☉江蘇省宜興第一中學(xué) 李云強(qiáng)

“數(shù)”與“形”是一對矛盾的統(tǒng)一體，宇宙萬物都可以看成“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一.我國偉大的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”.在數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想往往通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”的方式，使得復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題形象化，具體的問題直觀化，進(jìn)而有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)屬性，從而達(dá)到有效解決問題的目的.數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合，也是高考中?？嫉臄?shù)學(xué)思想之一.

一、在函數(shù)與方程中的應(yīng)用

函數(shù)的圖像是函數(shù)關(guān)系的一種直觀、形象的表示，是運用數(shù)形結(jié)合思想方法的基礎(chǔ).對于一些含有函數(shù)背景的問題，通過對函數(shù)性質(zhì)的分析，結(jié)合相應(yīng)的圖像，對相應(yīng)的函數(shù)、方程問題加以有效轉(zhuǎn)化，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的相應(yīng)的函數(shù)圖像的問題，通過數(shù)形結(jié)合，根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合性質(zhì)簡捷分析與求解.

綜上分析可得-2≤a≤2.故選A.

圖1

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是抓住函數(shù)的圖像與性質(zhì)，運用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問題.特別地，數(shù)學(xué)中的方程、不等式等的相關(guān)問題，往往可以通過函數(shù)、方程與不等式之間的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)來處理，進(jìn)而結(jié)合方程與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系作出相應(yīng)的圖像，數(shù)形結(jié)合達(dá)到求解的目的.

二、在平面向量中的應(yīng)用

而在平面向量中，平面向量的線性運算自身就蘊(yùn)含著豐富且深刻的幾何背景，平面向量的坐標(biāo)表示使平面向量問題代數(shù)化成為了可能.平面向量知識成為了數(shù)形結(jié)合中重要的載體，是數(shù)形結(jié)合對應(yīng)的高度統(tǒng)一的實例之一.

例2 （2017·全國Ⅱ理·12）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則P—A·（P—→B+P—C）的最小值是（ ）.

分析：根據(jù)平面向量的中點公式與條件加以轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合確定取得最小值時點P的位置，進(jìn)而結(jié)合基本不等式來確定最值問題.

圖2

點評：在解決平面向量問題中，經(jīng)常通過幾何圖形特征或巧妙構(gòu)造坐標(biāo)系，數(shù)形結(jié)合來轉(zhuǎn)化與處理.平面向量中的向量問題往往既有形的特征，又有數(shù)的質(zhì)感，巧妙地運用數(shù)形結(jié)合，可以使問題解決起來更直觀快捷，思路清晰，解法巧妙.

三、在線性規(guī)劃中的應(yīng)用

結(jié)合數(shù)形結(jié)合，利用線性規(guī)劃，設(shè)出決策變量，找出約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)，利用圖像在線性約束條件下找出目標(biāo)函數(shù)的取值范圍、最值或取得最值時的點的坐標(biāo)或由此衍生出來的其他問題，如：斜率、距離的最值等.

分析：先根據(jù)條件作出對應(yīng)約束條件的可行域，通過數(shù)形結(jié)合，利用平移直線法，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)并結(jié)合可行域來確定最值問題.

作出直線l：3x-4y=0，平移直線l，當(dāng)直線z=3x-4y經(jīng)過點A（1，1）時，z取得最小值，最小值為3-4=-1.

圖3

點評：利用數(shù)形結(jié)合思想可以解決在線性規(guī)劃可行域約束條件下已知目標(biāo)函數(shù)的最值問題.線性規(guī)劃可以解決很多的相關(guān)問題，其解決問題的關(guān)鍵：設(shè)出決策變量，通過數(shù)形結(jié)合，利用圖像在線性約束條件下找出決策變量使線性目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大或最小值.

四、在概率中的應(yīng)用

許多概率問題都可以通過畫樹形圖、建立平面直角坐標(biāo)系，或是利用圖形等，將數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題，借助于形的優(yōu)勢，使問題得到解決.特別在幾何概型中，數(shù)形結(jié)合顯得尤為重要.

例4 （2017·全國Ⅰ文·4；理·2）如圖4，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自黑色部分的概率是（ ）.

圖4

分析：設(shè)出正方形的邊長，進(jìn)而確定正方形內(nèi)切圓的半徑，結(jié)合幾何圖形的面積以及對稱性來確定幾何測度問題，數(shù)形結(jié)合利用幾何概型的概率公式來求解概率即可.

解析：設(shè)正方形的邊長為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，

則正方形的面積為4，正方形內(nèi)切圓的面積為π，

根據(jù)對稱性可知，黑色部分的面積是正方形內(nèi)切圓的面積的一半，即圖中黑色部分的面積為

故選B.

點評：涉及概率的求解問題，有時可以把古典概型、幾何概型的問題轉(zhuǎn)化為直觀圖形，通過數(shù)形結(jié)合來分析更直觀快捷.特別，涉及面積型的幾何概型問題是高考中最常見的題型之一，主要有結(jié)合平面幾何的性質(zhì)確定相應(yīng)的幾何圖像面積，利用面積之比來確定幾何概型等概率問題.

五、在圓錐曲線中的應(yīng)用

對于圓錐曲線問題，許多對應(yīng)的長度、數(shù)式等都具有一定的幾何意義，挖掘題目中隱含的幾何意義，采用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可簡單快捷地解決某些相應(yīng)的問題.

例5 （2017·全國Ⅱ理·16）已知F是拋物線C：y2=8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|=______.

分析：根據(jù)題目條件以及中點的性質(zhì)確定點M的橫坐標(biāo)，通過數(shù)形結(jié)合，結(jié)合定義把拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離，進(jìn)而來求解對應(yīng)的線段長度問題.

解析：由拋物線C：y2=8x知，p=4，焦點F（2，0），

如圖5所示，由于FM的延長線交y軸于點N，則N的橫坐標(biāo)為0，而M為FN的中點，可得M的橫坐標(biāo)為xM=1，結(jié)合拋物線的定義6.

圖5

點評：通過數(shù)形結(jié)合，把圓錐曲線問題直觀化，通過把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來，使對題目的解答更形象、直觀、一目了然，從而得以快捷求解.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化有兩種，一種是通過數(shù)形結(jié)合建立相應(yīng)的關(guān)系式，另一種是通過代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為二元二次方程組的解的問題進(jìn)行討論.

巧妙運用數(shù)形結(jié)合思想來處理與解決一些相關(guān)的抽象的數(shù)學(xué)問題，往往可起到事半功倍的效果.數(shù)形結(jié)合思想的重點是“以形助數(shù)”，根據(jù)對應(yīng)知識點中的數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題.尤其在解決一些選擇題、填空題時，數(shù)形結(jié)合思想往往發(fā)揮著奇特功效，可以大大提高解題能力與速度，提升效益.J