湖北

許 文

學(xué)習(xí)中防止錯誤，才能取得進步。認(rèn)識每一道錯題背后可能隱藏著的知識上的疏漏、理解上的偏差，透過錯誤表象看到其本質(zhì)，往往比正確的做出一道題收效更大。本文分析天體運動中的易錯問題，幫助同學(xué)們利用錯題寶庫來提升復(fù)習(xí)效能。

一、因亂套公式致錯

【例1】空間站是一種在近地軌道長時間運行，可供多名航天員巡訪、長期工作和生活的載人航天器。如圖1所示，某空間站在軌道半徑為R的近地圓軌道Ⅰ上繞地球運行，一宇宙飛船與空間站對接檢修后再與空間站分離，分離后空間站仍在軌道Ⅰ上圍繞地球運行，分離時宇宙飛船依靠自身動力裝置在很低短的距離內(nèi)加速，進入橢圓軌道Ⅱ上運行。已知橢圓軌道的遠(yuǎn)地點到地心的距離為 3.5R，地球質(zhì)量為M，萬有引力常量為G。則分離后飛船在橢圓軌道上至少運行多長時間才有機會與空間站進行第二次對接？

圖1

飛船所在橢圓軌道的半長軸：

則飛船在軌道Ⅱ上運動的周期：

設(shè)再次對接所需至少時間為t，空間站比飛船多運行一周，則有：

飛船和空間站須同時到達(dá)橢圓軌道的近地點才能進行對接，故至少所需時間t應(yīng)為T1、T2的最小公倍數(shù)，即t=27T1

二、因受力分析不清致錯

【例2】西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用“長征三號丙”運載火箭，成功將第十一顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星送入了太空預(yù)定軌道。這是一顆地球同步衛(wèi)星，若衛(wèi)星離地心距離為r，運行速率為v1，加速度為a1，地球赤道上待發(fā)衛(wèi)星隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a2，第一宇宙速度為v2，地球半徑為R，則下列關(guān)系式正確的是 ( )

【錯因】以上錯解的原因在于混淆赤道上待發(fā)衛(wèi)星、近地衛(wèi)星及同步衛(wèi)星的區(qū)別。它們的受力情況不同，近地衛(wèi)星與同步衛(wèi)星只受地球的萬有引力作用，做圓周運動的向心力由萬有引力提供；而地球赤道上的待發(fā)衛(wèi)星除受地球的萬有引力作用外，還受到地面的支持力，由這兩個力的合力提供做圓周運動的向心力。

【答案】AD

【感悟】赤道上的物體、近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星之間的區(qū)別如下表。

比較內(nèi)容赤道表面物體1近地衛(wèi)星2同步衛(wèi)星3受力分析萬有引力與彈力萬有引力向心力來源F引-FN=F向F引=F向重力GG=FN< F引G=F引線速度vv1=ω1Rv2=GMRv3=ω3(R+h)=GMR+hv1

續(xù)表

三、因運動分析不清致錯

【例3】如圖2所示為某天體系統(tǒng)的模型圖。圖中a為恒星，b、c為繞a運行的雙行星，在它們的相互引力的作用下繞它們的共同質(zhì)量中心O做圓周運動。已知O、a間的距離遠(yuǎn)大于b、c間的距離，b、c繞O點做圓周運動的周期為T，O點繞a做圓周運動的周期為2T，繞行方向均為逆時針方向。當(dāng)a、b、c共線且c在a、b之間時，b上出現(xiàn)a的“全食”。以下說法中正確的是 ( )

圖2

A．b、c的總質(zhì)量一定小于a的質(zhì)量

B．b、c繞O點運行的角速度可能等于O點繞a運行的角速度

C．連續(xù)兩次“a全食”的時間間隔是T

D．連續(xù)兩次“a全食”的時間間隔是2T

【錯解】b、c雙星系統(tǒng)在與a間的萬有引力作用下繞a運行，b、c雙星系統(tǒng)與a之間的萬有引力大小相等，不能判斷b、c的總質(zhì)量與a的質(zhì)量的大小關(guān)系；在圖示位置b上出現(xiàn)a的“全食”， 由于b、c繞O點做圓周運動的周期為T，經(jīng)歷時間T，b、c系統(tǒng)的相對位置回到原位置，故連續(xù)兩次“a全食”的時間間隔是T。選C。

【錯因】以上錯解的原因是對運動情況分析不清。(1)a、b、c三星系統(tǒng)中的b、c子系統(tǒng)質(zhì)量中心O與a均繞三星系統(tǒng)的質(zhì)心做圓周運動，但題給出“a為恒星”，又“O、a間的距離遠(yuǎn)大于b、c間的距離”，故a到三星系統(tǒng)的質(zhì)心的距離很小，相對b、c子系統(tǒng)，a的質(zhì)量應(yīng)很大；(2)b、c繞O點做圓周運動的同時，還要考慮到O點也在繞a點做圓周運動，因此b、c也在繞a點轉(zhuǎn)動。

【答案】AD

【感悟】本題中b、c組成一個雙星小系統(tǒng)，b、c的質(zhì)心O與a又組成一個雙星大系統(tǒng)(三星系統(tǒng))。如圖3所示，雙星系統(tǒng)模型有以下特點：

圖3

(2)兩顆星的繞行方向、周期及角速度都相同，即：T1=T2，ω1=ω2；

(3)兩顆星的半徑與它們之間的距離關(guān)系為：r1+r2=L；

四、因模型建立不清致錯

【例4】1772年，法籍意大利數(shù)學(xué)家拉格朗日在論文《三體問題》指出：兩個質(zhì)量相差懸殊的天體(如太陽和地球)所在同一平面上有5個特殊點，如圖4中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人們稱為拉格朗日點．若飛行器位于這些點上，會在太陽與地球共同引力作用下，可以幾乎不消耗燃料而保持與地球同步繞太陽做圓周運動。若發(fā)射一顆衛(wèi)星定位于拉格朗日L2點，下列說法正確的是 ( )

圖4

A．該衛(wèi)星繞太陽運動周期和地球自轉(zhuǎn)周期相等

B．該衛(wèi)星在L2點處于平衡狀態(tài)

C．該衛(wèi)星繞太陽運動的向心加速度大于地球繞太陽運動的向心加速度

D．該衛(wèi)星在L2處所受太陽和地球引力的合力比在L1處大

【錯解】該衛(wèi)星在L1、L2、L3、L4、L5這些拉格朗日點上，在太陽與地球的引力共同作用下，可以幾乎不消耗燃料而繞太陽運動，因此該衛(wèi)星在L2點相對太陽與地球處于平衡狀態(tài)，合力為零；選B。

【錯因】以上錯解的原因是衛(wèi)星在這些拉格朗日點的運動模型建立不清。衛(wèi)星在拉格朗日點上，受太陽與地球的引力共同作用，與地球同步繞太陽做圓周運動。衛(wèi)星在運動過程中與太陽、地球的相對位置保持不變。而物體在做勻速圓周運動時由合力提供向心力，是一種非平衡狀態(tài)。

【正解】該衛(wèi)星在這些拉格朗日點上保持與地球同步繞太陽做圓周運動，因此該衛(wèi)星圓周運動的角速度、周期與地球繞太陽公轉(zhuǎn)的角速度、周期相等；衛(wèi)星由太陽與地球引力的合力提供向心力；該衛(wèi)星在L2處繞太陽運動的半徑較地球運動的半徑大，由a=ω2r知該衛(wèi)星的向心加速度較大；該衛(wèi)星在L1點與L2點比較，做圓周運動的角速度相等，但在L2處圓周運動的半徑較大，由F合=F向=mω2r知，該衛(wèi)星在L2處受到的合力較大。

【答案】CD

五、因變軌實質(zhì)不清致錯

【例5】如圖5所示，為了探測某未知星球，探測飛船載著登陸艙先在橢圓軌道Ⅰ上運行，在Q點變速后先進入橢圓軌道Ⅱ運行，再順利進入圓軌道Ⅲ繞星球運行，展開對該星球的探測，則關(guān)于探測飛船 ( )

圖5

A．在軌道Ⅱ上運動到P點的速率小于在圓軌道Ⅲ上運動速率

B．在軌道Ⅱ上運動到Q點的加速度小于在圓軌道Ⅲ上的加速度

C．從軌道Ⅱ上變軌到軌道Ⅲ上運動，必須在Q點減速

D．在軌道Ⅰ上運行的機械能最大

【錯解】探測飛船在軌道Ⅱ上從Q點到P點的運動過程是減速運動，因此vP

【錯因】以上錯解的原因是對航天器變軌的實質(zhì)不清所致。探測飛船由橢圓軌道Ⅰ變到橢圓軌道Ⅱ、由橢圓軌道Ⅱ變到圓軌道Ⅲ，都應(yīng)在Q點瞬間適當(dāng)減速，才能實現(xiàn)以上的變軌運動。

【答案】CD

六、因數(shù)學(xué)變換不徹底漏解

【例6】用m表示地球的通訊衛(wèi)星(同步衛(wèi)星)的質(zhì)量，h表示離地面的高度，用R表示地球的半徑，g表示地球表面的重力加速度，ω表示地球自轉(zhuǎn)的角速度，則通訊衛(wèi)星所受的地球?qū)λ娜f有引力的大小為 ( )

由萬有引力充當(dāng)向心力得：F=mω2(R+h) (4)

選BC。

【原因】以上漏解的原因是數(shù)學(xué)變換不徹底所致。衛(wèi)星受到的萬的引力提供向心力，而向心力可以有多種表達(dá)。因此，應(yīng)結(jié)合具體的已知條件，進行有效的數(shù)學(xué)變換。

【正解】在以上漏解的基礎(chǔ)上，將(4)式兩邊平方后與第(3)式相乘，可以消去h，得：

【答案】BCD