王春霞 李丹陽 鄧 科 殷勤業(yè)

(西安交通大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，陜西西安 710049)

1 引言

信源定位是陣列信號處理的一個研究熱點，在雷達(dá)、聲吶、地質(zhì)學(xué)、海洋學(xué)等方面都有重要應(yīng)用。根據(jù)信號源與接收天線距離的不同，通常將信源分為近場源和遠(yuǎn)場源。近場源與天線陣列之間的距離r∈(0.62(D3/λ)1/2,2D2/λ)(D為陣列孔徑,λ為信號波長)；遠(yuǎn)場源與天線陣列之間的距離r?2D2/λ。

源定位算法的研究起始于遠(yuǎn)場源，比較成熟的遠(yuǎn)場源參數(shù)估計算法有MUSIC算法和ESPRIT算法等。在近場源定位中，需要估計信源角度和信源距離兩個參數(shù)，現(xiàn)有的近場源估計算法有二維MUSIC算法[1]，高階ESPRIT算法[2]以及廣義ESPRIT算法[3]等。在某些實際應(yīng)用中，如表面波雷達(dá)定位、基于麥克風(fēng)陣列的說話人定位，以及室內(nèi)自導(dǎo)引系統(tǒng)中，往往只有一部分信源位于陣列的近場區(qū)域，而另一部分信源位于陣列的遠(yuǎn)場區(qū)域。目前適用于遠(yuǎn)近場源共存的信源參數(shù)估計方法研究還不夠充分，現(xiàn)有的混合源定位算法主要包括兩階段MUSIC算法[4]、斜投影 MUSIC算法[5]、基于子空間差分技術(shù)的混合源定位算法[6]等。兩階段MUSIC算法通過構(gòu)造兩個特殊的高階累積量矩陣來解決源分離問題，計算量大，且當(dāng)遠(yuǎn)近場源存在相近角度時會出現(xiàn)估計錯誤。斜投影 MUSIC算法采用斜投影算法分離出近場源信息并構(gòu)建新的協(xié)方差矩陣，但由于僅利用了新的協(xié)方差矩陣的斜對角元素信息，估計精度有所下降。基于子空間差分技術(shù)的混合源定位算法在獲得遠(yuǎn)場角度的基礎(chǔ)上，通過差分技術(shù)獲得抑制噪聲后的近場協(xié)方差矩陣，實現(xiàn)了近遠(yuǎn)場源的有效分離。以上三種都是子空間類算法，這類方法受子空間理論框架的限制，在信噪比較低、陣列快拍數(shù)不足或出現(xiàn)相干信號源的情況下，參數(shù)估計性能會急劇下降,甚至失效。

近年來，隨著壓縮感知理論體系的出現(xiàn)和不斷完善，作為其核心的稀疏重構(gòu)框架被引入陣列信號處理，出現(xiàn)了許多基于稀疏重構(gòu)的信源參數(shù)估計算法，如Wang等人提出的稀疏混合源定位算法[7]、l1-SVD[8]算法、JLZA-DOA[9]算法、文獻(xiàn)[10]提出的稀疏近場源定位算法以及一類為了解決稀疏重構(gòu)條件下的網(wǎng)格失配問題而提出的算法[11-15]等。文獻(xiàn)[7]提出的基于高階累積量的稀疏混合源定位算法借助稀疏信號重構(gòu)獲得了更好的分辨率和估計精度,突破了子空間類算法的局限性，其構(gòu)造的矩陣大小為(2M+1)×(2M+1)2(L=2M+1，L為陣元個數(shù))，但并未使用全部的累積量矩陣信息，所利用的有效元素個數(shù)與本文算法構(gòu)造的(2M+1)×(2M+1)維的矩陣相當(dāng)。文獻(xiàn)[7]在進(jìn)行近場距離估計時，將遠(yuǎn)場源當(dāng)作特殊的近場源處理，在估計近場距離時也需對遠(yuǎn)場距離進(jìn)行估計，算法效率嚴(yán)重下降。文獻(xiàn)[10]使用了稀疏重構(gòu)思想對近場源參數(shù)進(jìn)行估計，利用了二階累積量方法，但其在估計近場源DOA時，僅使用了接收信號自相關(guān)矩陣(2M+1)2個元素中的(2M+1)個，信息利用率低，在一定程度上制約了算法的估計精度。

本文提出的基于稀疏重構(gòu)的混合源參數(shù)估計算法利用二階統(tǒng)計量來進(jìn)行參數(shù)估計，采用l1-SVD算法的改進(jìn)形式結(jié)合稀疏重構(gòu)思想估計出遠(yuǎn)場到達(dá)角，由估計出的遠(yuǎn)場角度和遠(yuǎn)場源信號功率對遠(yuǎn)場協(xié)方差矩陣進(jìn)行重建，再從信號協(xié)方差矩陣中減去重建的遠(yuǎn)場協(xié)方差矩陣得到近場協(xié)方差矩陣的估計，接著利用旋轉(zhuǎn)不變思想構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，通過對目標(biāo)函數(shù)求最優(yōu)解得到近場源到達(dá)角，最后利用估計出的到達(dá)角對近場陣列流形進(jìn)行稀疏重構(gòu)，得到近場源的距離估計。

2 混合源信號模型

如圖1所示，假設(shè)共有K個窄帶獨立信源入射到由L=2M+1個陣元組成的均勻等距線陣上。不失一般性，假設(shè)前K1個信號源為近場信號源,后K-K1個為遠(yuǎn)場信號源。

圖1 混合源模型Fig.1 The mixed sources model

以陣列中心為相位參考點，則第l個陣元在t時刻的接收信號可表示為：

(1)

其中sk(t)表示第k個窄帶信源，nl(t)表示該陣元上的加性噪聲，τlk表示第k個信源從0陣元到l陣元的延遲相位。對于第k個近場源，τlk為：

(2)

(3)

式(1)可以用矩陣形式表示為：

x(t)=ANsN(t)+AFsF(t)+n(t)

(4)

式中

x(t)=[x-M(t),…,xM(t)]T

(5)

(6)

(7)

sN(t)=[s1(t),…,sK1(t)]T

(8)

sF(t)=[sK1+1(t),…,sK(t)]T

(9)

n(t)=[n-M(t),…,nM(t)]T

(10)

3 遠(yuǎn)場源到達(dá)角估計

首先對遠(yuǎn)場源到達(dá)角進(jìn)行估計，由陣列的接收矢量x(t)構(gòu)造陣列的協(xié)方差矩陣R：

R=E{x(t)x(t)H}=RN+RF+σ2I

(11)

式中E{·}表示取期望,[·]H表示共軛轉(zhuǎn)置，RN和RF分別為遠(yuǎn)場和近場協(xié)方差矩陣，σ2為噪聲功率，I為單位矩陣。

假設(shè)信源總數(shù)K已知。利用文獻(xiàn)[16]的思想，將遠(yuǎn)場源所在角度區(qū)域劃分網(wǎng)格并形成集合Θ=[θ1,θ2,…,θN0]，其中N0是劃分的網(wǎng)格數(shù)，且N0滿足N0?K，則協(xié)方差矩陣可以稀疏表示為：

R=A(Θ)S+ANSN+N

(12)

其中A(Θ)=[a(θ1),…,a(θN0)]表示過完備的遠(yuǎn)場陣列流形矩陣，S為N0×L維的稀疏矩陣。當(dāng)網(wǎng)格劃分足夠密集時，會有(K-K1)個角度θ={θK1+1,θK1+2,…,θK}∈Θ或者在Θ中有對應(yīng)的近似值。式(12)的過完備表示將到達(dá)角的估計問題轉(zhuǎn)換成了求解S的新問題，通常信源在某一范圍內(nèi)個數(shù)很少，S對應(yīng)的譜是稀疏的，符合稀疏重構(gòu)所需要滿足的信號稀疏性。

基于上述分析，結(jié)合對R的稀疏表示，構(gòu)造如下的目標(biāo)函數(shù)：

(13)

4 近場源參數(shù)估計

4.1 近遠(yuǎn)場協(xié)方差分離

在得到遠(yuǎn)場源到達(dá)角的估計之后，根據(jù)式(11)可得RN=R-RF-σ2I，因此可以通過估計RF和σ2來得到RN的估計[6]。對R進(jìn)行特征值分解：

(14)

其中Δs為大特征值構(gòu)成的對角陣，Us為對應(yīng)特征向量構(gòu)成的信號子空間，Δn為小特征值構(gòu)成的對角陣，Un為對應(yīng)特征向量構(gòu)成的噪聲子空間。

結(jié)合(11)和(14)兩式得到：

(15)

RF可以通過下式進(jìn)行估計：

(16)

(17)

[·]?表示偽逆。

RN可以表示為：

(18)

其中σ2為噪聲功率，通過對R的(L-K)個小的特征值求平均可以得到其估計值。由式(18)可以看出，從信號協(xié)方差矩陣中既消除了陣列噪聲，又消除了遠(yuǎn)場源信息，可以更好地實現(xiàn)混合信號的抑噪和分離。

4.2 近場源到達(dá)角估計

為避免二維搜索，提高估計精度，利用均勻線陣的對稱性對近場源方向矩陣AN進(jìn)行分塊處理：

(19)

其中

(20)

(21)

(22)

等式(21)可以進(jìn)一步表示為：

(23)

現(xiàn)在使用稀疏重構(gòu)來估計近場源到達(dá)角，對RN進(jìn)行特征值分解：

(24)

對Gs進(jìn)行分塊處理：

(25)

(26)

(27)

結(jié)合上述分析，構(gòu)造如下的目標(biāo)函數(shù)：

(28)

4.3 近場源距離的估計

(29)

根據(jù)稀疏重構(gòu)理論，近場源距離的估計問題可以表示為如下的l1范數(shù)最小化目標(biāo)函數(shù)：

(30)

本文算法的具體步驟如下：

1)獲得協(xié)方差矩陣R，通過求解式(13)的優(yōu)化問題，得到遠(yuǎn)場源的角度估計值；

2)由得到的遠(yuǎn)場源角度估計值重構(gòu)遠(yuǎn)場協(xié)方差矩陣RF，利用子空間差分方法得到RN；

4)根據(jù)得到的近場源角度估計值，求解式(30)得到近場源距離的估計值。

5 計算復(fù)雜度

關(guān)于計算復(fù)雜度，這里主要考慮累積量矩陣的構(gòu)建、特征值分解、稀疏重構(gòu)等主要過程。本文算法需兩次(2M+1)×(2M+1)維的特征值分解和三次稀疏重構(gòu)過程。在混合源參數(shù)估計中，文獻(xiàn)[7]需要構(gòu)建(2M+1)×(2M+1)2維的累積量矩陣，(2M+1)×(2M+1)2維和(2M+1)×N維兩個矩陣的SVD分解，兩次稀疏重構(gòu)過程。對比可知，由于構(gòu)建了高階累積量矩陣，文獻(xiàn)[7]比本文算法具有更高的計算復(fù)雜度。文獻(xiàn)[6]僅需兩次特征值分解和三次譜峰搜索，其復(fù)雜度低于本文算法, 但本文算法的參數(shù)估計效果優(yōu)于文獻(xiàn)[6]。具體的運算量如表1所示，其中N為快拍數(shù)，N0～N3分別為遠(yuǎn)場角度域、近場角度域、遠(yuǎn)場距離域和近場距離域劃分的網(wǎng)格數(shù)。將本文算法與文獻(xiàn)[6]、[7]進(jìn)行比較，考慮兩個遠(yuǎn)場源位于(-5°,)和(30°,)，兩個近場源位于(-5°,3λ)和(20°,4λ)，快拍數(shù)為500，信噪比為10 dB，對每種算法運行100次仿真實驗并獲得平均運行時間，結(jié)果如表2所示?？梢钥闯?，采用MUSIC類譜峰搜索的文獻(xiàn)[6]運算時間最短，本文算法次之，文獻(xiàn)[7]基于高階累積量的稀疏重構(gòu)算法運行時間最長，這正好和三種算法的計算復(fù)雜度相對應(yīng)。

表1 計算復(fù)雜度比較

表2 平均運行時間

6 仿真結(jié)果及分析

實驗采用11個陣元組成的均勻線陣,陣元間距為0.25λ，信源為等功率的互相獨立的窄帶信源，噪聲為復(fù)加性高斯白噪聲，且信源與噪聲互不相關(guān)。實驗2和實驗3的仿真結(jié)果基于500次獨立的蒙特卡羅試驗。

信噪比(SNR)和均方根誤差(RMSE)分別被定義為：

(31)

(32)

實驗1驗證本文算法的角度分辨能力及估計信源個數(shù)的能力，對比算法選擇文獻(xiàn)[6]。首先考慮有相同混合源到達(dá)角的情況，假設(shè)空間中有三個遠(yuǎn)場源位于(-15°,)，(-5°,)和(20°,)，兩個近場源位于(-30°,1.8λ)和(10°,2.2λ)，快拍數(shù)N=2000，信噪比SNR=10 dB。從圖2和圖3可以看出，當(dāng)信源個數(shù)較多時，文獻(xiàn)[6]中的算法已無法對近場角度和近場距離做出正確估計，而本文算法依然保持著非常尖銳的譜峰。因此，本文算法在信源個數(shù)較多情況下的估計效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于文獻(xiàn)[6]中的算法。

圖2 混合源角度估計譜Fig.2 The estimated spatial spectrums of mixed sources

圖3 近場源距離估計譜Fig.3 The estimated range spectrums of near-field sources

為了更好地說明本文算法相比于文獻(xiàn)[6]方法的高分辨率，令信噪比從0 dB變到30 dB，每種信噪比條件下進(jìn)行1000次重復(fù)實驗，其余仿真條件不變，繪制出遠(yuǎn)場信源的分辨概率隨信噪比變化的情況，如圖4所示。從圖4可以看出，本文算法空間分辨概率在0～10 dB之間隨著信噪比增加幾乎直線上升到最大概率，并一直維持在最大概率。而文獻(xiàn)[6]中基于譜峰搜索的算法的空間分辨概率在0～10 dB之間概率為0，10～15 dB稍微有所上升，15～20 dB才開始有明顯上升，后緩慢上升至最大概率。因此本文算法的空間分辨率明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[6]中的方法，這也驗證了稀疏重構(gòu)的高分辨率特性。

圖4 遠(yuǎn)場源分辨概率變化曲線Fig.4 The resolutions versus SNRs for far-field sources

實驗2仿真混合信源下本文算法的估計效果，對比算法選擇文獻(xiàn)[6]。假設(shè)空間中兩個遠(yuǎn)場源分別位于(-5°,)，(30°,)，兩個近場源分別位于(-15°,3λ)，(20°,4λ)，信噪比從-10 dB變到15 dB，快拍數(shù)為500。從圖5可以看出，無論是近場源還是遠(yuǎn)場源參數(shù)估計，本文算法的估計精度均優(yōu)于文獻(xiàn)[6]。

圖5 混合源均方根誤差隨信噪比變化曲線 Fig.5 RMSEs of mixed sources versus SNRs

實驗3為純近場信源參數(shù)估計性能的仿真，對比算法選擇文獻(xiàn)[6]、[7]和[10]。假定兩個近場源位于(-5°,3λ)和(20°,4λ)，其他參數(shù)同實驗2。觀察圖6結(jié)果可以看出，本文算法在近場到達(dá)角估計中具有更低的估計誤差，估計精度明顯優(yōu)于其他兩種算法。在距離估計中，當(dāng)信噪比較低時，本文算法與文獻(xiàn)[10]估計精度相當(dāng)，并高于文獻(xiàn)[6]和[7]，而在高信噪比下，本文方法和文獻(xiàn)[6]效果趨于一致。文獻(xiàn)[7]算法由于高階累積量在高信噪比下優(yōu)異的噪聲魯棒性，具有最佳的近場距離估計效果，但其未分離近場源和遠(yuǎn)場源，在近場距離估計時，也要將遠(yuǎn)場信源當(dāng)作特殊的近場源進(jìn)行距離估計，復(fù)雜度高于本文算法。

圖6 純近場均方根誤差隨信噪比變化曲線Fig.6 The RMSEs of DOAs and ranges versus SNRs of pure near-field sources

7 結(jié)論

本文提出了一種基于稀疏信號重構(gòu)的混合源分離定位方法。首先使用l1-SVD算法的改進(jìn)形式估計出遠(yuǎn)場源到達(dá)角，然后采用協(xié)方差差分方法得到近場源協(xié)方差矩陣，再通過對近場源協(xié)方差矩陣稀疏重構(gòu)估計出近場源到達(dá)角，最后利用估計出的近場角度對近場源協(xié)方差矩陣進(jìn)行稀疏表示，估計出近場源距離。本文方法在充分利用二階統(tǒng)計量信息的同時，不必進(jìn)行二維譜峰搜索和額外的近場源參數(shù)配對，同時避免了構(gòu)造計算復(fù)雜度高的高階累積量矩陣。仿真結(jié)果驗證了本文算法的有效性和空間分辨能力，與文獻(xiàn)[6]中基于MUSIC的算法相比，本文算法估計精度高，具有更好的混合源分離效果和空間分辨率，避免了文獻(xiàn)[6]中由于近場距離譜峰不明顯而可能導(dǎo)致的估計失敗問題；與文獻(xiàn)[7]相比，本文算法避免了高階累積量的構(gòu)建，也不需要對遠(yuǎn)場距離加以估計，有效降低了運算量；與文獻(xiàn)[10]相比，本文算法利用了所有陣列接收自相關(guān)矩陣元素的信息，較高的信息利用率保證了更優(yōu)的信源參數(shù)估計精度。在純近場條件下，本文算法具有更高的角度估計精度，且低信噪比條件下的近場距離估計精度也很高。