鄭文珍

(衢州學院教師教育學院 浙江 衢州 324000)

電容器是現代電工電子技術中的重要元件，有關電容器的教學也是大學物理課程教學內容的一個重要組成部分[1].而在眾多琳瑯滿目的各式電容器中，平行板電容器因其結構簡單、便于計算的優(yōu)點而作為常用電容器的代表在相關理論推導、能量儲存、介質極化、耦合回路等多個方面得到了典型應用.但在實際的大學物理教學中，除對平行板電容器作了最基本的討論外，對平行板電容器的其他特征卻極少涉及[2,3]，對其物理本質也缺少深層次的剖析.為了更進一步闡明平行板電容器的典型特征，下面通過兩個例子對這一問題作一些物理上的拓展和延伸，以豐富電容器內容的教學.

1 充電電流與場強的關系

對于一個兩極板間充以空氣的空氣平行板電容器，當其充電時，考慮一個質量為m,電荷量為e的電子，在電場E作用下，其運動速度由無規(guī)則熱運動的速度和在電場力作用下的定向運動速度疊加而成.則有

ma=-eE

(1)

即，由電場作用而產生的加速度為

(2)

而電子的運動是在不斷的碰撞中進行的，設電子每兩次碰撞之間的自由時間為τ，碰撞后速度為v0，則電子在兩次碰撞之間的平均自由程為

(3)

由于電子是全同的，對大量電子的平均自由程求統(tǒng)計平均，并注意到v0的平均值為零，則有

(4)

則電子定向運動的漂移速度為

(5)

設N為電子總數(為宏觀量)，根據大數微觀粒子熱運動統(tǒng)計規(guī)律的定義[4]，得

(6)

式(6)代入式(5)，得到

(7)

設導體中電子數密度為n，則電容器充電時的電流密度為

(8)

故通過任一截面S的充電電流為

(9)

式(9)表明，電流實際上是由大量電子運動統(tǒng)計平均值的結果，是由電荷的連續(xù)傳輸造成的.當電容器未充電時，體內無電場，自由電子沒有定向運動，從而導線中無電流；但當對電容器充電時，電場就會把場源變化的信息很快傳輸出去，使電子迅速達到重新分布，電路里建成了電場，推動當地的電子做定向運動從而形成電流.在對電容器充電時，充電電流取決于所有參加導電的電子相對于晶格位移的統(tǒng)計平均值，電流的大小與電場強度E和截面積S有直接的關系.這也是宏觀電流連續(xù)性的具體體現.

2 非平行板電容器

設有一非平行板電容器，如圖1所示，兩極板A和B形狀相同，其長和寬分別為L和l，A，B延伸后相交于點O，交角為θ，點O與極板近、遠端的距離分別為a和b.考慮兩極板雖非平行，但其間距很小，忽略邊緣效應.

圖1 非平行板電容器

設兩極板分別帶等量異號電荷±q，在兩板間距點O分別為r和r′處的場強分布分別為E和E′.由電荷分布的對稱性，在A，B的角平分面上，每一點的場強都與該面垂直，該面為等勢面.因此沿場強E和E′計算的電勢差相等，有

即

Erθ=E′r′θ

(10)

故

(11)

選取一個包圍A極板內表面的閉合高斯面cdefc，顯見，只有與電場線垂直的ef平面對所取高斯面的電場強度通量有貢獻，即

故由高斯定理

得

(12)

從而，得到

(13)

式(13)代入式(11)，得到非平行板電容器極板間的場強分布為

(14)

進而可得，此非平行板電容器極板間電勢差為

故求得此電容器的電容為

(15)

顯見，此電容器的電容除依賴于本身的形狀外，還與其相對位置及兩極板的交角等自身特征相關，而與其他條件無關，滿足電容器電容遵從的共性.

如果兩極板間最小距離為d，則當θ→0時，d=aθ；當b-a=L?a時，由ln(1+x)的冪級數展開式

從而式(15)可化為

(16)

式中Ll=S，為極板面積，由式(11)可知θ=0時，括號中第二項為零，則式(16)即退化為平板電容器的電容表達式.

若極板為正方形，即L=l，則有

(17)

與相關文獻結果一致[5].