胡彬

各地高考對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)主觀題的考查，題型都比較固定.一般文科題考查統(tǒng)計(jì)與古典概型的交匯，理科題考查統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)事件的概率、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的交匯.

一、分層抽樣與古典概型的交匯

例1 2015年10月，國(guó)家出臺(tái)了準(zhǔn)備放開(kāi)二孩的相應(yīng)政策，定于2016年1月1日起正式實(shí)施，一時(shí)間“放開(kāi)生育二孩”的消息引起社會(huì)的廣泛關(guān)注，為了解某地區(qū)社會(huì)人士對(duì)“放開(kāi)生育二孩政策”的看法，某計(jì)生局在該地區(qū)選擇4000人進(jìn)行調(diào)查（若所選擇的已婚人數(shù)低于被調(diào)查總數(shù)的78%，則認(rèn)為本次調(diào)查“失效”），就“是否放開(kāi)生育二孩”的問(wèn)題，調(diào)查統(tǒng)計(jì)的結(jié)果如下表：

已知在全體樣本中隨機(jī)抽取1人，抽到持“不放開(kāi)”態(tài)度的人的概率為0.08.

（I）現(xiàn)用分層抽樣的方法在所有參與調(diào)查的人中抽取420人進(jìn)行深入訪談，問(wèn)：應(yīng)在持“無(wú)所謂”態(tài)度的人中抽取多少人？

（Ⅱ）已知y≥657，z≥55，求本次調(diào)查“失效”的概率，

分析 持“不放開(kāi)”態(tài)度的人的概率為0.08，是解答第一問(wèn)的突破口，利用這個(gè)突破口可求出x.第二問(wèn)中的“y≥657，z≥55”是用來(lái)確定基本事件空間中基本事件的條件，而本次調(diào)查“失效”指的是2200+200+y<4 000x0.78.由此推出y<720，用以確定本次調(diào)查“失效”這一事件中的基本事件.

參考答案 （I）84人.（Ⅱ）63/89.

小結(jié) 分層抽樣問(wèn)題的解題關(guān)鍵是抓住樣本間的比例關(guān)系，一般的解答思路是先確定樣本容量與總體容量的比值，再利用這一比值從各層中抽取個(gè)體.

求解古典概型問(wèn)題，最重要的是確定基本事件空間中基本事件的個(gè)數(shù)，特別是基本事件比較多的情況下，不可漏數(shù)，也不可無(wú)故添加.許多情況下可以借助平面直角坐標(biāo)系以及樹(shù)狀圖來(lái)確定基本事件的個(gè)數(shù)，

二、頻率分布直方圖、獨(dú)立性檢驗(yàn)與古典概型的交匯

例2 電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有55名，右圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖.

將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性.

（I）根據(jù)已知條件完成下面的2x2列聯(lián)表，并據(jù)此資料判斷是否有95%的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān).

（Ⅱ）將日均收看該體育節(jié)目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級(jí)體育迷”，已知“超級(jí)體育迷”中有2名女性，若從“超級(jí)體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率.

分析 由頻率分布直方圖可得“體育迷”的人數(shù)，從而可以完成第一問(wèn)，進(jìn)而判斷是否有95%的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān).解答第二問(wèn)要從頻率分布直方圖中獲取“超級(jí)體育迷”的人數(shù)，從而確定基本事件，

沒(méi)有95%的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān).

（Ⅱ）7/10.

小結(jié) 解答這一類型題的易錯(cuò)點(diǎn)：①在觀察與運(yùn)用頻率分布直方圖時(shí)，忽視頻率分布直方圖中縱軸標(biāo)志是頻率/組距；②K2的計(jì)算不準(zhǔn)確；③“超級(jí)體育迷”人數(shù)的計(jì)算；④列舉出所有可能的結(jié)果時(shí)重復(fù)或遺漏某一種情況.考生在解答統(tǒng)計(jì)問(wèn)題時(shí)，常在類似③和④處出錯(cuò)，應(yīng)引起重視.

三、分層抽樣、頻率分布表與離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的交匯

例3 某大型企業(yè)食堂為響應(yīng)“光盤行動(dòng)”，倡導(dǎo)大家珍惜糧食，吃光盤子中的食物，得到企業(yè)廣大干部職工的支持.某校的幾位同學(xué)組成研究性學(xué)習(xí)小組，從該企業(yè)25-55歲的人群中隨機(jī)抽取n人進(jìn)行了一次調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)表：

（I）求a，b，并估計(jì)該企業(yè)25-55歲的人群中“光盤族”所占的比例.

（Ⅱ）從年齡段在[35，40）與[40，45）的“光盤族”中，采用分層抽樣方法抽取8人參加節(jié)約糧食宣傳活動(dòng)，并從這8人中選取2人作為領(lǐng)隊(duì).

（i）已知選取的2人中1人來(lái)自年齡段在[35，40）中的前提下，求另一人來(lái)自年齡段[40，45）中的概率；（ii）求2名領(lǐng)隊(duì)的年齡之和的期望值（每個(gè)年齡段以中間值計(jì)算）.

分析 對(duì)第一問(wèn)可選取題設(shè)所給頻率分布表中第1，2，3，4，6組中的任何一組中的頻數(shù)與頻率來(lái)確定總體人數(shù)n，抓住頻率值的和為1，求出b，進(jìn)而求出a.對(duì)第二問(wèn)需注意最后給出的提示“每個(gè)年齡段以中間值計(jì)算”，用以確定2名領(lǐng)隊(duì)的年齡之和為隨機(jī)變量ξ，ξ的取值為75，80，85.由此可準(zhǔn)確落實(shí)分布列，再求期望.

參考答案 （I）a=300，b=0.30，樣本中“光盤族”所占的比例為52%.

（Ⅱ）（i）5/6.（ii）81.25.

小結(jié) 題設(shè)所給頻率分布表中包含的信息為我們完善頻率分布表提供了依據(jù)，而分層抽樣所得數(shù)據(jù)為我們計(jì)算事件概率及隨機(jī)變量相應(yīng)的概率提供了數(shù)據(jù)依據(jù)，真是一環(huán)扣一環(huán).