☉江蘇省鎮(zhèn)江市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 張 強(qiáng)

縱觀近年高考數(shù)學(xué)試卷中的選擇題和填空題，圓錐曲線中雙曲線的題目出現(xiàn)的頻率非常高，亮點(diǎn)也頗多.處理好此類問(wèn)題，除了熟練掌握雙曲線的定義、方程與幾何性質(zhì)外，還要結(jié)合題目中的已知條件，準(zhǔn)確用好題中對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)，從而避免走彎路，以達(dá)到快速、有效、準(zhǔn)確解題的目的.

一、參數(shù)值的求解

分析：常規(guī)方法是設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，確定直線APB的方程，結(jié)合雙曲線C的兩條漸近線方程得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，根據(jù)平面向量的線性關(guān)系以及三角形的面積公式確定參數(shù)的關(guān)系式，再與雙曲線方程相結(jié)合來(lái)確定參數(shù)a的值.參數(shù)眾多，計(jì)算量大，繁雜無(wú)序.而通過(guò)特殊點(diǎn)的選取，直接利用平面向量的線性關(guān)系確定A點(diǎn)、B點(diǎn)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的關(guān)系，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)而得以求解，再利用線性關(guān)系所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)關(guān)系來(lái)求解相應(yīng)的參數(shù)a的值，處理簡(jiǎn)單，目標(biāo)明確.

解析：由于點(diǎn)P是雙曲線C右支上的任意一點(diǎn)，取其特殊點(diǎn)P位于雙曲線C的右頂點(diǎn)處，

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于變化不定的坐標(biāo)關(guān)系問(wèn)題，通過(guò)特殊點(diǎn)的選取，使得對(duì)應(yīng)坐標(biāo)關(guān)系更為清晰，從而方便構(gòu)造之間的數(shù)量關(guān)系，簡(jiǎn)化運(yùn)算，從而使得求解過(guò)程更為明確，處理方式更為簡(jiǎn)單巧妙，同時(shí)又簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高效率.

二、線段長(zhǎng)度的求值

例2 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)F1、F2分別是雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線E的左支上任意一點(diǎn)，自點(diǎn)F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|=（ ）.

（A）a （B）b （C）2a （D）2b

分析：常規(guī)方法是確定點(diǎn)P的位置，連接PF1、PF2，延長(zhǎng)F1H交PF2于點(diǎn)Q，結(jié)合角平行線的性質(zhì)以及雙曲線的定義得到|QF2|=2a，再結(jié)合中位線定理即可得到|OH|的值，利用雙曲線的定義來(lái)處理，要求必須數(shù)形結(jié)合，并借助平面幾何的相關(guān)知識(shí)來(lái)處理，技巧性要求高.而通過(guò)特殊點(diǎn)的選取，淡化雙曲線的相關(guān)定義與幾何性質(zhì)，簡(jiǎn)化運(yùn)算，可以更為有效快捷的處理與解決問(wèn)題.

解析：由于點(diǎn)P是雙曲線E的左支上任意一點(diǎn)，取其特殊點(diǎn)P位于雙曲線E的左頂點(diǎn)處，此時(shí)F1、P、F2三點(diǎn)都在x軸上，那么∠F1PF2為平角，則自點(diǎn)F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，此時(shí)垂線為x=-a，P、H重合，可得|OH|=a.故選A.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于變化不定的點(diǎn)的位置問(wèn)題，通過(guò)特殊點(diǎn)的選取，使得圓錐曲線問(wèn)題平面幾何化，處理起來(lái)更為直觀快捷，從而降低對(duì)雙曲線定義、平面幾何綜合知識(shí)的熟練掌握與應(yīng)用的要求，使一般問(wèn)題特殊化，運(yùn)算起來(lái)更為快捷方便，而且不失一般性.

三、數(shù)量積的轉(zhuǎn)化

（A）a2（B）b2（C）2ab （D）a2+b2

分析：常規(guī)方法是設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，結(jié)合雙曲線C的兩條漸近線方程得到點(diǎn)R、Q的坐標(biāo)，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積來(lái)化簡(jiǎn)、判斷.而通過(guò)特殊點(diǎn)的選取，巧妙化簡(jiǎn)，進(jìn)而更加快捷的確定相應(yīng)的答案.

解析：由于點(diǎn)P是雙曲線C上的任意一點(diǎn)，取其特殊點(diǎn)P位于雙曲線的頂點(diǎn)處，此時(shí)直線PQ與x軸重合（R、Q與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合），

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于變化不定的平面向量問(wèn)題，通過(guò)特殊點(diǎn)的選取，使一般問(wèn)題特殊化，使得直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題更為簡(jiǎn)單，運(yùn)算起來(lái)更為快捷方便，而且不失一般性.特殊點(diǎn)處理，巧妙化解決.

四、幾何圖形的處理

分析：常規(guī)方法是設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而確定直線PR的方程，聯(lián)立直線方程求得點(diǎn)R的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求得點(diǎn)P到直線OR的距離，代入四邊形面積公式來(lái)求解.而通過(guò)特殊點(diǎn)的選取，巧妙轉(zhuǎn)化平行四邊形PQOR為菱形，利用漸近線的斜率確定底邊OP所對(duì)應(yīng)的高，進(jìn)而結(jié)合三角形的面積公式來(lái)求解，更為快捷簡(jiǎn)單.

解析：由于點(diǎn)P是雙曲線C右支上的任意一點(diǎn)，取其特殊點(diǎn)P位于雙曲線C的右頂點(diǎn)處，

此時(shí)|OP|=a，根據(jù)雙曲線C的漸近線方程的性質(zhì)可知此時(shí)平行四邊形PQOR為菱形，

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于變化不定平行四邊形問(wèn)題，通過(guò)特殊點(diǎn)的選取，使得平面圖形簡(jiǎn)單化，從而求解起來(lái)更為直觀簡(jiǎn)單，處理方式更為巧妙，簡(jiǎn)化運(yùn)算，提升效益.涉及平面幾何圖形的求解問(wèn)題，經(jīng)常采取此特殊法處理，尋找特殊的線段、三角形、四邊形等特殊圖形來(lái)分析與處理，從而使得問(wèn)題解決起來(lái)更直觀有效.

五、取值范圍的確定

分析：先根據(jù)雙曲線的定義得到關(guān)系式|PF1|=|PF2|+2，通過(guò)分類討論，結(jié)合極限思維確定點(diǎn)P的特殊位置，確定當(dāng)PF1⊥PF2時(shí)與當(dāng)F1F2⊥PF2時(shí)關(guān)系式的最值，數(shù)形結(jié)合即可得△F1PF2為銳角三角形時(shí)關(guān)系式|PF1|+|PF2|的取值范圍.

當(dāng)點(diǎn)P滿足PF1⊥PF2時(shí)，此時(shí)有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，把|PF1|=|PF2|+2代入，整理有|PF2|2+2|PF2|-6=0，解得|PF2|=-1（負(fù)值舍去），此時(shí)有|PF1|+|PF2|=2；

當(dāng)點(diǎn)P滿足F1F2⊥PF2時(shí)，此時(shí)有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，把|PF1|=|PF2|+2代入，整理有|PF2|=3，此時(shí)有|PF1|+|PF2|=8；

由于△F1PF2為銳角三角形，數(shù)形結(jié)合可得|PF1|+|PF2|∈（2，8）.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于變化不定的點(diǎn)的位置問(wèn)題，通過(guò)特殊點(diǎn)的選取，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)并結(jié)合勾股定理建立相應(yīng)的關(guān)系式，再結(jié)合已知定義所得的關(guān)系式加以聯(lián)立求解，通過(guò)極端策略，利用“兩邊夾”來(lái)確定對(duì)應(yīng)的取值范圍.這里巧妙應(yīng)用在極端策略時(shí)對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)的位置處理，可以有效地避開(kāi)抽象、復(fù)雜的運(yùn)算，獨(dú)辟蹊徑，降低解題難度、化簡(jiǎn)相關(guān)運(yùn)算、優(yōu)化解題過(guò)程，起到事半功倍的效果.

其實(shí)，解析幾何中的基本概念、基本方程、基本公式等都是高考中?？嫉闹匾R(shí)點(diǎn)之一，對(duì)于考查的選擇題和填空題，有時(shí)題目比較容易，有時(shí)題目比較難，但都不要輕視，要通過(guò)動(dòng)手、動(dòng)腦，融會(huì)貫通，化一般為特殊來(lái)巧妙處理，真正達(dá)到“動(dòng)后熟悉，熟后思考，思后悟理，悟后掌握”的解題效果.H