邢占樂 谷樹亞

(河北蠡縣中學 河北 保定 071400)

張春梅

(蠡縣大百尺中學 河北 保定 071400)

在學習高中直流電路的知識時，對閉合電路中電源最大輸出功率與負載的關(guān)系的分析研究過程，可以從不同角度展開，巧妙地用物理規(guī)律公式結(jié)合數(shù)學函數(shù)關(guān)系，采用圖像法推導出電源最大輸出功率的條件 .

1 基本的電學規(guī)律和概念

1.1 閉合電路歐姆定律

(1)內(nèi)容：閉合電路中的電流強度跟電源的電動勢成正比，跟整個電路的總電阻成反比.

1.2 閉合電路中各部分的電功率

如圖1所示，整個閉合電路包括內(nèi)電路和外電路，內(nèi)電路是指電源內(nèi)部的電路部分，包括內(nèi)電阻，而外電路是指電源兩極之外的電路部分，包括負載電阻和其他外部電阻.

圖1 閉合電路歐姆定律電路圖

整個電路消耗的功率叫總功率P總，電源的內(nèi)阻消耗的功率叫內(nèi)功率P內(nèi)，電源外部的負載電阻消耗的功率叫電源輸出功率P出.分別對應的表達式如下：

(1)電源的總功率

P總=IE

(2)內(nèi)電阻內(nèi)耗功率

P內(nèi)=I2r

(3)負載電阻的功率

P出=P總-P內(nèi)=IE-I2r=IU=I2R

電源輸出的最大功率是我們所要討論的內(nèi)容，影響電路中各部分消耗功率的關(guān)鍵因素是外電阻變化、電路電流變化、路端電壓變化.

2 分析過程和方法

設定當外電阻為純電阻電路時，電源電動勢為E,內(nèi)電阻為r,路端電壓為U，外電阻為R.如圖1所示，研究分析如下.

2.1 電源的輸出功率隨外電阻變化的討論

(1)配完全平方法

負載電阻R的功率

P出=I2R

(1)

據(jù)閉合電路歐姆定律

(2)

由式(1)、(2)聯(lián)立解得

(3)

從式(3)可以直接看出，當R=r時，P出取得最大值，最大值為

由式(3)還可以繪制P出-R圖線，如圖2所示.

圖2 P出-R圖線

可以從圖像中直觀看出，電源的輸出功率隨外電路電阻的變化而變化，P出的數(shù)值隨負載電阻R數(shù)值的變化并不是單調(diào)的，只有當R=r時，P出取得最大值；當0r時，P出單調(diào)遞減，P出的數(shù)值隨著R的增加而減小,進而可以直接討論分析一些電源輸出功率大小情況的相關(guān)問題.

(2)配構(gòu)對勾函數(shù)法

同上由式(1)、(2)聯(lián)立解得負載電阻R的功率

(4)

式(4)的分母可以按對勾函數(shù)進行處理，令式(4)中

存在最大值，最大值為

2.2 電源的輸出功率隨電路中電流變化的討論

(1)構(gòu)建P-I函數(shù)求極值法

據(jù)閉合電路中功率關(guān)系

P出=P總-P內(nèi)=IE-I2r

因電源的電動勢和內(nèi)阻為定值，P出隨電流I的變化而變，可以繪制P出-I二次函數(shù)圖線 ，如圖3所示.

圖3 P-I圖線

通過分析電流的變化可以推出當R=r時，電源輸出最大功率為

2.3 電源的輸出功率隨路端電壓變化的討論

(1)構(gòu)建P-U函數(shù)求極值法

負載電阻R的功率

P出=UI

(5)

將式(2)變形為

(6)

由式(5)、(6)聯(lián)立解得輸出功率表達式

推得

因電源的電動勢和內(nèi)阻為定值，P出隨電壓U的變化而變，可以繪制P出-U二次函數(shù)圖線，如圖4所示.

圖4 P出-U圖線

2.4 電源的輸出功率從U-I圖像中討論

據(jù)閉合電路歐姆定律，可知路端電壓與電路電流的關(guān)系為

U=E-Ir

(7)

繪制U-I圖像如圖5所示.

圖5 U-I圖線

負載電阻的電功率

P出=IU

(8)

由式(7)、(8)可知，當電路電流為I1,電路電壓為U1，負載電阻電功率為P1=I1U1，如圖6所示，可以看出矩形陰影面積表示負載電功率的大小,坐標點(I1,U1)與原點連線斜率表示負載電阻大小，此時負載阻值為

圖6 當電流為I1時，U-I圖像各部分的物理意義

當電路電流為I2,電路電壓為U2，負載電阻電功率為P2=I2U2，如圖7所示,可以看出矩形陰影面積表示負載電功率的大小,坐標點(I2,U2)與原點連線斜率表示負載電阻大小，此時負載阻值為

圖7 當電流為I2時，U-I圖像各部分的物理意義

圖8 矩形面積最大時所對應的各物理量

通過分析U-I圖像里的矩形面積變化可以推出當R=r時，電源輸出最大功率為

3 結(jié)束語

通過上述幾種利用數(shù)學思想方法的探討分析，我們能夠輕松求得電源最大輸出功率的條件及最值，進而方便直接、快捷解決相關(guān)直流電路的物理問題，并深知數(shù)學知識在解決物理問題方面有著重要的作用.其實很多物理規(guī)律都是通過數(shù)學建模歸納推導的，希望大家在學習物理的過程中牢牢樹立用數(shù)學知識解決物理問題的思維和意識，這是學好物理的前提.