鄭 偉

(楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 楚雄 675000)

1.引言

傳染病〔Infectious Diseases〕，是由各種病原體引起的能在人與人，動(dòng)物與動(dòng)物或人與動(dòng)物之間相互傳播的一類(lèi)疾病[1]。在歷史上，傳染病所造成的危害巨大。一直以來(lái)，很多科學(xué)家都在從事傳染病的研究，特別是在20世紀(jì)期間，取得了輝煌的成果。但隨著國(guó)際貿(mào)易與交往的發(fā)展，生態(tài)環(huán)境的變化以及病原體和傳播媒介抗藥性增強(qiáng)，原來(lái)滅絕或者得到控制的傳染病再次開(kāi)始抬頭，來(lái)勢(shì)洶洶，形勢(shì)嚴(yán)峻。歷史和現(xiàn)實(shí)都告訴我們，人類(lèi)面臨著種種傳染病長(zhǎng)期嚴(yán)峻的威脅，對(duì)傳染病的防治任重而道遠(yuǎn)，它仍然是人類(lèi)的“第一殺手”[2―5]。

由于對(duì)傳染病的研究不能采取試驗(yàn)形式，因此，對(duì)各類(lèi)傳染病發(fā)病機(jī)理，流行規(guī)律，預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)就更多發(fā)地需要理論分析，定量分析，模擬仿真來(lái)進(jìn)行，而上述分析都離不開(kāi)針對(duì)各類(lèi)傳染病而建立的數(shù)學(xué)模型[6]。建立數(shù)學(xué)模型對(duì)傳染病傳播規(guī)律進(jìn)行理論研究是理論傳染病學(xué)的一種重要方法.利用傳染病模型可以對(duì)影響疾病傳播的生物學(xué)和社會(huì)機(jī)理進(jìn)行清晰的描述，通過(guò)對(duì)模型的研究來(lái)揭示疾病流行規(guī)律，預(yù)測(cè)流行趨勢(shì)，為發(fā)現(xiàn)、預(yù)防和控制疾病的流行提供理論依據(jù)和策略。數(shù)學(xué)模型也是檢驗(yàn)理論和定量評(píng)估猜想與結(jié)論的實(shí)驗(yàn)工具[2]。

在傳染病模型中，最常見(jiàn)的經(jīng)典模型有SI模型，SIS模型，SIR模型以及SEIR模型等.其他常見(jiàn)的模型還有SEI模型，SEIS模型，SIRS模型，SEIRS模型等。

2. 基本定義及符號(hào)說(shuō)明

定義2.1[7]每個(gè)病人單位時(shí)間有效接觸的人數(shù)稱(chēng)為日接觸率，記為λ.

定義2.2[7]病人每天被治愈的人數(shù)占病人總數(shù)的比率稱(chēng)為日治愈率，記為μ.

定義2.3[8]在一個(gè)傳染期內(nèi)病人有效接觸的平均人數(shù)稱(chēng)為傳染病期內(nèi)的接觸數(shù)，記為σ=λ/μ.

定義2.4[9]易感染者(Susceptible)，其數(shù)量記為S(t)，表示t時(shí)刻未感染但有可能被該類(lèi)疾病傳染者的數(shù)量。

定義2.5[9]染病者(Infective)，其數(shù)量記為I(t)，表示t時(shí)刻已被感染成為病人并且具有傳染該種疾病的人數(shù)。

定義2.6[2]移除者(Removed)， 其數(shù)量記為R(t)，表示t時(shí)刻已從染病者中移出的人數(shù)。

定義2.7[2]潛伏者(Exposed)， 其數(shù)量記為E(t)，表示t時(shí)刻已被感染但還沒(méi)有發(fā)病的人數(shù)。

定義2.8[2]每一個(gè)易感染者染上病毒后，并不馬上變成病人，而有一段滯后的時(shí)間才變成傳染者，這段滯后時(shí)間稱(chēng)為潛伏期，記為τ。

本文還用到如下記號(hào)：

N1—種群甲的總數(shù)量(以下簡(jiǎn)稱(chēng)甲)；

N2—種群乙的總數(shù)量(以下簡(jiǎn)稱(chēng)乙)；

s1(t),i1(t),r1(t)—分別表示甲中易感染者，已感染者和移除者占甲的總數(shù)的比例；

s2(t),i2(t),r2(t)— 分別表示乙中易感染者，已感染者和移除者占乙的總數(shù)的比例；

λ11,λ12—分別表示甲相對(duì)甲(以下記為甲-甲)與甲相對(duì)乙(以下記為甲-乙)的日接觸率；

λ21,λ22—分別表示乙相對(duì)甲(以下記為乙-甲)與乙相對(duì)乙(以下記為乙-乙)的日接觸率；

μ1,μ2—分別表示甲，乙的日治愈率；

σ11=λ11/μ1,σ12=λ12/μ1— 分別表示甲-甲與甲-乙的接觸數(shù)；

σ21=λ21/μ2,σ22=λ22/μ2— 分別表示乙-甲與乙-乙的接觸數(shù)。

3.主要模型

基于傳統(tǒng)的單種群模型的建模思想和基本手段，本節(jié)主要研究在只考慮影響兩種群間傳染病傳播的最基本因素之一，即日接觸率的情況下，兩種群相互作用的疾病交叉?zhèn)魅灸Ｐ?，不考慮兩種群間的捕食、競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系、各種群的出生率、死亡率和遷移活動(dòng)，從而得到疾病在兩種群間的交叉?zhèn)魅灸Ｐ?。自Kermack和Mckendrick于1927年構(gòu)造了經(jīng)典的SIR倉(cāng)室模型以來(lái)[9]，傳染病模型一直被廣泛研究。對(duì)于一般的傳染病模型，它只考慮了單個(gè)種群，得到了一些“閥值理論”。然而實(shí)際情況并非如此。在生態(tài)圈中，各個(gè)種群并非孤立存在著。因此，對(duì)疾病在相互作用種群之間傳播規(guī)律的研究更具生物意義。由于問(wèn)題涉及的是兩個(gè)種群相互作用的傳染病模型，與單種群傳染病模型相比較而言，由于兩種群間影響傳染病傳播的因素大大增加，因而也會(huì)導(dǎo)致模型的維數(shù)升高，從而也更加增大了分析的難度，如何將其有效地降維也就成了兩種群相互作用下傳染病模型的一項(xiàng)首要任務(wù)。對(duì)此，本文并未進(jìn)行深入研究探討以求出精確解，僅作初步建模及簡(jiǎn)單分析。

3.1兩種群相互作用下的SI模型

(1)模型假設(shè)：

假設(shè)1：在疾病傳播期內(nèi)所考察的甲，乙兩個(gè)種群的總數(shù)量N1、N2不變.不考慮甲、乙的出生、死亡、遷移以及相互間的競(jìng)爭(zhēng)和捕食關(guān)系，將甲、乙分別分為易感染者和已感染者兩類(lèi)，記t時(shí)刻這兩類(lèi)群體分別占各自種群總數(shù)的比例為s1(t),i1(t)和s2(t),i2(t)，則有

s1(t)+i1(t)=1,

(3-1)

s2(t)+i2(t)=1.

(3-2)

假設(shè)2：甲-甲與甲-乙的日接觸率分別為λ11,λ12；乙-甲與乙-乙的日接觸率分別為λ21,λ22.

(2)模型建立

根據(jù)假設(shè)，可以得到甲，乙的成員流動(dòng)框圖如下:

圖3―1 兩種群間的SI模型框圖

圖3―1中，λ11s1(t)N1i1(t)是因甲的病人與甲的健康者有效接觸從而使甲的病人數(shù)N1i1(t)增加的增加率，即甲的健康人數(shù)N1s1(t)被甲的病人感染而減少的減少率，λ21s1(t)N2i2(t)是因乙的病人與甲的健康者有效接觸從而使甲的病人數(shù)N1i1(t)增加的增加率，即甲的健康人數(shù)N1s1(t)被乙的病人感染而減少的減少率;同理，λ22s2(t)N2i2(t)是因乙的病人與乙的健康者有效接觸從而使乙的病人數(shù)N2i2(t)增加的增加率，即乙的健康人數(shù)N2s2(t)被乙的病人感染而減少的減少率，λ12s2(t)N1i1(t)是因甲的病人與乙的健康者有效接觸從而使乙的病人數(shù)N2i2(t)增加的增加率，即乙的健康人數(shù)N2s2(t)被甲的病人感染而減少的減少率.再記初始時(shí)刻甲，乙中易感染者數(shù)和已感染者數(shù)分別為s1(0)、i1(0)、s2(0)、i2(0)且s1(0)=s10、i1(0)=i10、s2(0)=S20、i2(0)=i20.因此，可根據(jù)圖3―1得到兩種群相互作用下的SI傳染病模型為

(3―3)

(3)模型討論

對(duì)λ21,λ12的取值進(jìn)行討論:

(i)當(dāng)λ21=0,λ12≠0時(shí)，傳染病在甲種群內(nèi)的傳播不受乙影響，但在乙種群的傳播受甲的影響.此時(shí)，對(duì)甲有

(3―4)

由模型(3―4)得

(3―5)

方程(3―5)是Logistic增長(zhǎng)模型[8]，它的解為

(3―6)

式(3―6)就是該傳染病在甲種群中單獨(dú)傳播的傳播規(guī)律(即為傳統(tǒng)的單種群下的SI模型).

在該傳染病的傳播規(guī)律中，根據(jù)(3―6)式，顯然，病人數(shù)量i(t)單調(diào)遞增，且當(dāng)t→∞時(shí)，有i→1，這表明如果任其發(fā)展而不采取積極有效的措施，最終所有人終將被傳染變?yōu)椴∪?，這顯然也是不符合實(shí)際的.盡管如此，在傳染病流行的前期這個(gè)模型還是可用的，因而傳染病的學(xué)者曾用它來(lái)預(yù)報(bào)傳染病高潮的到來(lái)時(shí)刻[8].

模型失敗的原因是在模型中，沒(méi)有考慮到病人可以治愈，人群中的健康者只能變成病人，而病人不會(huì)變成健康者，這與實(shí)際情況是相悖的.

另外，對(duì)乙種群有

(3―7)

從模型(3―7)可以看出，采取隔離措施是有效控制該疾病在種群乙中傳播的途徑之一.當(dāng)λ12=0,λ21≠0時(shí)，情況類(lèi)似.

(ii)λ21=λ12=0時(shí)，說(shuō)明甲乙之間不會(huì)互相傳染此種疾病，隔離措施失效.

(iii)λ21≠0且λ12≠0時(shí)，應(yīng)及時(shí)采取隔離措施將兩種群隔離，避免兩種群間的互相接觸.

此外，無(wú)論λ21,λ12如何取值，提高治療水平和改善種群的生存環(huán)境是控制疾病在種群(無(wú)論是多種群還是單種群)間傳播的有效并且是切實(shí)可行的重要途徑.

3.2 兩種群間的SIS模型

對(duì)于有些人畜共患或多種群共患的傳染病等治愈后免疫力很低，可以假定無(wú)免疫性，于是各種群中患病者被治愈后變成健康者，健康者還可以被感染成為患病者，其成員流動(dòng)形式為:S→I→S，故將該模型稱(chēng)為SIR模型.

(1)模型假設(shè)：

模型假設(shè)1和2與SI模型的假設(shè)1，2相同，另新增如下假設(shè)條件:

假設(shè)3：μ1,μ2分別是甲，乙的日治愈率，1/μ1, 1/μ2分別是甲，乙的平均傳染期.

(2)模型建立

以下是兩種群間SIS傳染病模型框圖:

圖3―2 兩種群間疾病交叉?zhèn)魅镜腟IS模型框圖

由圖3―2可知，λ11s1(t)N1i1(t)+λ21s1(t)N2i2(t)是甲中已感染者N1i1(t)的增加率，μ1N1i1(t)是甲中已感染者被治愈后仍可被感染的增加率；同理，λ22s2(t)N2i2(t)+λ12s2(t)N1i1(t)是乙中已感染者N2i2(t)的增加率，μ2N2i2(t)是乙中已感染者被治愈后仍可被感染的增加率.

由此，可得到兩種群間疾病交叉?zhèn)魅镜腟IR模型為

(3―8)

其中，s1(0)=s10,i1(0)=i10和s2(0)=s20,i2(0)=i20分別為初始時(shí)刻甲，乙中易感染者和已感染者在各自種群中所占總數(shù)量的比率。

(3)模型討論

(i)當(dāng)λ21=0，λ12≠0(或λ21=0，λ21≠0)時(shí)，可視該類(lèi)疾病是在飛禽與走獸之間傳播的傳染病，其中值為零的表示走獸相對(duì)飛禽的接觸率，說(shuō)明飛禽與走獸之間并沒(méi)有直接的接觸關(guān)系，走獸被感染該類(lèi)疾病可能是由于食用了飛禽的殘骸或糞便等其他原因。

(ii)控制該類(lèi)疾病在兩種群間的傳播的手段有:(1)種群隔離(若λ21=λ12=0，該措施失效)；(2)隔離治療；(3)阻斷疾病的傳播源等。

(iii)在某些情況下，引入新的種群也可以避免該類(lèi)傳染病的流行。

3.3兩種群間疾病交叉?zhèn)魅镜腟IR模型

對(duì)于傳統(tǒng)的單種群模型而言，SIR模型是最經(jīng)典的模型之一.它的建立為發(fā)現(xiàn)，預(yù)測(cè)和控制諸如天花，麻疹，甲肝等治愈后有很強(qiáng)的免疫力的傳染病的流行規(guī)律和病理機(jī)制提供了理論依據(jù)和方案策略.在人畜共患或禽畜共患等多種群相互作用的傳染病當(dāng)中，也存在著這類(lèi)治愈后具有很強(qiáng)的免疫力的疾病，因此，建立兩個(gè)或兩個(gè)以上的種群相互作用下的SIR模型對(duì)這類(lèi)疾病進(jìn)行研究分析并將其理論結(jié)果運(yùn)用于實(shí)際案例當(dāng)中也一樣的重要。

(1)模型假設(shè)：

(i)甲，乙的總數(shù)不變，其數(shù)量分別為N1,N2。將甲，乙分別分為易感染者，已感染者和病愈免疫的移出者三類(lèi)，記t時(shí)刻這三類(lèi)群體分別占各自種群總數(shù)的比例為s1(t),i1(t),r1(t)和s2(t),i2(t),r2(t)，則有

s1(t)+i1(t)+r1(t)=1,

(3―9)

s2(t)+i2(t)+r2(t)=1,

(3―10)

(ii)甲-甲與甲-乙的日接觸率分別為λ11,λ12;乙-甲與乙-乙的日接觸率分別為λ21,λ22.

(iii)μ1,μ2分別是甲，乙的日治愈率，1/μ1, 1/μ2分別是甲，乙的平均傳染期;記甲-甲與甲-乙的接觸數(shù)分別為σ11=λ11/μ1,σ12=λ11/μ2，乙-甲與乙-乙的接觸數(shù)分別為σ21=λ21/μ1,σ22=λ22/μ2.

(2)模型建立

按照SI和SIS的方法，先作出SIR模型的成員流動(dòng)框圖:

圖3―3 兩種群間疾病交叉?zhèn)魅镜腟IR模型框圖

在圖3―3中，λ11s1(t)N1i1(t)+λ21s1(t)N2i2(t)是甲中已感染者N1i1(t)的增加率，μ1N1i1(t)是甲中已感染者每天病愈免疫移出者的增加率;λ22s2(t)N2i2(t)+λ12s2(t)N1i1(t)是乙中已感染者N2i2(t)的增加率，μ1N2i2(t)是乙中已感染者每天病愈免疫移出者的增加率。由此得到模型:

(3―11)

以上就是疾病在兩種群間交叉?zhèn)魅镜腟IR模型.其中，s1(0)=s10,i1(0)=i10,r1(0)=r10=0和s2(0)=s20,i2(0)=i20,r2(0)=r20=0分別為初始時(shí)刻甲，乙中易感染者，已感染者以及病愈免疫移出者在各自種群中所占總數(shù)量的比率。

(3)模型討論

以下是控制該類(lèi)疾病在兩種群間的流行和蔓延的有效手段:

(i)可以通過(guò)種群隔離或隔離治療降低甲-甲，甲-乙，乙-甲和乙-乙的日接觸率λjk(j=1、2，k=1、2)；

(ii)提高醫(yī)療衛(wèi)生水平，其一是可以提高日治愈率，降低患者數(shù)，也降低了每天被感染的健康者人數(shù)，其二是可以減少病原體的傳播途徑；

(iii)進(jìn)行預(yù)防接種使群體免疫，這個(gè)手段可以使健康者接種后成為具有免疫力的群體直接移出模型系統(tǒng)。其成員流程圖如下:

圖3―4 采取預(yù)防接種后甲，乙各成員的流動(dòng)圖

4.總結(jié)

傳染病在現(xiàn)實(shí)生活中無(wú)處不在，常常給人類(lèi)和社會(huì)帶來(lái)嚴(yán)重的危害，例如剛剛過(guò)去的甲型H1N1，禽流感，SIRS以及到目前還未能徹底治愈的AIDS等都給人類(lèi)帶來(lái)了極大的威脅。因此，研究傳染病傳播的數(shù)量規(guī)律，建立有效的防控機(jī)制既是擺在我們面前的一個(gè)困難課題，也是一項(xiàng)緊迫任務(wù)。傳統(tǒng)中對(duì)傳染病模型的研究，往往只考慮了單個(gè)種群，得到了一些閥值理論，然而實(shí)際情況并非如此。很多傳染病不僅僅只在單一種群中傳播，也會(huì)在多個(gè)生物群體間相互傳染，并且造成的后果相當(dāng)嚴(yán)重。在生態(tài)圈中，各個(gè)種群也并非孤立存在著。因此，本文研究疾病在兩種群之間傳播規(guī)律比傳統(tǒng)只對(duì)單一種群的研究更具生物意義。