張 政 馬金全 王學成

(中國人民解放軍戰(zhàn)略支援部隊信息工程大學信息系統(tǒng)工程學院，河南鄭州 450002)

1 引言

正交頻分復用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)[1]技術由于頻譜利用率高、抗多徑能力強、實現(xiàn)方便等優(yōu)點，已成為水聲通信、移動通信、短波通信等領域的關鍵技術之一。在非合作通信條件下，對接收OFDM信號的子載波數(shù)進行估計，是準確恢復信息的重要前提，因此，有效估計實際使用子載波數(shù)一直是研究人員關注的問題，目前已取得了一些重要成果：Liedtke. F[2]利用倒譜法估計，但僅適用于信號質量較高的情況；付哥佳[3]引入小波函數(shù)對倒譜法進行改進，提高了一定的輸出峰值與估計精度；鄭文秀[4]則引入了高階循環(huán)累積量的方法，但不適用于子載波數(shù)較多和子載波間隔較小的情況；李國漢[5]基于KS距離進行估計，低信噪比下誤差較大?？傮w看來，在信號變弱的情況下，上述方法均會出現(xiàn)不同程度的性能下降，如何在低信噪比條件下實現(xiàn)微弱OFDM信號子載波數(shù)的有效估計，已成為本領域亟待探索的研究課題。

近年來，隨著非線性動力學和統(tǒng)計物理理論的發(fā)展，隨機共振(Stochastic Resonance，SR)理論及相關技術引起通信領域的日益關注。隨機共振能夠將噪聲的部分能量轉化為有用信號的能量，使得系統(tǒng)輸出的局部信噪比有了較高的提升[6]，在微弱信號檢測等領域取得了不少豐碩成果，為精準、高效提取強噪聲背景中的目標信號提供了新的思路。本文以高斯白噪聲信道為例，研究了低信噪比下微弱OFDM信號的子載波數(shù)檢測問題，提出了一種基于隨機共振的改進方法。該方法在倒譜法及其小波改進法的基礎上，利用隨機共振方法對微弱OFDM信號進行帶內能量的增強和帶外噪聲的抑制，從而進一步增強頻譜的等波紋周期性，不僅增大了檢測的峰值和精度，而且降低了檢測的信噪比門限，較大程度地提升了對OFDM信號子載波數(shù)估計的算法性能，在低信噪比的情況下凸顯了一定的優(yōu)勢。

2 基本理論

2.1 OFDM子載波數(shù)估計方法

OFDM采用重疊子載波調制技術[7]，在頻域把信道分成多路正交子信道，其基本思想是把高速數(shù)據(jù)流由串行變?yōu)镹路低速的子數(shù)據(jù)流，用它們調制N個子載波，并分別在N路子信道上進行并行傳輸。其具體實現(xiàn)可以利用離散傅里葉變換進行[8]，后來誕生了離散傅里葉變換的快速算法，便采用IFFT/FFT進行調制與解調。在信號的調制過程中，可以產生與IFFT點數(shù)N相同數(shù)目的正交并行子載波，而在實際應用中，只是選擇部分子載波傳輸信號，其原理如圖1所示，第三方接收則需要對實際使用子載波的個數(shù)進行估計[9]。

圖1 OFDM信號子載波分配示意Fig.1 OFDM signal subcarrier distribution

2.1.1 倒譜法

倒譜法是對頻譜的一種二次分析方法，它將卷積變?yōu)榍蠛?，從而達到分離特征的目的，可以用來分析語音信號中的基音周期等參數(shù)，由于OFDM信號具有等波紋的特殊頻譜形狀，因此可以利用倒譜法對其實際子載波數(shù)進行估計。基本思路如下：

(1)

實際應用中，計算倒譜則是利用FFT/IFFT實現(xiàn)的，F(xiàn)FT實際上是對Z變換在單位圓上的取樣，因此有如下公式：

C(q)=IFFT(log(|FFT(x(n))|))

(2)

其中，q被稱為倒頻率。利用式(3)和(4)即可計算子載波數(shù)M：

(3)

(4)

其中，η為信號采樣率與帶寬的比值。

倒譜法估計子載波數(shù)的過程如圖2：首先，利用Welch譜估計[10]方法對接收到的OFDM信號進行預處理，這是對數(shù)據(jù)分段交疊并加窗作FFT的一種功率譜估計方法，相比對信號直接作FFT而言，可有效降低估計方差；然后取對數(shù)，進行IFFT；最后對輸出的倒譜進行譜峰檢測，從而估計出實際的子載波數(shù)。

圖2 倒譜法Fig.2 Method of cepstrum

2.1.2 小波改進倒譜法

一般情況下，利用Welch法得到的功率譜中往往會存在很多有干擾諧波，求倒譜后，峰值的閾值并不是很高，因此可以使用小波函數(shù)進行改進，將與子載波帶寬不一致的分量濾除，盡可能減少干擾，突出IFFT之后的峰值。

利用Haar小波，其離散的表示為WTha(a,k)，將其與Welch功率譜取對數(shù)之后的結果進行卷積，得到Z(k)，表示為下式：

Z(k)=log(X(k))*WTha(a,k)

(5)

小波改進倒譜法的具體流程如圖3所示，Haar小波處理環(huán)節(jié)增加在IFFT之前，其余環(huán)節(jié)與倒譜法一致。

圖3 小波改進倒譜法Fig.3 Improved method of cepstrum based on wavelet transform

小波改進法雖然是對倒譜法的提升，但由于Haar系數(shù)必須要由預估的子載波帶寬來確定(具體參考文獻[3])，增加了一定的復雜度，而倒譜法算法簡單，容易實現(xiàn)，兩種方法各有優(yōu)勢，因此，本文對這兩種傳統(tǒng)方法都進行了基于隨機共振的改進，實際應用時視具體情況選擇合適的方法即可。

2.2 隨機共振理論2.2.1 朗之萬方程

雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)是一類典型的非線性系統(tǒng)，其可由Langevin方程[5]表示：

(6)

式中a和b為雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的參數(shù)，s(t)=Acos(2πf0t+φ)為被檢測信號，A為信號幅值，f0為信號頻率，Γ(t)為均值為0、噪聲強度為D高斯白噪聲，〈Γ(t)〉=0，〈Γ(t)Γ(0)〉=2Dδ(t)，其中〈·〉為時間平均。

隨機變量x的概率分布函數(shù)ρ(x,t)遵循Fokker-Planck方程[11]：

(7)

式中初始條件為ρ(x,t0|x0,t0)=δ(x-x0)。由式(7)分析知，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)受輸入Acos(2πft)影響，勢壘ΔU=a2/4b越高，系統(tǒng)在勢阱中暫留的時間越多。當噪聲促使微弱輸入信號在兩個勢阱中不斷改變時，系統(tǒng)的切換速度與輸入同頻，因此存在系統(tǒng)與信號的周期量程匹配問題。

2.2.2 絕熱近似理論

對于雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，定義n±(t)為時刻t系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)±xm的概率。當系統(tǒng)的平衡在輸入信號周期驅動力的作用下被破壞，導致勢阱間躍遷行為的出現(xiàn)，定義W±(t)為時刻t系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)±xm躍遷的概率，可得關于n±(t)的方程：

n'/±(t)=-W±(t)n±(t)+W?(t)n?(t)

(8)

處于兩個勢阱的概率n±(t)滿足：

n±(t)+n?(t)=1

(9)

當信號的頻率f很小時，可認為系統(tǒng)在勢阱中到達平衡狀態(tài)所用的時間遠遠小于勢阱之間概率整體平衡所用的時間，也遠遠小于系統(tǒng)隨著輸入信號的變化所用的時間，這就是絕熱近似。在絕熱近似條件下，F(xiàn)okker-Planck方程(7)在長時間后將演進為n+(t)和n-(t)之間的概率交換。

在絕熱近似條件下，即輸入信號頻率遠小于rK，同時輸入信號幅值A和噪聲強度D?1，即f?rK，A?1,D?1。式中rk為Kramers躍遷率：

(10)

經過相關理論(參考文獻[11]、[12])推導，可得系統(tǒng)輸出功率譜：

[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]

(11)

2.2.3 歸一化處理

為了突破絕熱近似理論對輸入必須滿足小參數(shù)的限制，引入以下變量對其進行歸一化[14]處理：

(12)

帶入式(6)得：

(13)

(14)

歸一化處理對信號頻率進行壓縮，對信號與噪聲的幅度進行同比例縮放，即突破了小參數(shù)的制約，可處理大參數(shù)信號，使隨機共振能夠被廣泛應用于更多的實際信號。

3 隨機共振在微弱OFDM信號子載波數(shù)估計中的算法實現(xiàn)

由于隨機共振能夠有效地將噪聲能量轉移到信號中，且對單頻周期信號的頻率譜線具有較好的增強作用，而在OFDM信號子載波數(shù)的倒譜估計方法中，正是利用了其等波紋頻譜的周期性，因此設想利用隨機共振來加強其頻譜中的周期成分，再利用倒譜法及小波改進法進行檢測，提高檢測性能。

改進算法的處理流程如圖4所示，首先，設置高采樣率接收OFDM信號，高采樣率是為了避免隨機共振輸出發(fā)散，一般至少高于50倍的信號最高頻率[6]。其次，利用隨機共振對信號處理，由于隨機共振產生的條件較為苛刻，只有選取了合適的系統(tǒng)參數(shù)，才可以產生最佳隨機共振，本文利用孔德陽提出的ASRASN算法[15-16]來確定系統(tǒng)參數(shù)，此算法是根據(jù)信號載波頻率的數(shù)量級確定出系統(tǒng)參數(shù)的大致范圍，并在此范圍內根據(jù)人工魚群算法，結合歸一化原理選取最佳參數(shù)。最后，利用倒譜法及其小波改進法計算參數(shù)。

在實際處理中，利用四階Runge-Kutta方程[12]將連續(xù)的差分方程轉變?yōu)殡x散的數(shù)值求解，迭代步長h取采樣率Fs的倒數(shù)，即h=1/Fs。

圖4 OFDM實際子載波數(shù)的估計流程Fig.4 Estimation process of the actual number of subcarriers in OFDM

(1)定義局部信噪比(Local SNR，LSNR)為

(15)

其中，S(q)為信號功率譜密度，SN(q)為噪聲在信號頻率附近的強度大小，需要注意的是，這里的頻率實際指的是倒譜域上的倒頻率。LSNR衡量的是倒譜域上峰值的突顯程度和尖銳程度，其值越大，則代表譜峰越明顯，越易觀測。

(2)定義局部信噪比增益(Local SNR Improvement， LSNRI)為

LSNRI=LSNRsr/LSNRori

(16)

其中，LSNRsr與LSNRori分別指通過隨機共振方法改進后和未改進原始方法獲得的局部信噪比，LSNRI的大小代表了隨機共振方法相比于原始方法獲得的增益大小，以dB為單位，其值若大于0則證明隨機共振方法輸出的譜峰得到改善，其值越大，改善程度也越大。

(3)定義平均誤差(Average Error，AE)為

(17)

4 仿真實驗與結果分析

4.1 實驗1：有效性驗證

OFDM信號仿真參數(shù)如下：碼元個數(shù)為100，IFFT點數(shù)N為128，循環(huán)前綴NG長度為1/4×N，并行子載波個數(shù)M為25，載波頻率間隔Δf為40 Hz，子載波調制方式采用QPSK，采樣率Fs為5.12 kHz，由于隨機共振要求信號有較高的采樣率，將采樣率擴大100倍，即Fs為512 kHz，在高斯白噪聲信道條件下設定SNR為-15 dB。利用上節(jié)方法，使信號通過隨機共振系統(tǒng)(經過ASRASN確定出a=5100，b=114)，然后分別經過倒譜法和小波改進法，并與經典方法對比，結果分別如圖5、圖6所示。為方便對比，所有輸出都進行了最大幅值為1的歸一化處理。

圖5 基于隨機共振的倒譜法對比Fig.5 Comparison of the cepstrum method based on stochastic resonance

圖6 基于隨機共振的小波改進倒譜法對比Fig.6 Comparison of the wavelet improved cepstrum method based on stochastic resonance

(1)與倒譜法對比。當信道中白噪聲強度較高的情況下，直接利用倒譜法得到的輸出，譜峰用肉眼基本無法辨識，而使用隨機共振方法改進后，峰值凸顯，易于測量(如圖5所示)。

(2)與小波改進倒譜法對比。在同樣的條件下，小波改進倒譜法相比于倒譜法而言，譜峰更加凸顯，但同時噪底提高，且譜峰不夠尖銳，而使用隨機共振方法對其改進后，噪聲被大幅度抑制，譜峰尖銳且高聳，測量結果更加明晰(如圖6所示)。

(3)估計信號的實際子載波個數(shù)。以基于隨機共振的倒譜法為例，利用式(3)和式(4)，得：

其中，12780為倒譜中的峰值坐標，即倒頻率，512000是采樣率，1005為估計的信號帶寬，經過四舍五入取整即可正確估計出子載波的個數(shù)為25。

4.2 不同條件下算法性能對比與分析

本節(jié)將在不同的信號條件下檢驗算法性能，所有實驗均采用蒙特卡羅仿真方法，實驗次數(shù)為200次。

4.2.1 實驗2：不同信噪比下算法性能

仿真參數(shù)如下：根據(jù)美軍標(MIL-STD-188-110B)產生39音OFDM信號，碼元個數(shù)設置為100，IFFT點數(shù)N為128，循環(huán)前綴NG長度為1/4×N，并行子載波個數(shù)M為39，子載波調制方式采用QPSK，載波頻率間隔Δf為56.25 Hz，采樣率Fs由7.2 kHz提高至720 kHz。信道為高斯白噪聲信道，SNR由-30 dB增加到10 dB。經過ASRASN確定出a=5025，b=103。

圖7 LSNR隨SNR的變化Fig.7 The change diagram of LSNR with SNR

圖8 LSNRI隨SNR變化Fig.8 The change diagram of LSNRI with SNR

圖9 AE隨SNR的變化Fig.9 The change diagram of AE with SNR

由圖7所示，隨著輸入信噪比的不斷增大，四種方法輸出的局部信噪比均呈現(xiàn)不斷上升的趨勢。倒譜法及其小波改進法在分別進行隨機共振改進之后，均獲得了較高的增益提升。

圖8描述了隨機共振方法改進后的局部信噪比增益的變化規(guī)律，與圖7相比，更加清晰地體現(xiàn)了采用隨機共振方法帶來的局部信噪比增益。隨著SNR的提高，兩種方法的LSNRI變化趨勢相同，先增大后減小，且均在-20 dB左右達到最高增益14 dB，此時應為噪聲、信號、系統(tǒng)三者達到最佳匹配狀態(tài)，符合隨機共振理論。

圖9則呈現(xiàn)了四種方法的平均誤差變化規(guī)律，在低信噪比條件下，倒譜法估計精度最低，小波改進法在一定程度上降低了誤差和信噪比門限，而基于隨機共振的兩種方法相比原始方法而言，在-25 dB處平均誤差幾乎為零，進一步降低了信噪比門限, 較倒譜法降低約7 dB, 較小波改進法降低約5 dB。而且在更惡劣的信道條件下，誤差也得到一定程度的降低。

4.2.2 實驗3：不同調制方式下算法性能

將子載波調制方式改為16QAM，隨機共振參數(shù)不變，按照實驗2的方法對比LSNR、LSNRI及AE隨SNR的變化情況。

圖10、11、12分別畫出了子載波調制方式為16QAM與QPSK時的局部信噪比、局部信噪比增益以及平均誤差，虛線代表16QAM，實線代表QPSK，可以看出，兩種調制方式下的曲線僅有微小差異，基本保持一致，可見改進算法并不受子載波調制方式的影響，具有很好的魯棒性。

圖10 LSNR隨SNR的變化Fig.10 The change diagram of LSNR with SNR

圖11 LSNRI隨SNR的變化Fig.11 The change diagram of LSNRI with SNR

圖12 AE隨SNR的變化Fig.12 The change diagram of AE with SNR

4.2.3 實驗4：不同子載波數(shù)目下算法性能

子載波數(shù)設置為20到50，以2為間隔遞增。SNR為-23 dB，其余參數(shù)同實驗2。

如圖13，隨著子載波數(shù)的增加，輸出的局部信噪比增益波動不大，圖14則說明了由隨機共振帶來的增益也不會隨著子載波數(shù)的變化而出現(xiàn)較大改變。由圖15可知，倒譜法及其小波改進法的平均誤差隨著子載波數(shù)的增加而上升，而隨機共振改進算法的平均誤差一直為零。

圖13 LSNR隨子載波數(shù)的變化Fig.13 The change diagram of LSNR with number of subcarriers

圖14 LSNRI隨子載波數(shù)的變化Fig.14 The change diagram of LSNRI with number of subcarriers

圖15 AE隨子載波數(shù)的變化Fig.15 The change diagram of AE with number of subcarriers

由此可以看出，本文提出的算法在不同子載波數(shù)條件下，均顯示出比原有倒譜法及其小波改進法更好的估計性能。

5 結論

本文利用了隨機共振中噪聲對于微弱信號的增強作用，探索和發(fā)掘了隨機共振對于高斯白噪聲信道下的OFDM信號子載波個數(shù)估計中的譜線提升能力，并在仿真實驗條件下做了有效性和魯棒性的分析。算法是在倒譜法和小波改進法的基礎上完成的，綜合了這些方法的優(yōu)點，為整體的估計性能帶來了如下好處：第一，增大輸出的峰值，提升檢測性能；第二，降低信噪比門限，在信道環(huán)境惡劣的情況下發(fā)揮優(yōu)勢；第三，提高估計精度。結果表明，應用隨機共振的改進算法較原有的兩種算法在有效性和魯棒性上都具有更好的性能，為低信噪比條件下OFDM信號的后續(xù)解調以及信息恢復等起到了重要作用。同時，也拓展了隨機共振在通信信號中的應用范圍。