云南

蔣金團(tuán)

幾何光學(xué)一直是高考中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生往往在幾何關(guān)系上束手無(wú)策，此時(shí)可借助費(fèi)馬原理尋找思路。費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，由此原理可證明光在均勻介質(zhì)中傳播時(shí)遵從的直線傳播定律、反射和折射定律，以及傍軸條件下透鏡的等光程性等。光的可逆性原理是幾何光學(xué)中的一條普遍原理，該原理為，若光線在介質(zhì)中沿某一路徑傳播，當(dāng)光線沿反向傳播時(shí)，必沿同一路徑逆向傳播。費(fèi)馬原理規(guī)定了光線傳播的唯一可實(shí)現(xiàn)的路徑，不論光線正向傳播還是逆向傳播，必沿同一路徑。因而借助于費(fèi)馬原理可說(shuō)明光的可逆性原理的正確性。光在任意介質(zhì)中從一點(diǎn)傳播到另一點(diǎn)時(shí)，沿所需時(shí)間最短的路徑傳播。正因?yàn)橘M(fèi)馬原理指定了光的傳播路徑是唯一的，很多光學(xué)題暗藏的各種技巧在費(fèi)馬原理照射之下都是無(wú)所遁形的。

【例1】(2011年·全國(guó)卷第34題)一半圓柱形透明物體橫截面如圖1所示，底面AOB鍍銀，O表示半圓截面的圓心，一束光線在橫截面內(nèi)從M點(diǎn)入射，經(jīng)過(guò)AB面反射后從N點(diǎn)射出。已知光線在M點(diǎn)的入射角為30°，∠MOA=60°，∠NOB=30°。求：

圖1

(1)光線在M點(diǎn)的折射角；

(2)透明物體的折射率。

【官方解答】(1)如圖2所示，透明物體內(nèi)部的光路為折線MPN，Q、M點(diǎn)相對(duì)于底面EF對(duì)稱(chēng)，Q、P和N三點(diǎn)共線。設(shè)在M點(diǎn)處，光的入射角為i，折射角為γ，∠OMQ=α,∠PNF=β,根據(jù)題意有α=30° ①

由幾何關(guān)系得，∠PNO=∠PMO=γ

于是β+γ=60° ②

且α+γ=β③

由①②③式得γ=15° ④。

圖2

(2)根據(jù)折射率公式有sini=nsinγ⑤

這道題的最大特點(diǎn)是淺入深出，考生畫(huà)出半圓內(nèi)部的光路圖之后再寫(xiě)出折射定律相關(guān)表達(dá)式，這是難度不大的事，所以得零分很不容易，但是要想快速求出M點(diǎn)處的折射角并非易事，命題者將半圓補(bǔ)成圓，把反射光線反向延長(zhǎng)與圓相交，作出入射點(diǎn)的鏡像點(diǎn)，巧妙利用入射光線和反射光線的對(duì)稱(chēng)性以及圓的對(duì)稱(chēng)性來(lái)尋找?guī)缀侮P(guān)系，這種靈活性的設(shè)計(jì)對(duì)只有中等思維品質(zhì)的學(xué)生確實(shí)是一個(gè)大的挑戰(zhàn)，甚至是無(wú)從下手。當(dāng)年的統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明這道題的難度系數(shù)是0.17，難度確實(shí)不小。既然大多數(shù)考生對(duì)對(duì)稱(chēng)性的運(yùn)用不順手，那么有更實(shí)用的方法突破這個(gè)關(guān)卡嗎？有，它就是費(fèi)馬原理。由題意知，光線從M點(diǎn)經(jīng)反射到N點(diǎn)時(shí)，入射點(diǎn)和出射點(diǎn)的坐標(biāo)是確定的，根據(jù)費(fèi)馬原理，光沿最短路徑傳播，路徑也是確定的，這說(shuō)明光線打在底部上的點(diǎn)是確定的，只要用入射光線和反射光線斜率的大小相等確定出該點(diǎn)的坐標(biāo)，所有的問(wèn)題都迎刃而解。

由兩點(diǎn)間的距離公式得

在△MOP中，由余弦定理得

xP2=R2+MP2-2RMPcosγ③

圖3

(2)第二問(wèn)同官方解答。

圖4

【例2】(2017年·全國(guó)卷Ⅱ第34題)一直桶狀容器的高為2L，底面是邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形；容器內(nèi)裝滿某種透明液體，過(guò)容器中心軸DD′、垂直于左右兩側(cè)面的剖面圖如圖4所示。容器右側(cè)內(nèi)壁涂有反光材料，其他內(nèi)壁涂有吸光材料。在剖面的左下角處有一點(diǎn)光源，已知由液體上表面的D點(diǎn)射出的兩束光線相互垂直，求該液體的折射率。

【官方解答】設(shè)從光源發(fā)出直射到D點(diǎn)的光線的入射角為i1，折射角為r1，在剖面內(nèi)作光源相對(duì)于反光壁的鏡像對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連接CD，交反光壁于E點(diǎn)，由光源射向E點(diǎn)的光線，反射后沿ED射向D點(diǎn)；光線在D點(diǎn)的入射角為i2，折射角為r2，如圖5所示。

圖5

設(shè)液體的折射率為n，由折射定律得

nsini1=sinr1①，nsini2=sinr2②

根據(jù)題意r1+r2=90° ③

聯(lián)立④⑤⑥解得n=1.55。

這道題與例1如出一轍，官方的解答都是先作出反射光線的反向延長(zhǎng)線之后得到一個(gè)鏡像點(diǎn)，再利用對(duì)稱(chēng)性尋找?guī)缀侮P(guān)系。似乎是歷史重演，筆者和考生交流時(shí)，很多考生依然想不到這條重要反向延長(zhǎng)線，太過(guò)靈活的方法未必適合所有學(xué)生，接下來(lái)，筆者仍選擇費(fèi)馬原理作為避開(kāi)對(duì)稱(chēng)性的突破口。

【筆者解答】如圖6所示，以底部的O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，由已知條件可得

圖6

設(shè)液體的折射率為n，由折射定律得

nsini1=sinr1③，nsini2=sinr2=cosr1④