☉江蘇省蘇州市吳江區(qū)汾湖高級(jí)中學(xué) 張麗琴

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算知，三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，而二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，因此以三次函數(shù)為問題背景的高考題已經(jīng)成為高考命題的高頻考點(diǎn)之一.這就更需要我們多加研究，以便了解和掌握三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，總結(jié)相應(yīng)的解題規(guī)律，拓展思維.同一數(shù)學(xué)問題，從多方位、多角度、多層次入手，就會(huì)得到多種解題思路和方法，從而提高對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，同時(shí)也提升數(shù)學(xué)解題能力，培養(yǎng)優(yōu)良的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【例題】（某市2018屆月考）若函數(shù)f（x）=（1-x）（x2+ax+b）的圖像關(guān)于圖上點(diǎn)（-2，0）對(duì)稱，x1，x2分別是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)，則x1-x2=______.

分析：解決本題的基本思路是根據(jù)題目中的對(duì)稱條件確定函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)研究其極值點(diǎn).而如何快捷地求解出參數(shù)a、b的值，從而確定函數(shù)f（x）的解析式是解決問題的關(guān)鍵.

思維方向1：通過對(duì)函數(shù)f（x）的一次求導(dǎo)與二次求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（-2，0）對(duì)稱，利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用可得f″（-2）=0且f（-2）=0，構(gòu)建方程組，進(jìn)而確定參數(shù)a、b的值.二次求導(dǎo)是比較難想到的，但處理起來方便快捷，是本題的切入點(diǎn).

解法1（導(dǎo)數(shù)應(yīng)用法）：函數(shù)f（x）=（1-x）（x2+ax+b）=-x3+（1-a）x2+（a-b）x+b，

而f′（x）=-3x2+2（1-a）x+（a-b），f″（x）=-6x+2（1-a）.

又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=（1-x）（x2+ax+b）的圖像關(guān)于點(diǎn)（-2，0）對(duì)稱，

則有f（x）=（1-x）（x2+7x+10），

則f′（x）=-3（x2+4x+1）.

令f′（x）=0，

思維方向2：根據(jù)函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（-2，0）對(duì)稱，得到恒等式f（-2+x）+f（-2-x）=0，結(jié)合特殊值賦值來構(gòu)建方程組，進(jìn)而確定參數(shù)a、b的值.計(jì)算略顯繁瑣，但由恒等式可以根據(jù)所需來建立相應(yīng)的方程，方便處理.

解法2（特殊值法）：由于函數(shù)f（x）=（1-x）（x2+ax+b）的圖像關(guān)于點(diǎn)（-2，0）對(duì)稱，

則有f（-2+x）+f（-2-x）=0成立.

不妨取特殊值x=1和x=2，可得對(duì)應(yīng)的方程組，解得a=7，b=10.

則有f（x）=（1-x）（x2+7x+10），

則f′（x）=-3（x2+4x+1），

令f′（x）=0，

思維方向3：通過函數(shù)f（x）求導(dǎo)，那么函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)x1與極小值點(diǎn)x2關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，同時(shí)f′（x）的兩零點(diǎn)x1，x2關(guān)于導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖像的對(duì)稱軸對(duì)稱，構(gòu)建方程組，進(jìn)而確定參數(shù)a、b的值.巧妙抓住原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像之間的關(guān)系加以處理，數(shù)形結(jié)合，方便快捷.

解法3（原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)關(guān)系法）：由f（x）=（1-x）（x2+ax+b）可得f′（x）=-3x2+2（1-a）x+（a-b），

而函數(shù)f（x）=（1-x）（x2+ax+b）的圖像關(guān)于點(diǎn)（-2，0）對(duì)稱，

那么函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)x1與極小值點(diǎn)x2關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，

又x1，x2是導(dǎo)函數(shù)f′（x）=-3x2+2（1-a）x+（a-b）的兩個(gè)不等零點(diǎn)，那么x1，x2關(guān)于對(duì)稱軸直線x=-2對(duì)稱，則有

又對(duì)稱點(diǎn)（-2，0）在函數(shù)f（x）的圖像上，

則有f（-2）=3（4-2a+b）=0，

聯(lián)立解得a=7，b=10，

則有f（x）=（1-x）（x2+7x+10），

則f′（x）=-3（x2+4x+1），

令f′（x）=0，

余略.

思維方向4：通過函數(shù)f（x）=（1-x）（x2+ax+b）的解析式特點(diǎn)可以確定f（x）有一零點(diǎn)1，結(jié)合函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（-2，0）對(duì)稱，則知必存在一個(gè)零點(diǎn)與零點(diǎn)1關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，得到x=-5是方程x2+ax+b=0的一個(gè)根，再結(jié)合對(duì)稱性確定方程的另一個(gè)根，通過系數(shù)對(duì)比確定參數(shù)a、b的值.本解法思維巧妙，容易理解，且處理起來也比較簡(jiǎn)單.

解法4（函數(shù)零點(diǎn)法）：由函數(shù)f（x）=（1-x）（x2+ax+b），可以確定f（x）有一零點(diǎn)1，

又函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（-2，0）對(duì)稱，那么零點(diǎn)1關(guān)于x=-2的對(duì)稱值-5也是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，即x=-5是方程x2+ax+b=0的一個(gè)根，而方程x2+ax+b=0有兩個(gè)根，則知另一個(gè)根為x=-2（根據(jù)對(duì)稱性知，零點(diǎn)必成雙出現(xiàn)）

則有x2+ax+b=（x+5）（x+2），展開可得a=7，b=10，

則有f（x）=（1-x）（x2+7x+10），

則f′（x）=-3（x2+4x+1），

令f′（x）=0，

余略.

著名數(shù)學(xué)家、教育學(xué)家G·波利亞在《怎樣解題》一書中指出：“好題目和某種蘑菇有點(diǎn)相似之處：它們都是成串成長，找到一個(gè)以后，我們應(yīng)該看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的.”因而當(dāng)我們解完一道題以后，要不斷領(lǐng)悟反思，多角度切入進(jìn)行深度挖掘，從而達(dá)到觸類旁通、一題多解的效果.通過典型實(shí)例的一題多解，可以使得我們的解題思路更加開闊，數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握更加熟練，同時(shí)拓展思維，妙法頓生，提高解題速度，培養(yǎng)發(fā)散思維能力，激發(fā)我們學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性和趣味性，全面提高我們的知識(shí)水平和思維能力.J

余略.

思維方向5：通過函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（-2，0）對(duì)稱，將其函數(shù)的圖像向右平移2個(gè)單位得到函數(shù)f（x-2）的圖像，其關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，即其是奇函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的圖像與性質(zhì)構(gòu)建方程組，進(jìn)而確定參數(shù)a、b的值.通過平移將相應(yīng)的中心對(duì)稱問題轉(zhuǎn)化為更為熟悉的奇函數(shù)問題，利用奇函數(shù)的圖像與性質(zhì)來轉(zhuǎn)化，更為熟悉且更容易操作.

解法5（平移函數(shù)法）：由于函數(shù)f（x）=（1-x）（x2+ax+b）的圖像關(guān)于點(diǎn)（-2，0）對(duì)稱，

若將f（x）的圖像向右平移2個(gè)單位，可得f（x-2）的圖像關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，

即f（x-2）=［1-（x-2）］［（x-2）2+a（x-2）+b］=-x3+（7-a）x2+（5a-b-16）x+3（b-2a+4）為奇函數(shù)，

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)必為0，解得a=7，b=10.

則有f（x）=（1-x）（x2+7x+10），

則f′（x）=-3（x2+4x+1），

令f′（x）=0，