0

(2)

對(duì)于均質(zhì)的各同性體不考慮動(dòng)力項(xiàng)和內(nèi)熱源[13]，則軸對(duì)稱耦合熱彈性控制方程為

擬靜態(tài)熱彈性方程

(3)

熱傳導(dǎo)方程

(4)

本構(gòu)方程

(5)

引入如下無量綱變量，以便簡(jiǎn)化求解以上方程

ρ=R/a，z=Z/a，l=L/a，τ=Ht/a2

(6)

(7)

(8)

將(8)中的兩個(gè)調(diào)和函數(shù)代入本構(gòu)方程(5)及控制方程方程(7)當(dāng)中可得

(9)

應(yīng)用拉普拉斯變換與反變換求解以上方程，f(t)的象函數(shù)用f*(s)表示，則關(guān)于時(shí)間t的邊界條件(2)的變換形式為

(10)

(11)

(12)

將式(11)、(12)分別代入到拉普拉斯變換后的u*和σ*中可得

(13)

(14)

2 數(shù)值計(jì)算與分析

本文算例選取有限長圓柱體，討論耦合效應(yīng)對(duì)柱體內(nèi)外部溫度場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)影響，表1 給出了公式當(dāng)中具體參數(shù)值(國際單位)。

表1 參數(shù)

通過數(shù)值仿真，分別對(duì)耦合與非耦合兩種情況進(jìn)行了分析，即耦合系數(shù)δ=0相當(dāng)于非耦合，δ≠0相當(dāng)于耦合，圖2至圖12中顯示了溫度場(chǎng)與應(yīng)力場(chǎng)的變化情況。圖中用虛線表示耦合，實(shí)線表示非耦合，為計(jì)算簡(jiǎn)便并在保證精度的情況下取n=6。

圖2 溫度場(chǎng)沿徑向變化圖

由圖2～4可知，在z=5截面上，當(dāng)ρ值較小時(shí)，溫度隨τ值減小而增大，當(dāng)ρ值大于0.3時(shí)，溫度隨著τ值增大而增大，且趨于一穩(wěn)定值收斂，耦合與非耦合差異變小；當(dāng)τ值較小時(shí)，外部溫度大于內(nèi)部且溫差較大。隨著τ值增大,外部與內(nèi)部溫差逐漸減小。耦合與非耦合差值隨著τ值增大逐漸減小且趨近于重合，符合實(shí)際情況。

圖3 溫度場(chǎng)沿軸向變化圖

圖4 溫度場(chǎng)隨時(shí)間變化圖

圖5 徑向應(yīng)力沿徑向變化圖

圖6 徑向應(yīng)力隨時(shí)間變化圖

圖7 環(huán)向應(yīng)力沿徑向變化圖

圖8 環(huán)向應(yīng)力沿軸向變化圖

由圖5～6可知，在z=5的截面上，徑向應(yīng)力表現(xiàn)為壓應(yīng)力。壓應(yīng)力由內(nèi)部到外部沿徑向的值逐漸減小，且值趨近于0。當(dāng)τ值較小時(shí)，其值也大，τ約為0.6時(shí)應(yīng)力值達(dá)到峰值,然后隨著τ值增大而逐減小。在τ約為 0.1時(shí)，耦合與非耦合差異較大。

由圖7～9可知，橫截面上環(huán)向應(yīng)力變化規(guī)率，柱體內(nèi)外部有拉壓力到壓應(yīng)力的轉(zhuǎn)變，在z=5的截面上，拉應(yīng)力值隨著τ先增大后減小，且趨近于穩(wěn)定，τ值約在0.2時(shí)應(yīng)力值達(dá)到峰值。耦合與非耦合差異值分別隨z、ρ值的變化都發(fā)生符號(hào)改變。

圖9 環(huán)向應(yīng)力隨時(shí)間變化圖

圖10 軸向應(yīng)力沿徑向變化圖

圖11 1柱體外軸向應(yīng)力變化圖

由圖10～13可知，柱體中間截面上, 軸向應(yīng)力的分布由于柱休外部溫度高于內(nèi)部,柱體外部呈拉應(yīng)力區(qū)，內(nèi)部呈壓應(yīng)力區(qū)，是外部材料受熱膨脹而受到擠壓的結(jié)果，以及隨τ值的變化規(guī)律與環(huán)向應(yīng)力類似。當(dāng)τ值約為0.5時(shí)，拉應(yīng)力與壓應(yīng)力的區(qū)域逐漸趨向穩(wěn)定。且τ值增大，應(yīng)力趨向于0，耦合與非耦合差異值分別隨z、ρ、τ值的變化發(fā)生符號(hào)改變。

圖12 2柱體內(nèi)軸應(yīng)力變化圖

圖13 軸向應(yīng)力隨時(shí)間變化圖

3 結(jié)論

耦合效應(yīng)是解決工程熱彈性問題的重要研究內(nèi)容，本文建立了熱沖擊作用的圓柱體的熱彈性耦合模型，引入兩個(gè)調(diào)和函數(shù)并給出解析算法，通過算例仿真證明，嚴(yán)格推導(dǎo)出的解析解在整個(gè)時(shí)間域是有效的。因?yàn)樗捎玫鸟詈蠀?shù)是金屬的一個(gè)實(shí)際值，所以計(jì)算方法與數(shù)值結(jié)果也同樣適用于工程問題。且結(jié)果證明，耦合與非耦合在分布圖上表現(xiàn)出差異，溫度分布上差異明顯。