☉江蘇省江安高級中學 黃建鋒

說題是數學教研活動的一種重要載體，相比以往的解題，說題更為深刻地反映了對試題的理解、知識的運用，更為本質地思考以及深入研究后續(xù)考查點.可以這么說，說題形態(tài)漸漸成為各地教育主管部門考查教師的重要形式.如何說題呢？筆者以為從多個方面進行思考：首先，說解法；其次，說規(guī)律；最后，說思想和本質.

問題：非零向量a，b滿足|a|=|b|=a·b=2，且（a-c）·（b-2c）=0，求|b-c|最小值.

一、說解法

本題是向量綜合性問題，需要從綜合性角度思考.試想，向量問題的主要入手方向是什么？根據向量的兩要素——長度和方向，其入手方向自然是代數和幾何.因此可以從不同的角度去探索基本解法.

解法1：不少學生對于向量的學習基本處在一維思維模式狀態(tài)，即用“一維”數的眼光在看待“二維”向量的問題，因此其往往不可避免地陷入運算之中，即代數法的運用.不能說代數法不好，只是代數法在解決綜合性問題時其優(yōu)勢相對較少.比如，學生往往喜歡這樣解決：出發(fā)，利用（b-c）的構造，即0=（a-c）·

這是自由向量的構造，前提是整體性思想較為突出，并且對自由向量數量積運算有一定的要求.

解法2：不難發(fā)現，本題給出的兩個向量滿足夾角是60°，且模長已經給定，因此學生頭腦中對其有更為簡捷的代數方式——坐標向量，這是很多學生喜歡的向量求解方式.如圖1，建立直角坐標系，設=c=（x，y），得a-c=（2-x，-y），b-2c=（1-2x，-2y），由（a-c）·（b-2c）=0，得（2-x）（1-2x）+（-y）（

圖1

|b-c|2=.坐標法簡單易操作，更注重向量代數性的工具，需要扎實的運算能力以及各種知識的綜合性運用能力.

圖2

解法3：從向量另一重要特性出發(fā)，其必有幾何解法.對條件分析可知，向量a，b滿足夾角60°，問題就圍繞向量a，b，c建構圖形解決.如圖2，設a-c.由題意可知即∠ACD=90°，則點C的軌跡是以Q為圓心，以AD為直徑的圓上的點.又|b-c|=||，問題轉化為定點B與圓上動點C的最值.至此，問題已到達學生能認知的模式，|b-c|最小值為BQ-r.給出計從圖形結構的角度入手，顯然是對向量條件的圖形化構造，這里垂直關系往往要結合平面幾何中圓的相關知識，利用向量幾何特征解決問題更有思維意義，也是考試命題的重要方向.

二、說規(guī)律

近年來，向量在中學數學中的地位愈來愈重要，向量問題的考查難度也在逐步加深，學生對向量的理解、教師對向量的教學難度也在不斷上升，因此要通過問題將向量教學呈現出一定的規(guī)律性，從而獲得向量教學更好的方式.

從向量在中學數學中的內容來看，其知識點主要呈現在：向量的概念—向量的加減法—向量的數乘—向量基本定理—數量積.在學習過程中呈現規(guī)律性的始終是兩點：代數的運算方式或者幾何圖形的建構方式.這兩點既是問題的本質所在，又體現了向量工具性的特征.從幾何圖形的角度來說，向量教學的規(guī)律主要是挖掘平面幾何的意義，這也是問題解決的關鍵，將平面幾何與向量幾何特征緊密聯(lián)系起來，問題的解決便是水到渠成的事.

變式1：非零向量a≠e，|e|=1，對任意t∈R，恒有|ate|≥|a-e|，則e·（a-e）=______.

圖3

規(guī)律：從幾何角度來說，這樣的問題往往涉及平面幾何中最基本的一個知識——“點到直線的距離垂線段最短”，若沒有結合圖形思考，學生往往通過代數的大量運算求解.從圖3來看，不難發(fā)現垂線段最短這一幾何規(guī)律，顯然e⊥（a-e），因此數量積為0.類似的問題數不勝數.如果從代數規(guī)律中尋找，勢必離不開一定的運算：由|a-te|≥|a-e|，兩邊平方，得t2-2（a·e）t+2a·e-1≥0，對任意t∈R恒成立，只要Δ=4（a·e）2-4（2a·e-1）≤0即可，所以Δ=4（a·e）2-4（2a·e-1）=4［（a·e）2-2a·e+1）］=4［（a·e-1）2］≤0，得（a·e-1）2≤0?a·e=1，顯然此時的e·（a-e）=e·a-e2=0.

變式2： 設e1，e2為單位向量，非零向量b=xe1+ye2，x，

圖4

規(guī)律：將問題稍加改變，思考“點到直線的距離垂線段最短”如何運用.不妨設x≠0，結合平行四邊形法則（如圖4），的最大值為2.問題依舊在尋找?guī)缀我?guī)律——垂線段最短，盡管有干擾元素x、y，但是其問題的規(guī)律性依舊，當然本題也可以從代數規(guī)律思考：b2=|b|2=（xe1+ye2）2=x2+y2+的最大值為2.

這里的兩道變式題說的是問題的統(tǒng)一規(guī)律，即找到幾何特征的規(guī)律，與本文中的原題相比，筆者認為幾何特征的規(guī)律性更為重要一些，尋找問題的共性是說題的根本所在，也是近年來考試命題的方向所在，其比代數運算更重要.

三、說思想

向量問題解決的數學思想是什么？筆者以為主要是一個思想方法，即數形結合思想.數形結合思想在向量中的運用有兩層含義，其一是以數解形，再者是以形輔數.向量試題恰恰是兩方面的重要反映，緊緊抓住數形結合思想這兩方面的立意，對于向量問題的解決有著重要作用.

圖5

思路2：可以從＜a-c，b-c＞=60°及數量積出發(fā)，利用基本不等式求|c|的最值.由題意|a+b|=1，由（a-c）·（b-c）=結合上述兩式：a·b-（a+b）·c+|c2|≤［1-（a+b）·c+|c|2］，化簡，得|c|2≤2+（a+b）·c≤2+|a+b·||c|=2+|c|，得|c|2-|c|-2≤0?|c|≤2，即最大模長為2.

我們發(fā)現，向量問題的解決離不開數形結合思想，本文從問題開始到變式，以及改編，始終圍繞數形結合思想的兩條主線進行：以數如何解形？以形如何輔數？在說題過程中，至始至終圍繞明確的數學思想將問題呈現出來，是說題的基本思想，另一方面我們要將向量問題的本質領會清楚：即向量問題的解法本質在于找到合適的圖形建構或者是代數化的機械運算，這兩大本質特性成為向量工具性最好的詮釋.

說題是一個重要的教學形態(tài)，是教師不斷優(yōu)化問題解法的重要方式，筆者以為教師要提升自身綜合素養(yǎng)、提升自身的解題水平，多參與這樣的說題嘗試，對于教師專業(yè)化的提升有重要的幫助.一個題就是多個知識點的整合，說好一個題，勢必要厘清各種知識的內在聯(lián)系以及整理解決問題的規(guī)律性的東西，摸索其背后的數學思想方法，甚至還能融會貫通的改編一些原創(chuàng)問題，長此以往就能獲得“一個世界”，正所謂一題一世界，知識相連接.