王有利

摘 要：本文以積分的產(chǎn)生與發(fā)展作為切入點， 介紹了積分的性質(zhì)， 論述了積分在數(shù)列求和中的應(yīng)用，拓寬積分的應(yīng)用范圍. 通過幾個例子， 一方面解決積分在求和中計算的方法， 另一方面舉例積分在不同學科內(nèi)的應(yīng)用， 如求極值問題， 幾何應(yīng)用，經(jīng)濟學應(yīng)用， 闡明積分的重要性和應(yīng)用的廣泛性。

關(guān)鍵詞：微積分 數(shù)列求和 求和

一、問題研究的背景

數(shù)學是一門應(yīng)用性極強的學科， 積分學及其應(yīng)用作為高等數(shù)學的一個分支， 在現(xiàn)實應(yīng)用中的意義就更為顯著。它不僅是一門重要的數(shù)學分支， 而且在物理學， 生物學， 經(jīng)濟學等領(lǐng)域及各種工程學科中有著極其重要的應(yīng)用。

微積分是世界近代數(shù)學的重要內(nèi)容， 也是近代數(shù)學進一步發(fā)展和拓展的重要基礎(chǔ)。微積分思想的萌芽出現(xiàn)得比較早， 中國戰(zhàn)國時代的《 莊子 天下》 篇中的" 一尺之棰， 日取其半， 萬事不竭" ， 就蘊涵了無窮小的思想。古希臘數(shù)學家阿基米德在公元前三世紀運用杠桿原理推導出了球體的體積公式， 就包含了定積分的基本原理。之后， 帕斯卡在求曲邊圖形的面積時， 用到了“無窮小矩形”的思想并把無窮小概念引入數(shù)學， 為后來萊布尼茨的微積分的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。

積分求和是伴隨著微積分學一起發(fā)展起來的學科。 1686年， 萊布尼茨又發(fā)表了他的第一篇積分學論文《深奧的幾何與不可分量及無限的分析》， 初步論述積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關(guān)系。在這篇論文中， 積分號第一次出現(xiàn)在出版物上。積分求和有著深刻而生動的實際背景， 它從生產(chǎn)實踐與科學技術(shù)中產(chǎn)生， 又成為現(xiàn)代科學技術(shù)中分析問題與解決問題的一個強有力的工具。積分求和成為了有自己的目標和方法的新的數(shù)學分支。

近年來， 國內(nèi)外學者對積分求和做了許多研究， 無論是在深度還是廣度方面都取得了重大發(fā)展。 積分求和在理論和實踐過程中起著非常重要的作用。

二、本文的主要工作

第一部分給出積分的一些相關(guān)性質(zhì)， 這些性質(zhì)將為我們對積分在求和問題中的研究奠定基礎(chǔ)。

第二部分利用積分的一般理論來找尋積分在求和應(yīng)用中的例子。

第三部分利用積分性質(zhì)， 逐步延深到積分在求和中的應(yīng)用。

三、預備知識

首先引入了一些性質(zhì)， 并再借助這些性質(zhì)簡要介紹了本研究領(lǐng)域的發(fā)展現(xiàn)狀及相關(guān)結(jié)論。

通過上述三例說明， 積分在不同學科內(nèi)的應(yīng)用， 是一種較好的解題方法， 同時， 也使我們認識到積分與其他學科之間的內(nèi)在聯(lián)系。