浙江省寧波市第四中學(xué) (315016) 蔣亞軍 魏定波

這是2017年浙江高考數(shù)學(xué)第17題，涉及絕對(duì)值函數(shù)的最值問(wèn)題歷來(lái)受到競(jìng)賽、自主招生、高考命題者的青睞，它的解法離不開(kāi)分類(lèi)討論，這種通法明顯比較繁瑣，本文從另一角度——“數(shù)形結(jié)合”法破解這類(lèi)問(wèn)題.

1 構(gòu)建主元函數(shù)的圖像

圖1

解析:所求問(wèn)題等價(jià)于求函數(shù)y=f(x)在[1，2]上的最大值，由于a>0，f(x)max=max{f(1)，f(2)}=max

{|a+b-2|，|2a+b-

1|}(如圖1)，記g(b)=max{|a+b-2|，|2a+b-1|},依題意得g(b)≥m.

例2 (2015年高考(湖北卷)文科第17題)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=|x2-ax|在區(qū)間[0,1]上的最大值記為g(a).當(dāng)a= 時(shí)，g(a)的值最小.

圖2

評(píng)注：對(duì)于數(shù)學(xué)中的多元參數(shù)問(wèn)題，若按常規(guī)思路確定主元，可能導(dǎo)致問(wèn)題復(fù)雜化，此時(shí)，若能針對(duì)題目的結(jié)構(gòu)特征，改變思考的角度，選擇其參變量為主元，另辟蹊徑，往往可使問(wèn)題化難為易，結(jié)合相關(guān)的思想方法，迅速獲解.

2.發(fā)揮圖形的直觀功能

圖3

解析:考慮到f(x)=

例4 (2011北約自主招生試題)求|x-1|+

|2x-1|+|3x-1|+…+|2011x-1|的最小值.

圖4-1

解析:設(shè)f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+

圖4-2

由于函數(shù)y=x+

評(píng)注：2003年頒發(fā)的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》中明確提出“高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)加強(qiáng)幾何直觀教學(xué)，重視幾何圖形在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，鼓勵(lì)學(xué)生借助直觀來(lái)思考”.運(yùn)用幾何直觀來(lái)思考，解決最值函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題，省去了繁瑣的參數(shù)討論和復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程，顯得更加直觀與簡(jiǎn)單.

3.借助函數(shù)的逼近模型

圖5

圖6

評(píng)注：上述問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是俄羅斯數(shù)學(xué)家切比雪夫的最佳函數(shù)逼近問(wèn)題，雖然超出了目前教學(xué)大綱，但是我們借助熟悉的“線性回歸”的思想，通過(guò)直觀圖形容易找出p(x)的最佳一次逼近q(x)=ax+b來(lái).這樣一來(lái)，一個(gè)多參數(shù)的最值函數(shù)問(wèn)題達(dá)到有效的、簡(jiǎn)單的解決.

4.運(yùn)用線性規(guī)劃的方法

圖7

例7 (2015年浙江省高考數(shù)學(xué)(理)科第18題)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)，記M(a,b)是|f(x)|在區(qū)間[-1,1]的最大值.

(Ⅰ)證明：當(dāng)|a|≥2時(shí)，M(a,b)≥2；

(Ⅱ)當(dāng)a，b滿(mǎn)足M(a,b)≤2時(shí)，求|a|+|b|的最大值.

解析:對(duì)于(Ⅰ)可以用構(gòu)建主元函數(shù)的圖像的方法解決.

評(píng)注：解決二次函數(shù)中多個(gè)參數(shù)的綜合性問(wèn)題，借助線性規(guī)劃的原理，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法是不錯(cuò)的選擇，它能避免一些復(fù)雜的不等式轉(zhuǎn)換，改變學(xué)生的思維定勢(shì).