郭瑋玲

【摘要】本文詳細(xì)分析了學(xué)生在基本不等式應(yīng)用中的困惑，提出在基本不等式應(yīng)用中的六大難點，并針對性給出突破策略，在各自不同的難點突破中得出通性通法：無論哪種難點最終都通過合理變形構(gòu)造出滿足基本不等式的條件。本文對引導(dǎo)學(xué)生突破基本不等式應(yīng)用困難有啟發(fā)性。

【關(guān)鍵詞】基本不等式 應(yīng)用難點的突破策略

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）05-0282-02

一、基本不等式的地位與作用

基本不等式又稱均值不等式，是每年高考中不可缺少的解題工具，是高考重要的考點，既是熱點又是難點，要求掌握定理，并會簡單應(yīng)用?；静坏仁骄哂袑ⅰ昂褪健鞭D(zhuǎn)化為“積式”或?qū)ⅰ胺e式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，是不等式變形的一個重要依據(jù)，是解決最值問題的有力武器。高考中可單獨命題，也經(jīng)常結(jié)合數(shù)列、函數(shù)、不等式等知識綜合考查，難度一般較大，也常結(jié)合實際問題，以解答題形式出現(xiàn)。

二、學(xué)生的困惑

學(xué)生應(yīng)用困難表現(xiàn)在：1）不能在具體情景中識別或應(yīng)用基本不等式 2）運用基本不等式常常出錯 3）在比較隱蔽的條件中無法建構(gòu)基本不等式。

三、基本不等式應(yīng)用難點的突破策略

如何才能正確地靈活地使用基本不等式，我們應(yīng)該掌握它的使用規(guī)律，本文嘗試通過幾道例題揭示基本不等式應(yīng)用難點的突破策略。

難點一：多變量條件下求最值——突破策略：消元或換元，創(chuàng)造基本不等式應(yīng)用環(huán)境。

例1.設(shè)正實數(shù)滿足，則當(dāng)取得最大值時，的最大值為

（A）0 （B）1 （C） （D）3

【解題指南】此題可先利用已知條件用來表示，再經(jīng)過變形，轉(zhuǎn)化為基本不等式的問題，取等號的條件可直接代入，進(jìn)而再利用基本不等式求出的最值.

【解析】由，得

所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號此時，

【答案】B.

難點二：以相等關(guān)系隱藏不等關(guān)系——突破策略：利用基本不等式消元構(gòu)造新的不等式。

例2.（2011浙江高考題理16）設(shè)為實數(shù)，若，則的最大值是__________.

【解題指南】利用基本不等式將已知定值式中的均轉(zhuǎn)化成含的不等式，再求的最大值.本題的解法過程體現(xiàn)了“消元”的思想，所求目標(biāo)函數(shù)是和的形式，那我們就設(shè)法消去條件等式中的乘積，方法就是利用基本不等式，這里它的作用，一個是消元，還有就是把條件的等式變?yōu)榱瞬坏仁?

【解析】，可解得的最大值為。

難點三：恒成立問題求參——突破策略：參數(shù)與變量分離，轉(zhuǎn)化成最值問題再求解。

例3.已知正實數(shù)滿足，若對任意滿足條件的，都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________

【解題指南】首先對恒成立不等式可進(jìn)行參變分離，。進(jìn)而只需求得的最小值。將視為一個整體，將中的利用基本不等式換成，然后解出的范圍再求最小值即可。

【解析】

解得：或（舍）

（在時取得）

難點四：形式復(fù)雜，多次使用基本不等式------突破策略：基本不等式使用條件是“一正、二定、三相等”，在使用時一定要注意這個條件。盡量不要連續(xù)兩次以上使用基本不等式，若使用兩次時應(yīng)保證兩次等號成立的條件相等。

例4（2010.四川）設(shè)，則的最小值是

（A）2 （B）4 （C） （D）5

【解題指南】本題利用湊配的方法來考查基本不等式問題.使用兩次時應(yīng)保證兩次等號成立的條件相等。

【解析】

，當(dāng)且僅當(dāng)且時，即當(dāng)時，等號成立，故選B.

難點五：多種知識交匯——突破策略：緊扣目標(biāo)，審清題意，抓住最值這一核心，構(gòu)造基本不等式應(yīng)用條件。

例5.（2015.四川）如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為（ ）

（A）16（B）18（C）25（D）

【解題指南】首先弄清拋物線的開口方向和對稱軸，結(jié)合所給單調(diào)區(qū)間找到滿足的條件，然后利用基本不等式求解.本題將函數(shù)的單調(diào)性與基本不等式結(jié)合考查，檢測了學(xué)生綜合運用知識解題的能力.在知識的交匯點命題，這是高考的一個方向，這類題往往以中高檔題的形式出現(xiàn).

【解析】時，拋物線的對稱軸為據(jù)題意，當(dāng)時，即由且得同理，當(dāng)時，拋物線開口向下，據(jù)題意得，得，故應(yīng)舍去。

時所以最大值為18.【答案】B

難點六、看上去不能用基本不等式——突破策略：對不具備應(yīng)用基本不等式的條件的關(guān)系式，通過引入?yún)?shù)對其中一項進(jìn)行裂項，與其他兩項重組，求出參數(shù)的值，為應(yīng)用不等式鋪平道路。

例6.若已知，則的最小值為______.

【解析】當(dāng)且僅當(dāng)時，可取得函數(shù)的最小值，此時，最小值（下轉(zhuǎn)292頁）（上接282頁）為。

四、方法小結(jié)

從基本不等式的應(yīng)用各難點來看，每一個例子的解題思路都有各自的特點，但最終都通過合理變形把問題轉(zhuǎn)化為適合使用基本不等式結(jié)構(gòu)的形式。在應(yīng)用基本不等式求最值要注意：一要“正”：各項或各因式必須為正數(shù) 二可“定”：必須滿足“和為定值”或“積為定值”，要湊出“和為定值”或“積為定值”的式子結(jié)構(gòu)，如果找不出“定值”的條件用這個定理，求最值就會出錯 三能“等”：要保證等號確能成立，如果等號不能成立，那么求出的仍不是最值。

參考文獻(xiàn)：

[1]《探究高考基本不等式應(yīng)用的點線面問題》代宗山《數(shù)理化學(xué)習(xí)（高三版）》2013.11.

[2]《例談基本不等式難題的“偽裝”及破解策略》王榮鑫 《數(shù)理化學(xué)習(xí)》2016.02.