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        巧用數(shù)形結(jié)合法破解絕對(duì)值函數(shù)的最值

        2018-07-30 08:35:28浙江省寧波市第四中學(xué)315016蔣亞軍魏定波
        關(guān)鍵詞:主元最值數(shù)形

        浙江省寧波市第四中學(xué) (315016) 蔣亞軍 魏定波

        這是2017年浙江高考數(shù)學(xué)第17題,涉及絕對(duì)值函數(shù)的最值問(wèn)題歷來(lái)受到競(jìng)賽、自主招生、高考命題者的青睞,它的解法離不開(kāi)分類(lèi)討論,這種通法明顯比較繁瑣,本文從另一角度——“數(shù)形結(jié)合”法破解這類(lèi)問(wèn)題.

        1 構(gòu)建主元函數(shù)的圖像

        圖1

        解析:所求問(wèn)題等價(jià)于求函數(shù)y=f(x)在[1,2]上的最大值,由于a>0,f(x)max=max{f(1),f(2)}=max

        {|a+b-2|,|2a+b-

        1|}(如圖1),記g(b)=max{|a+b-2|,|2a+b-1|},依題意得g(b)≥m.

        例2 (2015年高考(湖北卷)文科第17題)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=|x2-ax|在區(qū)間[0,1]上的最大值記為g(a).當(dāng)a= 時(shí),g(a)的值最小.

        圖2

        評(píng)注:對(duì)于數(shù)學(xué)中的多元參數(shù)問(wèn)題,若按常規(guī)思路確定主元,可能導(dǎo)致問(wèn)題復(fù)雜化,此時(shí),若能針對(duì)題目的結(jié)構(gòu)特征,改變思考的角度,選擇其參變量為主元,另辟蹊徑,往往可使問(wèn)題化難為易,結(jié)合相關(guān)的思想方法,迅速獲解.

        2.發(fā)揮圖形的直觀功能

        圖3

        解析:考慮到f(x)=

        例4 (2011北約自主招生試題)求|x-1|+

        |2x-1|+|3x-1|+…+|2011x-1|的最小值.

        圖4-1

        解析:設(shè)f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+

        圖4-2

        由于函數(shù)y=x+

        評(píng)注:2003年頒發(fā)的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》中明確提出“高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)加強(qiáng)幾何直觀教學(xué),重視幾何圖形在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用,鼓勵(lì)學(xué)生借助直觀來(lái)思考”.運(yùn)用幾何直觀來(lái)思考,解決最值函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題,省去了繁瑣的參數(shù)討論和復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程,顯得更加直觀與簡(jiǎn)單.

        3.借助函數(shù)的逼近模型

        圖5

        圖6

        評(píng)注:上述問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是俄羅斯數(shù)學(xué)家切比雪夫的最佳函數(shù)逼近問(wèn)題,雖然超出了目前教學(xué)大綱,但是我們借助熟悉的“線性回歸”的思想,通過(guò)直觀圖形容易找出p(x)的最佳一次逼近q(x)=ax+b來(lái).這樣一來(lái),一個(gè)多參數(shù)的最值函數(shù)問(wèn)題達(dá)到有效的、簡(jiǎn)單的解決.

        4.運(yùn)用線性規(guī)劃的方法

        圖7

        例7 (2015年浙江省高考數(shù)學(xué)(理)科第18題)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),記M(a,b)是|f(x)|在區(qū)間[-1,1]的最大值.

        (Ⅰ)證明:當(dāng)|a|≥2時(shí),M(a,b)≥2;

        (Ⅱ)當(dāng)a,b滿(mǎn)足M(a,b)≤2時(shí),求|a|+|b|的最大值.

        解析:對(duì)于(Ⅰ)可以用構(gòu)建主元函數(shù)的圖像的方法解決.

        評(píng)注:解決二次函數(shù)中多個(gè)參數(shù)的綜合性問(wèn)題,借助線性規(guī)劃的原理,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法是不錯(cuò)的選擇,它能避免一些復(fù)雜的不等式轉(zhuǎn)換,改變學(xué)生的思維定勢(shì).

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