陳 峰, 何廣軍, 熊思宇

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

防空導(dǎo)彈雷達(dá)導(dǎo)引頭在探測(cè)跟蹤低空超低空目標(biāo)時(shí),雷達(dá)導(dǎo)引頭通常處于俯視狀態(tài)。雷達(dá)波束照射地面或海面等粗糙面后會(huì)形成多路徑反射回波，從而嚴(yán)重抑制了雷達(dá)導(dǎo)引頭的探測(cè)能力，造成對(duì)目標(biāo)的跟蹤誤差[1-2]。目前有研究表明,提高低空目標(biāo)攔截性能的最有效辦法是降低多徑雜波信號(hào)與目標(biāo)信號(hào)之比?？赏ㄟ^(guò)設(shè)計(jì)布儒斯特彈道,使雷達(dá)導(dǎo)引頭沿著最佳的彈目視線角探測(cè)跟蹤目標(biāo),也就是布儒斯特角[2-3],來(lái)最大限度的降低多徑信號(hào)。

制導(dǎo)律中比例導(dǎo)引律(proportional navigation,PN)應(yīng)用最為成熟[4-5],可是其抗干擾性能差,攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)精度大大降低?；Ｖ茖?dǎo)律由于其具有良好的魯棒性和抗干擾性能而被廣泛研究[6-8],可是傳統(tǒng)的線性滑模(linear sliding mode,LSM)制導(dǎo)律只具有漸進(jìn)收斂特性。為此,相關(guān)學(xué)者提出了有限時(shí)間收斂的終端滑?？刂芠9-11],而終端滑?？刂频墓逃腥毕菔谴嬖谄娈悊?wèn)題。為了解決奇異問(wèn)題,學(xué)者們又提出了非奇異終端滑模控制[12-13]。以上所有的滑?？刂贫急仨毥?jīng)歷兩個(gè)階段,一是系統(tǒng)趨近滑模面運(yùn)動(dòng),二是系統(tǒng)狀態(tài)沿滑模面運(yùn)動(dòng)收斂至平衡點(diǎn)。而積分滑?？刂朴捎谑∪チ讼到y(tǒng)趨近滑模面運(yùn)動(dòng)的過(guò)程[14-17],因而具有更快的收斂特性。但是積分滑模控制同傳統(tǒng)的滑?？刂埔粯?由于不連續(xù)開關(guān)項(xiàng)的存在,不可避免地會(huì)產(chǎn)生抖振現(xiàn)象[18]。為了消除抖振現(xiàn)象,文獻(xiàn)[19]提出用飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù),但這種方法會(huì)使系統(tǒng)的抗干擾性能下降,尤其當(dāng)開關(guān)項(xiàng)增益系數(shù)較大時(shí),效果大大降低。為此,文獻(xiàn)[20]提出可設(shè)計(jì)擾動(dòng)觀測(cè)器來(lái)估計(jì)系統(tǒng)的擾動(dòng),并將擾動(dòng)估計(jì)值作為補(bǔ)償項(xiàng)引入到控制項(xiàng)里,以達(dá)到消除抖振現(xiàn)象的目的。這種方法也因良好的效果而在控制領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用[21-23]。

本文基于積分滑模控制的思想,設(shè)計(jì)出一種線性積分滑模(linear integral sliding mode,LISM)制導(dǎo)律。該制導(dǎo)律相對(duì)于傳統(tǒng)的LSM制導(dǎo)律而言,初始狀態(tài)位于滑模面上,省去了趨近滑模面運(yùn)動(dòng)的過(guò)程,彈目視線角可用較短的時(shí)間漸進(jìn)收斂至布儒斯特角。而超低空攔截為了降低多徑干擾的影響,要求彈目視線角盡快收斂至環(huán)境所對(duì)應(yīng)的布儒斯特角。為此,設(shè)計(jì)了非線性積分滑模(nonlinear integral sliding mode,NISM)制導(dǎo)律。該制導(dǎo)律可保證彈目視線角在有限的時(shí)間內(nèi)快速收斂至布儒斯特角,以降低多徑干擾對(duì)目標(biāo)跟蹤精度的影響。同時(shí),為了解決NISM制導(dǎo)律中開關(guān)項(xiàng)高增益系數(shù)引起的抖振現(xiàn)象,設(shè)計(jì)了滑模擾動(dòng)觀測(cè)器(sliding mode disturbance observer,SMDO)來(lái)估計(jì)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度。通過(guò)引入目標(biāo)加速度的估計(jì)值,設(shè)計(jì)出一種復(fù)合NISM(composite NISM,CNISM)制導(dǎo)律。結(jié)果表明,該制導(dǎo)律可有效地消除抖振現(xiàn)象,確保攔截末端視線角速率不發(fā)散,從而提高了工程中攔截的精度。

1 布儒斯特角與超低空攔截

1.1 布儒斯特角

廣義布儒斯特角在防空導(dǎo)彈雷達(dá)導(dǎo)引頭中定義為雷達(dá)導(dǎo)引頭俯視探測(cè)超低空環(huán)境時(shí),多徑干擾強(qiáng)度最小的入射角或其范圍[24]。

多徑干擾是由于目標(biāo)與環(huán)境的耦合作用造成的,具有類目標(biāo)特性,如圖1所示。

圖1 多徑干擾示意圖Fig.1 Diagram of multipath interference

多徑效應(yīng)可使雷達(dá)導(dǎo)引頭無(wú)法有效辨識(shí)真實(shí)目標(biāo)與鏡像虛假目標(biāo),降低跟蹤精度或造成對(duì)目標(biāo)跟蹤錯(cuò)誤。因此,研究超低空攔截問(wèn)題必須從避免多徑干擾方面突破,可使導(dǎo)彈按布儒斯特角跟蹤攔截目標(biāo),從而避免多徑效應(yīng)。文獻(xiàn)[24]通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析得出結(jié)論:不同環(huán)境的布儒斯特角是不同的,陸地沙漠環(huán)境在30°左右。

1.2 超低空攔截模型

圖2 超低空攔截模型Fig.2 Model of super-low altitude interception

假設(shè)攔截彈與目標(biāo)的速度大小為常值,可得導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

(2)

(3)

(4)

對(duì)式(2)求導(dǎo),并聯(lián)立式(1)可得

(5)

式中,ATq=ATcosηT;AMq=AMcosηM。

2 積分滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1 LISM制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

導(dǎo)彈在終端攻擊目標(biāo)時(shí),視線角需穩(wěn)定在期望的布儒斯特角附近,同時(shí)也要滿足視線角速率收斂至零,降低脫靶量的要求,即

(6)

式中,qd為期望的布儒斯特角，因此可選取狀態(tài)變量為

(7)

根據(jù)所取狀態(tài)變量并聯(lián)立式(5),可得狀態(tài)方程為

(8)

(9)

式中,V(x0)是V(x)的初值。

選取線性積分滑模面切換函數(shù)為

(10)

式中,h1>0,h2>0,為待設(shè)計(jì)的參數(shù)。

設(shè)計(jì)制導(dǎo)指令為

(11)

式中,ε為開關(guān)項(xiàng)增益系數(shù)。

定理1式(11)所示的制導(dǎo)指令,當(dāng)開關(guān)項(xiàng)增益系數(shù)滿足ε>F時(shí),可保證式(8)所示的制導(dǎo)系統(tǒng)中彈目視線角漸進(jìn)收斂至期望的視線角,同時(shí)視線角速率漸進(jìn)收斂至零。

證明對(duì)S1求導(dǎo),可得

(12)

聯(lián)立式(8)、式(11)和式(12),可得

(13)

系統(tǒng)狀態(tài)趨近滑模面運(yùn)動(dòng)階段,構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為

(14)

并對(duì)式(14)求導(dǎo),可得

(15)

(16)

由引理1可知,系統(tǒng)狀態(tài)能在有限的時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面,到達(dá)時(shí)間為

(17)

由式(17)可知,系統(tǒng)狀態(tài)沒有趨向滑模面運(yùn)動(dòng)的過(guò)程,說(shuō)明系統(tǒng)的初始狀態(tài)已經(jīng)位于滑模面上,直接進(jìn)入沿滑模面運(yùn)動(dòng)的過(guò)程。

沿滑模面運(yùn)動(dòng)時(shí),有

(18)

即

(19)

由勞斯判據(jù)可知,h1>0,h2>0可保證系統(tǒng)的狀態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的,且漸進(jìn)收斂至平衡點(diǎn)x1=x2=0,即彈目視線角漸進(jìn)收斂至期望的角度,同時(shí)視線角速率收斂至零。

證畢

2.2 NISM制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)

LISM制導(dǎo)律相對(duì)于傳統(tǒng)的LSM制導(dǎo)律而言,省去了系統(tǒng)由初始狀態(tài)趨近滑模面運(yùn)動(dòng)的過(guò)程,大大節(jié)省了系統(tǒng)狀態(tài)收斂至平衡點(diǎn)的時(shí)間,但是其存在的固有缺陷是只能保證視線角漸進(jìn)收斂至期望的布儒斯特角。而在末制導(dǎo)階段,導(dǎo)彈目標(biāo)高速接近,要求彈目視線角在有限的時(shí)間內(nèi)快速收斂至布儒斯特角,以降低環(huán)境的多徑干擾。為此,在LISM制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)了NISM制導(dǎo)律,以保證彈目視線角在有限的時(shí)間內(nèi)快速收斂至期望的角度,同時(shí)視線角速率收斂至零。

引理2[25]對(duì)于系統(tǒng)

(20)

存在反饋控制律

(21)

使得系統(tǒng)的狀態(tài)是有限時(shí)間穩(wěn)定的,其中h1>0,h2>0, 0<γ<1。

參考文獻(xiàn)[26],選取Lyapunov函數(shù)為

(22)

式中,h0=(h1/h2)1/γ>0,則存在H>0使得

(23)

此時(shí)由引理1可得,系統(tǒng)狀態(tài)的有限收斂時(shí)間滿足

(24)

式中,x0是系統(tǒng)的初始狀態(tài)。

選取非線性積分滑模面切換函數(shù)為

S2=x2-x2(0)+

(25)

式中,h1>0,h2>0,0<γ<1,為待設(shè)計(jì)的參數(shù)。

設(shè)計(jì)制導(dǎo)指令為

(26)

定理2式(26)所示的制導(dǎo)指令,當(dāng)開關(guān)項(xiàng)增益系數(shù)滿足ε>F時(shí),可保證制導(dǎo)系統(tǒng)(8)中彈目視線角在有限的時(shí)間內(nèi)收斂至期望的視線角,同時(shí)視線角速率收斂至零。

證明對(duì)S2求導(dǎo),可得

(27)

聯(lián)立式(8)、式(26)和式(27),可得

(28)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為

(29)

對(duì)式(29)求導(dǎo),可得

(30)

參照式(15)和式(17)可知,系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面的時(shí)間為

(31)

由式(31)可知,同LISM一樣,系統(tǒng)狀態(tài)沒有趨向滑模面運(yùn)動(dòng)的過(guò)程,直接進(jìn)入沿滑模面運(yùn)動(dòng)的過(guò)程。

沿滑模面運(yùn)動(dòng)時(shí),有

S2=x2-x2(0)+

(32)

即

(33)

對(duì)式(33)變形,可得

(34)

由引理2可得,系統(tǒng)的狀態(tài)能在有限收斂時(shí)間內(nèi)收斂至平衡點(diǎn),收斂時(shí)間滿足

(35)

綜合式(31)和式(35),系統(tǒng)由初始狀態(tài)收斂至平衡點(diǎn)的時(shí)間為

(36)

即彈目視線角能在有限的時(shí)間內(nèi)收斂至期望的角度,同時(shí)視線角速率收斂至零。

證畢

式(11)和式(26)所示的制導(dǎo)律中,由于符號(hào)函數(shù)εsgn(S)的存在,會(huì)使制導(dǎo)律的表達(dá)式不連續(xù),從而導(dǎo)致抖振現(xiàn)象,可采用高增益連續(xù)函數(shù)εS/(|S|+δ)代替符號(hào)函數(shù)削弱抖振現(xiàn)象。同時(shí)為了維持系統(tǒng)的穩(wěn)定性,開關(guān)增益系數(shù)ε需要大于目標(biāo)加速度的界限值F,但是目標(biāo)加速度是無(wú)法準(zhǔn)確獲得的,只能讓開關(guān)增益系數(shù)盡可能的大,這在一定程度上會(huì)增加抖振的幅度,尤其針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí),系統(tǒng)抗干擾性能會(huì)明顯降低。為了消除抖振現(xiàn)象,同時(shí)使系統(tǒng)保持良好的抗干擾性能,設(shè)計(jì)了SMDO用以估計(jì)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度,將目標(biāo)加速度的估計(jì)值作為補(bǔ)償項(xiàng)引入到制導(dǎo)律的表達(dá)式(26)中,設(shè)計(jì)出一種CNISM制導(dǎo)律。此時(shí),開關(guān)項(xiàng)增益系數(shù)只需大于目標(biāo)加速度估計(jì)誤差的上界,而這相對(duì)于目標(biāo)加速度而言,是個(gè)很小的值。

3 CNISM制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)

3.1 SMDO的設(shè)計(jì)

令

(37)

將式(37)代入式(5)可得

(38)

(39)

令

(40)

式中,e1,e2分別為估計(jì)誤差。聯(lián)立式(38)～式(40)可得

(41)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(42)

將式(42)寫成矩陣的形式

V=eTPe

(43)

因k1>0,k2>0,p>2,可得V是正定的,此時(shí)有

λmin(P)‖e‖2≤V≤λsup(P)‖e‖2

(44)

式中,λmin(P),λsup(P)分別表示矩陣P的較小和較大的特征值;‖e‖表示矩陣e的歐幾里德范數(shù)。

對(duì)所構(gòu)造的李雅普諾夫函數(shù)V求導(dǎo),可得

(45)

式(45)又可以寫為

(46)

其中

由于k1>0,k2>0,p>2,可得到Q是正定矩陣

|e1|-1/p≥‖e‖-1/(p-1)

(47)

聯(lián)立式(44),式(46)和式(47)可得

-(λmin(Q)‖e‖(p-2)/(p-1)-τ‖B‖)‖e‖≤

(48)

當(dāng)λmin(Q)‖e‖(p-2)/(p-1)-τ‖B‖>0時(shí),式(48)可寫為

(49)

式中,χ=λmin(Q)‖e‖(p-2)/(p-1)-τ‖B‖>0,此時(shí),根據(jù)引理1可知,系統(tǒng)的軌跡能在有限時(shí)間內(nèi)進(jìn)入的收斂域?yàn)?/p>

(50)

式(50)同時(shí)也說(shuō)明所設(shè)計(jì)的觀測(cè)器的估計(jì)誤差也能在有限的的時(shí)間內(nèi)收斂到該收斂域。

由于τ是一個(gè)很小的正數(shù),通過(guò)調(diào)整觀測(cè)器的參數(shù),使τ‖B‖/λmin(Q)<1,同時(shí)使(p-1)/(p-2)>1,這樣就可以使上述的收斂域足夠地接近零,從而提高估值器的精度。

3.2 CNISM制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)

(51)

式中,ξ是新的開關(guān)項(xiàng)增益系數(shù)。

定理3式(51)所示的制導(dǎo)指令,當(dāng)開關(guān)項(xiàng)增益系數(shù)滿足ξ>φ時(shí),可保證制導(dǎo)系統(tǒng)(8)中彈目視線角在有限的時(shí)間內(nèi)收斂至期望的視線角,同時(shí)視線角速率收斂至零。

證明依舊選取非線性積分滑模面如式(25)所示,對(duì)其求導(dǎo),并聯(lián)立式(8)和式(51)可得

(52)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為

(53)

對(duì)式(53)求導(dǎo),可得

(54)

此時(shí),仿照定理2的證明過(guò)程,可得到結(jié)論,當(dāng)開關(guān)項(xiàng)增益系數(shù)滿足ξ>φ時(shí),式(51)所示的制導(dǎo)指令可保證彈目視線角在有限的時(shí)間內(nèi)收斂至期望的視線角,同時(shí)視線角速率收斂至零。收斂時(shí)間如式(36)所示。

證畢

4 算例分析

仿真1幾種制導(dǎo)律超低空攔截性能的對(duì)比

為了驗(yàn)證式(51)所設(shè)計(jì)的CNISM制導(dǎo)律的優(yōu)越性和超低空攔截的適用性,在沙漠環(huán)境下,對(duì)超低空機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行攔截仿真驗(yàn)證。并將其與式(11)所示的LISM制導(dǎo)律、式(26)所示的NISM制導(dǎo)律、LSM制導(dǎo)律以及PN進(jìn)行比較。

選取線性滑模面切換函數(shù)為

S=h1x1+h2x2

(55)

滑模趨近律設(shè)計(jì)為

(56)

從而得到LSM制導(dǎo)律為

εsgn(S))/h2+ATq)/cos(q-θM)

(57)

PN設(shè)計(jì)為

(58)

設(shè)超低空目標(biāo)的初始飛行高度為YT=10 m,初始位置為XT=7 800 m,初始飛行速度為VT=200 m/s,初始彈道傾角為θT=180°,目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度為AT=-20sin(0.5πt);攔截彈的初始水平位置為XM=0 m,高度為YM=3 500 m,初始速度VM=400 m/s,初始彈道傾角θM=-45°。由前面已知,沙漠環(huán)境的布儒斯特角在30°左右(這里只是表示角度的大小,按照?qǐng)D2標(biāo)注的方向應(yīng)為負(fù)值)?；Ｖ茖?dǎo)律參數(shù)設(shè)計(jì)為h1=1,h2=2,γ=0.5,ε=120,ξ=0.3,δ=0.01,k=20;估值器參數(shù)設(shè)計(jì)為k1=40,k2=200,p=2.1,R(0)=8 500 m;PN參數(shù)設(shè)置為N=3。為了保證對(duì)比的公平性,假設(shè)攔截彈的最大加速度響應(yīng)為20g。仿真結(jié)果如圖3～圖8和表1所示。

圖3 攔截彈道Fig.3 Interception trajectory

圖4 視線角響應(yīng)曲線Fig.4 Diagram of line-of-sight angle

圖5 視線角速率響應(yīng)曲線Fig.5 Diagram of line-of-sight angular rate

圖6 滑模面響應(yīng)曲線Fig.6 Diagram of sliding mode manifold

圖7 攔截彈加速度指令Fig.7 Interceptor acceleration command

圖8 目標(biāo)加速度Fig.8 Target acceleration

制導(dǎo)律視線角收斂時(shí)間/s平均脫靶量/mPN無(wú)3.73LSM13.324.19LISM10.927.24NISM5.506.31CNISM4.323.75

對(duì)于攔截沙漠上的超低空目標(biāo),由于其環(huán)境布儒斯特角在30°左右,為了降低攔截彈目標(biāo)相距較近時(shí)多徑干擾對(duì)導(dǎo)引頭探測(cè)精度的影響,需將視線角盡快約束至30°。由圖3可以看出,以上幾種制導(dǎo)律最終都能對(duì)目標(biāo)進(jìn)行攔截。但由圖4可看出,PN只能近似控制視線角不變,無(wú)法控制攔截彈以期望的布儒斯特角攔截目標(biāo);LSM制導(dǎo)律只能保證彈目視線角漸進(jìn)收斂至期望的布儒斯特角,表1表明其收斂速率過(guò)慢,需要13.32 s;LISM制導(dǎo)律由于省去了趨向滑模面運(yùn)動(dòng)的過(guò)程,所以相比LSM而言,漸進(jìn)收斂速度提高了2.4 s;而NISM制導(dǎo)律則可保證彈目視線角能在有限的時(shí)間內(nèi)收斂至期望的布儒斯特角,收斂時(shí)間只需5.5 s。但由圖5～圖7和表1可看出,LISM和NISM制導(dǎo)律由于開關(guān)項(xiàng)增益系數(shù)過(guò)大,使攔截末端視線角速率、滑模面響應(yīng)曲線以及攔截彈加速度指令出現(xiàn)了抖振現(xiàn)象,嚴(yán)重降低了攔截的精度,脫靶量達(dá)到了6～7 m。而CNISM制導(dǎo)律通過(guò)引入如圖8所示的目標(biāo)加速度ATq的估計(jì)值,開關(guān)項(xiàng)系數(shù)只需比加速度估計(jì)誤差小,就能保證制導(dǎo)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,由圖5～圖7的放大圖和表1可看出,CNISM制導(dǎo)律很好地抑制了抖振現(xiàn)象對(duì)攔截精度的影響,視線角收斂時(shí)間縮短至4.32 s,脫靶量減小到3.75 m。

仿真2參數(shù)γ對(duì)收斂時(shí)間的影響

由式(36)可看出,CNISM的收斂時(shí)間和γ有關(guān),下面分析參數(shù)γ對(duì)收斂時(shí)間的影響。其他初始條件的設(shè)置參照仿真1,γ分別取0.1,0.3,0.5,0.7,0.9。仿真結(jié)果如圖9～圖11所示。

圖9 不同參數(shù)的視線角響應(yīng)曲線Fig.9 Diagram of line-of-sight angle of different parameters

圖10 不同參數(shù)的視線角速率響應(yīng)曲線Fig.10 Diagram of line-of-sight angular rate of different parameters

圖11 不同參數(shù)的滑模面響應(yīng)曲線Fig.11 Diagram of sliding mode manifold of different parameters

由圖9～圖11可看出,參數(shù)γ取0.5時(shí),視線角收斂至期望布儒斯特角的速率最快;當(dāng)γ<0.5時(shí),隨著γ值的減小,收斂速率降低;當(dāng)γ>0.5時(shí),隨著γ值的增大,收斂速率降低。因此參數(shù)γ取0.5為最佳值。

5 結(jié) 論

攔截超低空目標(biāo)時(shí),為了降低環(huán)境的多徑干擾對(duì)探測(cè)攔截精度的影響,在LISM制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了NISM制導(dǎo)律。可保證彈目視線角在有限的時(shí)間內(nèi)快速收斂至環(huán)境所對(duì)應(yīng)的布儒斯特角,同時(shí)視線角速率收斂至零,以降低多徑干擾的影響。相比于傳統(tǒng)的LSM,NISM的初始狀態(tài)位于滑模面上,省去了趨近滑模面運(yùn)動(dòng)的過(guò)程,具有更快的收斂特性。同時(shí),為了消除NISM制導(dǎo)律中開關(guān)項(xiàng)高增益系數(shù)引起的抖振現(xiàn)象對(duì)制導(dǎo)精度的影響,設(shè)計(jì)了SMDO來(lái)估計(jì)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度。結(jié)合目標(biāo)加速度的估計(jì)值,設(shè)計(jì)出的CNISM制導(dǎo)律既具有快速的視線角收斂特性,又能有效地消除抖振的影響。