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        引力距離為什么不能從質(zhì)心計(jì)算

        2018-07-25 03:39:36
        物理通報(bào) 2018年8期
        關(guān)鍵詞:球心球體質(zhì)點(diǎn)

        金 遜

        (南京市燕子磯中學(xué) 江蘇 南京 210038)

        不少師生根據(jù)地面物體受力分析的經(jīng)驗(yàn),將整體法推廣到多體的引力問題.但是,這種推廣是錯誤的.本文結(jié)合歷史文獻(xiàn)說明,非均勻球體的引力距離一般不能從質(zhì)心計(jì)算,多體的萬有引力問題一般不能整體分析.

        1 挖補(bǔ)問題

        在高中物理教輔用書上頻頻出現(xiàn)這樣一個問題:“球體挖去一小球后對另一質(zhì)點(diǎn)的吸引力”.利用挖補(bǔ)的思路計(jì)算物體之間的萬有引力,多種解法結(jié)果不同.

        1.1 問題的描述

        大球挖去小球后,求剩余部分對質(zhì)點(diǎn)的吸引力.下面是資料上一種常見的描述.

        一半徑為R,質(zhì)量為M的均勻球體,其球心O與另一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)B距離為2R,如圖1所示.

        若挖去以O(shè)A的中心O1為球心、R為直徑的球體,如圖2所示,求剩余部分對質(zhì)點(diǎn)B的吸引力F0.

        圖2 均勻球體內(nèi)挖去一個小球體

        1.2 3種挖補(bǔ)方法

        挖補(bǔ)法是基于等效替代的思想處理問題,用該法求解一些特殊物體間的作用力時,可以避開復(fù)雜的高等數(shù)學(xué)知識,僅利用中等數(shù)學(xué)就可順利求解,因此受到廣大師生的歡迎.以下3種解法均為中學(xué)階段容易想到的挖補(bǔ)法,結(jié)果各不相同,原因何在?

        解法1:整體引力減去挖去部分引力

        剩余部分對質(zhì)點(diǎn)B的吸引力等于,挖前整體對物體的吸引力,減去挖去部分(挖前)對物體的吸引力.設(shè)挖前整個球?qū)|(zhì)點(diǎn)B的吸引力為F,挖去部分在挖前對質(zhì)點(diǎn)B的吸引力為F1,則

        F0=F-F1

        (1)

        根據(jù)萬有引力定律,有

        (2)

        (3)

        挖去部分在挖前對質(zhì)點(diǎn)B的吸引力為

        (4)

        把式(3)代入式(4),得

        (5)

        式(2)、(5)代入式(1),得挖去后剩余部分對質(zhì)點(diǎn)B的吸引力為

        (6)

        解法2:再挖去一球,利用對稱性求解

        在大球的左部,與O1關(guān)于球心O點(diǎn)對稱的位置,再挖去一個同樣的小球O2,如圖3所示.設(shè)挖去小球O1,O2后,剩余部分的質(zhì)量為M1.挖去小球O2前,小球O2對質(zhì)點(diǎn)B的吸引力為F2,挖去Q1和Q2后剩余部分對質(zhì)點(diǎn)B的吸引力為F3,則題目所求即為

        F0=F2+F3

        (7)

        把式(3)代入上式,得

        (8)

        圖3 解法2圖示

        (9)

        把式(8)、(9)代入式(7),得挖去O1后剩余部分對質(zhì)點(diǎn)B的吸引力為

        (10)

        解法3:利用剩余部分的質(zhì)量和質(zhì)心距離計(jì)算

        先求剩余部分的質(zhì)量和質(zhì)心位置,再把質(zhì)心距離作為引力距離,利用萬有引力定律直接求剩余部分對質(zhì)點(diǎn)B的吸引力F0.

        設(shè)剩余部分的質(zhì)量為M2,則M2=M-m1,將式(3)代入得

        (11)

        剩余部分的質(zhì)心應(yīng)該位于大球球心O點(diǎn)左方,設(shè)其距O點(diǎn)距離為r,如圖4所示.挖前整體的質(zhì)心應(yīng)在O點(diǎn),根據(jù)質(zhì)心關(guān)系有

        將式(3)、(11)代入上式,得

        (12)

        圖4 解法3圖示

        剩余部分的質(zhì)心距質(zhì)點(diǎn)B的距離為r+2R,故剩余部分對質(zhì)點(diǎn)B的吸引力為

        將式(11)、(12)代入上式,得

        (13)

        1.3 3種解法比較

        3種解法得到的結(jié)果,分別是式 (6)、式(10)、式(13).很明顯,3種解法結(jié)果各不相同.可是,它們都是從質(zhì)心計(jì)算引力的,問題出在哪里?

        2 釋疑解惑

        這就牽涉到萬有引力定律的成立條件.嚴(yán)格地說,萬有引力定律只適用于質(zhì)點(diǎn).對于相距較遠(yuǎn)的天體,可以看做質(zhì)點(diǎn),距離的選取較為簡單.而以上問題中兩者相距較近,不能看作質(zhì)點(diǎn).分析它們之間的萬有引力,距離應(yīng)該從哪里算,能不能從質(zhì)心來計(jì)算?即能否整體分析?

        2.1 歷史的回顧

        牛頓當(dāng)初就被距離從哪里算的問題,困擾了近20年的時間.早在1666年,牛頓就根據(jù)開普勒第三定律推出,行星圍繞太陽運(yùn)動所需要的力與距離的平方成反比,但是到17世紀(jì)80年代才重新提起引力定律.主要原因之一是,牛頓在分析地球?qū)υ虑蛞约暗厍驅(qū)λ砻嫖矬w的吸引力時,不能確定距離從哪里算.1685年初,情況才出現(xiàn)了轉(zhuǎn)機(jī),牛頓用他自己開創(chuàng)的微積分證明了,地球吸引外部物體時,恰像全部的質(zhì)量集中在球心一樣.也就是說,均勻球體對其外部物體的吸引力,可以從質(zhì)心(球心)計(jì)算距離[1].

        2.2 萬有引力一般不能從質(zhì)心整體分析

        在力學(xué)中受力分析常見的有隔離法、整體法.在都能解決問題的時候,整體法往往優(yōu)于隔離法.除均勻球體外,一般物體(或多體系統(tǒng))對其外部物體的萬有引力是否也可以從質(zhì)心計(jì)算距離,整體分析呢?

        答案是:一般不可以.上述3種解法中,第一種解法,均勻球體對其外部物體的吸引力,從質(zhì)心(球心)計(jì)算距離.這種方法從牛頓開始,經(jīng)過多次的理論推證和實(shí)踐檢驗(yàn),證明是正確的.后兩種解法得到的結(jié)果與解法1不同,是錯誤的.

        上述3種不同的挖補(bǔ)方法,結(jié)果各不相同,這就表明:對于非均勻球體,不能認(rèn)為可以從質(zhì)心計(jì)算萬有引力.

        原因是,質(zhì)心與物體位置有關(guān),質(zhì)心與距離遵循一次函數(shù)關(guān)系.而萬有引力與距離是平方反比關(guān)系,兩者與距離的關(guān)系并不等價.所以,引力距離一般不能從質(zhì)心計(jì)算.均勻球體是特例.一般物體受到的萬有引力是否可以從質(zhì)心計(jì)算,需另行證明.到底應(yīng)該從哪里計(jì)算距離,一般需要利用微積分的思想進(jìn)行具體分析.

        討論重力問題的時候,為什么可以從質(zhì)心整體分析?因?yàn)樵诘厍虮砻娓浇?,重力場可以認(rèn)為是均勻的,重力的合成與位置無關(guān).而大尺度的引力場不能認(rèn)為是均勻的,引力的合成與位置有關(guān).故,不能用重力合成的規(guī)律來類比.同理,在討論高空重力問題時,如果考慮重力加速度g隨位置的變化,一般也不能從質(zhì)心整體分析.

        下述利用多個天體繞轉(zhuǎn)的實(shí)例進(jìn)一步驗(yàn)證.

        3 兩物體組成系統(tǒng)(啞鈴狀物體)軸線方向受力

        以下是中學(xué)常見的“啞鈴”狀系統(tǒng).A和B兩均勻人造球體,質(zhì)量均為m,由輕質(zhì)硬桿相連,形如一個“啞鈴”,如圖5所示.A,B兩物體和中心天體C始終在一條直線上,A,B兩物體和輕桿成為C的一個衛(wèi)星.A,B分別以r1和r2為半徑繞C做圓周運(yùn)動.中心天體C的質(zhì)量為M,不計(jì)A,B之間的萬有引力.求此衛(wèi)星受到C的萬有引力(資料上的試題,一般求周期.這里為方便對比,改為求引力).

        圖5 兩物體組成系統(tǒng)軸線方向受力情境圖

        解法1:對衛(wèi)星(A,B兩物體組成系統(tǒng))整體分析

        衛(wèi)星由A,B及輕桿組成,將其看作一個系統(tǒng).該系統(tǒng)的質(zhì)心位于輕桿中某點(diǎn),距C中心為

        如果A,B兩物體組成系統(tǒng)受到其他物體的萬有引力可以認(rèn)為系統(tǒng)的質(zhì)量集中于質(zhì)心,整體求解,得衛(wèi)星(A,B兩物體組成系統(tǒng))與天體C之間的萬有引力

        (14)

        解法2:對A,B隔離分析

        A受到C的萬有引力

        B受到C的萬有引力

        對此兩力進(jìn)行合成,得衛(wèi)星系統(tǒng)受到合力

        (15)

        整體分析與隔離分析,結(jié)果是否等價?

        如果F≠F′,即對A,B兩物體組成系統(tǒng)整體分析與隔離分析再求合力,結(jié)果不等價.意味著求A,B系統(tǒng)受到的萬有引力,不能認(rèn)為系統(tǒng)的質(zhì)量集中于質(zhì)心.

        反之,如果F=F′,意味著A,B系統(tǒng)受到其他物體的萬有引力,可認(rèn)為質(zhì)量集中于質(zhì)心.

        由式(14)、(15),由于r1和r2具體數(shù)值均未知,一般F≠F′.在某種特殊情況,也可能F=F′.下面,我們分析滿足何種條件會出現(xiàn)F=F′.

        假設(shè)F=F′,由式(14)、(15),知

        展開,可得

        整理,得

        3r1r2(r1-r2)]=(r1-r2)2·

        由于r1>0,r2>0,欲使以上成立,必

        r1-r2=0

        所以當(dāng)r1=r2時,F(xiàn)=F′.

        即當(dāng)A,B兩物體重合時,A,B系統(tǒng)受到的萬有引力,才能認(rèn)為質(zhì)量集中于質(zhì)心.也就是說,正常情況下,兩物體組成系統(tǒng)(啞鈴狀物體)沿軸線方向受到其他物體的萬有引力,不能認(rèn)為質(zhì)量集中于質(zhì)心.即兩體系統(tǒng)受其他物體的萬有引力,一般不能整體分析.

        4 三星繞轉(zhuǎn)

        3顆質(zhì)量相等的行星A,B,C位于正三角形的頂點(diǎn)處,都繞三角形的中心做圓周運(yùn)動,設(shè)每顆星的質(zhì)量均為m,相鄰兩顆星距離為L,如圖6所示.每顆行星運(yùn)行所需向心力都由其余兩顆行星對其萬有引力的合力來提供.

        圖6 三星繞轉(zhuǎn)情境圖

        解法1:對AB系統(tǒng)整體分析.如果把A,B兩顆星看作一個系統(tǒng),該系統(tǒng)的質(zhì)心位于兩者連線的中點(diǎn)H.質(zhì)心與第3顆星C的距離為

        r=Lsin60°

        如果A,B兩物體組成系統(tǒng)對C物體的萬有引力可以認(rèn)為系統(tǒng)的質(zhì)量集中于質(zhì)心,整體求解,得

        解法2:隔離法

        A,B兩物體對天體C萬有引力的合力為

        很明顯,兩者并不一致,且差距較大.也就是說,兩物體組成的系統(tǒng)在垂直連線方向?qū)Φ谌叩娜f有引力,不能認(rèn)為質(zhì)量集中于系統(tǒng)的質(zhì)心.

        如果3個物體質(zhì)量不等,位置不對稱,或者其他更復(fù)雜的情況,亦可類似證明.

        5 總結(jié)

        對于其他結(jié)構(gòu)更復(fù)雜的系統(tǒng),總可以分解為多個縱向和橫向的情況進(jìn)行類似的處理.通過對多種情況的分析,可以發(fā)現(xiàn),幾個物體組成的系統(tǒng),該系統(tǒng)與其他物體間的萬有引力,通常不能認(rèn)為質(zhì)量集中于系統(tǒng)的質(zhì)心進(jìn)行整體分析,即萬有引力的計(jì)算與質(zhì)心無關(guān).

        嚴(yán)格地說,萬有引力定律只適用于質(zhì)點(diǎn).對于不能看做質(zhì)點(diǎn)的物體,一般用微積分的思想進(jìn)行分析.

        均勻球體對其外部物體的吸引力,可以從質(zhì)心(球心)計(jì)算距離.此為特例.非均勻球體,對其外部物體的吸引力,一般不能從質(zhì)心(或球心)計(jì)算距離.

        6 啟示

        真理是相對的.原來以為很正確的東西,可能也存在一些缺陷.當(dāng)外部條件略有變化的時候,其結(jié)論未必還成立.中學(xué)階段在分析萬有引力問題時,遇到最多的是均勻球狀天體對其他物體的吸引力,這種情況可以從質(zhì)心(球心)計(jì)算引力距離.許多師生受此影響,不加證明將該結(jié)論推廣到非均勻球體,導(dǎo)致了一些貌似合理的錯誤.教訓(xùn)告訴我們,直覺不一定是正確的,直覺只是給我們提供了一個可能的研究方向,其是否正確需要我們作進(jìn)一步的科學(xué)分析[2].

        再比如,在力學(xué)中,經(jīng)常把物體看作質(zhì)點(diǎn),但是在熱學(xué)部分,許多情況又恰恰不能把物體看作質(zhì)點(diǎn),需要考慮其體積的變化.這就導(dǎo)致許多人在處理相關(guān)問題時栽在了“體積”這匹黑馬上[3].

        在科學(xué)史上,類似的事情也發(fā)生過多次.比如,李政道和楊振寧獲得諾貝爾物理學(xué)獎的成果是,提出“弱相互作用中宇稱不守恒”.在“李-楊”之前,人們發(fā)現(xiàn)很多情況下“宇稱守恒”,于是大家想當(dāng)然地認(rèn)為,宇稱在其他情況下也是守恒的.在“李-楊”提出“弱相互作用中宇稱不守恒”之后,吳健雄(美籍華裔)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,證實(shí)了“李-楊”的觀點(diǎn).

        最后,我們以吳健雄的話作為總結(jié).“這件事給我們一個教訓(xùn),就是永遠(yuǎn)不要把所謂‘不驗(yàn)自明’的定律視為是必然的.”

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