莫 增 崔春雨

(陸軍軍醫(yī)大學(xué)基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院 重慶 400038)

史書杰

(中國解放軍76146部隊 廣西 桂林 541500)

1 引言

物理學(xué)是高等院校理工類專業(yè)的一門必修基礎(chǔ)課， 其中電磁學(xué)是其重要的組成部分. 由于電場分布不能被直接觀察，電場的概念十分抽象、難以理解，怎樣形象地描繪出電場矢量對于學(xué)生而言一直是個難題.因此，在電場的學(xué)習(xí)中不僅要求學(xué)生具有較高的邏輯思維能力和空間想象力，還要求教師會借助計算機等輔助工具進行三維構(gòu)圖將電場線等描繪出來，便于學(xué)生更直觀地理解電場矢量的相關(guān)理論.

隨著計算機技術(shù)的廣泛應(yīng)用，具有高效、可視化等優(yōu)點的科學(xué)計算軟件MATLAB近些年來廣為流行，把它應(yīng)用到電場教學(xué)中可將抽象的場可視化，可以使抽象的電磁場分布更加形象，從而幫助學(xué)生更好地理解場的概念和性質(zhì)[1].利用MATLAB的圖形功能繪制矢量線(電場線)和等勢線等，可以幫助學(xué)生更好地理解抽象的場[2].下面通過幾個典型的例子介紹MATLAB計算軟件在電場課程教學(xué)中的應(yīng)用，使學(xué)生更加直觀地理解電場的性質(zhì).

2 MATLAB建模

2.1 一對點電荷在二維平面內(nèi)電勢和電場強度分布

設(shè)電荷量分別為q1和q2的一對點電荷位于坐標軸的正反兩個方向,與原點的距離都為a,應(yīng)用電磁場理論可以求出這對點電荷在空間任一點產(chǎn)生的電勢U以及電場強度E.

應(yīng)用MATLAB編程，在GUI界面輸入這對點電荷的電荷量以及電荷間距，即可以得到電場及等勢面分布圖,如圖1(a)所示.其中：箭頭方向表示電場強度矢量線，閉合曲線表示等勢線，等勢線的疏密程度可表示電場強度大小.

通過圖1(a)可以得出二維平面上任一點的電勢和電場強度.距離正點電荷近的位置電勢高，距離負點電荷近的位置電勢低.

為了直觀地描繪一對電荷所在平面內(nèi)的電場強度大小，通過MATLAB編程，采用surf函數(shù)繪圖可以得到電場強度在平面內(nèi)的分布狀況,如圖1(b)所示.

圖1 平面內(nèi)點電荷電場強度和等勢面分布

特殊地，當q1+q2=0時，為電偶極子的電場分布.

2.2 均勻帶電球殼在二維平面內(nèi)電勢和電場強度分布

設(shè)電荷量為Q的均勻帶電球殼圓心為O，半徑為R,應(yīng)用電磁場理論可以求出均勻帶電球殼在空間任一點產(chǎn)生的電勢以及電場強度.由于均勻帶電球殼電荷分布具有球?qū)ΨQ性,所激發(fā)的電場也是球?qū)ΨQ的，所以用高斯定理比較簡單.設(shè)與球心距離為r的球面上電場強度大小為E，電勢為U.

根據(jù)高斯定理

取無窮遠處的電勢為零，取一條從P1開始的電場線作為微積分路徑，如圖2(a)所示，則P1的電勢為

r=R時，球殼外表面的電勢為

取一條從P2開始的電場線作為積分路徑，如圖2(b)所示，則P2的電勢為

圖2 均勻帶電球殼的電場在空間的分布

應(yīng)用MATLAB編程，在GUI界面輸入均勻帶電球殼的半徑，即可以得到電場及等勢面分布圖,如圖3(a)所示.其中箭頭方向表示電場強度矢量線，閉合曲線表示等勢線，除等勢線的疏密程度之外，箭頭的長短也可表示電場強度大小.

通過圖3(a)可以得出二維平面上任一點的電勢和電場強度.截面上的電場和電勢分布可以用來表示球殼的電場特征量.球殼表面及其內(nèi)部電勢處處相等，而球殼以外的電勢變化與球殼的電性有關(guān)，若球殼帶正電，則從球殼沿電場線往外電勢逐漸降低，若球殼帶負電，則從球殼沿電場線往外電勢逐漸升高[3].

為了直觀地描繪均勻帶電球殼截面所在平面內(nèi)的電場強度大小，通過MATLAB編程，采用三維建模的方法可以得到電場強度在平面內(nèi)的分布狀況，如圖3(b)所示.

圖3 平面內(nèi)帶電球殼電場強度和等勢面分布

2.3 三維空間內(nèi)均勻帶電圓環(huán)的電場強度分布

設(shè)線電荷密度為ρ的均勻帶電圓環(huán)圓心為O，半徑為a，R為A和B點之間的距離，應(yīng)用電磁場理論可以求出均勻帶電圓環(huán)在空間任一點產(chǎn)生的電場強度E[4].

圓環(huán)上一點電荷元產(chǎn)生的電勢

式中

如圖4所示，取A點的坐標為(x,y,z)，B點的坐標為(x1,y1,z1)，則有如下式

x1=acosθy1=asinθz1=0

則

可得出任一點的電勢

圖4 均勻帶電圓環(huán)的電場在空間的分布

應(yīng)用MATLAB編程，通過GUI界面輸入圓環(huán)半徑以及截面半徑，即可以得到電場強度分布圖,如圖5所示[5].其中：箭頭方向表示電場強度矢量線，其疏密程度表示電場強度的大小.通過圖5可以得出三維空間內(nèi)任一點的電場強度.從圓環(huán)中心沿圓環(huán)軸線向外，電場強度先增大后減小[6].

圖5 均勻帶電圓環(huán)的電場強度分布圖

2.4 三維空間內(nèi)均勻帶電桿及其復(fù)合體的電場強度分布

如圖6所示，設(shè)均勻帶電桿AB的線電荷密度為λ，由庫侖定律可知C點的電場

(1)

利用圖6中的微元關(guān)系dlsinα=rdα可以求得

(2)

(3)`

圖6 有限長均勻帶電細桿的電場疊加

對上面的微分表達式在線段AB上積分即可求得帶電細桿AB在點C處的電場強度表達式

(4)

(5)

建立如圖7所示的三維直角坐標系，取平行于水平邊向右為y軸正方向，垂直于紙面向外的方向為x軸的正方向，z軸垂直于xy平面向上.設(shè)帶電桿長為2l，位置與y軸重合并關(guān)于xOz平面對稱，場點P的坐標為(x,y,z)，其中

(6)

l1=l+y

(7)

l2=l-y

(8)

圖7 均勻帶電桿的電場在空間的分布

將式(6)、式(7)和式(8)代入式(4)和式(5)可得帶電桿AB在C點產(chǎn)生的場強在y方向和zx方向的分量分別為

(9)

(10)

由此可知此時帶電桿AB的電場在x和z方向的分布表達式

(11)

(12)

應(yīng)用MATLAB編程，在GUI界面輸入帶電桿的長度，即可以得到電場分布圖(圖8).黃色線表示均勻帶電桿及其復(fù)合體，藍色線表示電場強度矢量線[黃色、藍色在圖(a)中已標示出，圖(b)、(c)、(d)與(a)相同].

圖8 三維空間內(nèi)帶電桿及帶電桿復(fù)合體電場分布

通過圖8可以得出三維空間內(nèi)任一點的電場強度.當帶電桿帶正電荷時，距離帶電桿近的位置電勢高，距離帶電桿遠的位置電勢低，當帶電桿帶負電荷時，距離帶電桿近的位置電勢低，距離帶電桿遠的位置電勢高.

圖8從單桿模型推廣到多桿模型乃至四棱錐和四棱柱，使分析帶電桿復(fù)合體甚至不規(guī)則復(fù)雜帶電體的電場分布成為可能.

最后，我們制作了電場模擬程序的圖形化界面(圖9).通過改變物理模型的特征值，例如點電荷距離、帶電體長度等參數(shù)，可以改變電場演示效果，增強教學(xué)應(yīng)用的靈活性.

圖9 程序界面

3 結(jié)束語

本文采用MATLAB進行電磁場可視化教學(xué)，避免了繁瑣的數(shù)學(xué)計算，結(jié)合具體事例，著重介紹MATLAB繪制電場強度分布圖的應(yīng)用，將抽象的場形象、具體化，可有效地幫助學(xué)生更好地理解和掌握電磁場概念和性質(zhì)，幫助教師改善電磁場章節(jié)的教學(xué)效果，為電磁學(xué)的教學(xué)研究開辟一條新的途徑.