師鵬杰，嚴(yán) 剛

(南京航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院，機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016)

結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測對(duì)于保障大型和重要結(jié)構(gòu)的安全性和可靠性具有重要意義，而損傷識(shí)別是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測的核心環(huán)節(jié)之一。近年來在該領(lǐng)域已提出許多不同類型的損傷識(shí)別方法，其中基于模型的方法由于不僅能夠識(shí)別損傷的位置，還能識(shí)別損傷的尺寸或程度，受到了廣泛的關(guān)注和研究[1]。

通?；谀Ｐ偷慕Y(jié)構(gòu)損傷識(shí)別被歸為一類反問題來求解，需要涉及兩方面的內(nèi)容：含損傷結(jié)構(gòu)的建模和反問題的求解。在含損傷結(jié)構(gòu)的建模方面，有限元方法以其對(duì)各種形式的結(jié)構(gòu)及損傷所具有的廣泛適應(yīng)能力，在結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中成為最常用的一種方法[2-4]。但有限元方法在用于連續(xù)體結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別時(shí)需要在損傷參數(shù)更新的過程中重新劃分網(wǎng)格，以適應(yīng)損傷邊界的變化，大大影響了計(jì)算效率。另一種常用的建模方法是邊界元方法，將彈性控制方程轉(zhuǎn)換為邊界積分方程，并采用格林函數(shù)進(jìn)行求解[5-6]。邊界元的缺點(diǎn)是對(duì)于非均質(zhì)材料和任意形狀的損傷難以獲得格林函數(shù)，從而限制了它的應(yīng)用。擴(kuò)展有限元是近年來在計(jì)算斷裂力學(xué)領(lǐng)域快速發(fā)展的一種數(shù)值方法，其最主要的特點(diǎn)是，所使用的網(wǎng)格與結(jié)構(gòu)內(nèi)部的幾何或物理界面無關(guān)，克服了在諸如裂紋尖端等高應(yīng)力和變形集中區(qū)進(jìn)行高密度網(wǎng)格剖分的困難[7-10]。正是這種優(yōu)點(diǎn)使得擴(kuò)展有限元在應(yīng)用于損傷識(shí)別等反問題時(shí)也具有很大優(yōu)勢，如RABINOVICH et al采用時(shí)間簡諧響應(yīng)和擴(kuò)展有限元對(duì)薄膜中的裂紋進(jìn)行識(shí)別[11]；WAISMAN et al[12]，CHATZI et al[13]進(jìn)一步發(fā)展了基于擴(kuò)展有限元的損傷識(shí)別方法，采用靜態(tài)響應(yīng)對(duì)平面問題的多種損傷以及多個(gè)損傷進(jìn)行識(shí)別，表明了擴(kuò)展有限元在結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中的有效性。

在反問題求解方面，各種優(yōu)化算法得到了廣泛的應(yīng)用。如早期較多采用的基于梯度的優(yōu)化算法[2]，但是由于其只能收斂到局部最優(yōu)解且求解的結(jié)果強(qiáng)烈依賴于初始值的選擇而限制了發(fā)展；目前廣泛應(yīng)用的各種智能算法，如遺傳算法、人工蜂群算法等[12-16]具有操作簡單，收斂速度快，全局收斂能力好等優(yōu)點(diǎn)而得到更多的的關(guān)注。其中KAVEH et al根據(jù)海豚運(yùn)用回聲捕食獵物的行為設(shè)計(jì)了一種元啟發(fā)式算法——海豚回聲算法(dolphin echolocation optimization alogrithm，DEO)，并將其成功運(yùn)用于求解剛架和桁架結(jié)構(gòu)問題[17]，算例表明DEO算法與遺傳算法、粒子群算法、蟻群算法等相比具有更好的收斂性能。

本文提出了一種搜索范圍動(dòng)態(tài)變化的尋優(yōu)機(jī)制來改進(jìn)海豚回聲算法，將之與擴(kuò)展有限元法相結(jié)合應(yīng)用于損傷識(shí)別問題，并運(yùn)用數(shù)值仿真方法來驗(yàn)證所提出的改進(jìn)算法以及損傷識(shí)別方法的合理性和有效性。

1 損傷識(shí)別方法

1.1 損傷識(shí)別反問題

本文將損傷識(shí)別歸為反問題來求解。如圖1所示，用一定的損傷參數(shù)來表征損傷的位置和大小，在獲得實(shí)際結(jié)構(gòu)測量響應(yīng)后，通過優(yōu)化算法最小化實(shí)際響應(yīng)與損傷結(jié)構(gòu)模型模擬響應(yīng)之差來識(shí)別優(yōu)化參數(shù)。

圖1 含損傷結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 A generic solid structure with void flaws

本文采用圓形孔洞來模擬損傷，并以應(yīng)變作為結(jié)構(gòu)測量響應(yīng)。對(duì)于圓形孔洞而言，其損傷參數(shù)為中心坐標(biāo)和半徑(xi,yi,ri)，i=1,2,…,n，其中n為孔洞個(gè)數(shù)。建立目標(biāo)函數(shù)：

(1)

式中：λ為由損傷參數(shù)(xi,yi,ri)組成的向量；ε(m)和ε(s)分別為在實(shí)際結(jié)構(gòu)中測量出的應(yīng)變響應(yīng)和損傷結(jié)構(gòu)模型計(jì)算出的應(yīng)變響應(yīng)，應(yīng)變向量由兩個(gè)方向的正應(yīng)變組成；D為應(yīng)變傳感器數(shù)量。

為了適應(yīng)下文改進(jìn)海豚回聲算法以最大值為優(yōu)化目標(biāo)的需要，將目標(biāo)函數(shù)調(diào)整為：

(2)

其中：δ為篩選系數(shù)，0<δ<1，本例δ取0.85；當(dāng)g1(λ)<0時(shí)，隨機(jī)生成一個(gè)λ0替換λ，并且要求g1(λ0)≥0.

1.2 擴(kuò)展有限元建模

本文采用擴(kuò)展有限元法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，計(jì)算出含有不同位置和大小的損傷結(jié)構(gòu)的響應(yīng)量。擴(kuò)展有限元通過引入非連續(xù)的位移模式來代替?zhèn)鹘y(tǒng)有限元的連續(xù)位移模式，使得對(duì)損傷結(jié)構(gòu)不連續(xù)位移場的描述得到了簡化，在不用重新劃分網(wǎng)格的前提下可以方便地改變損傷的位置和大小。

擴(kuò)展有限元中所應(yīng)用的位移模式為：

(3)

式中：NI(x)為常規(guī)有限元中的形函數(shù)；uI為節(jié)點(diǎn)處的未知位移；ψI(x)為擴(kuò)展有限元的加強(qiáng)函數(shù)；aI為改進(jìn)后增加的自由度。

可以通過水平集函數(shù)來表示損傷的位置和大小。對(duì)于本文中考慮的孔洞，其水平集函數(shù)為：

(4)

式中：nc為圓形孔洞數(shù)；xi和ri為第i個(gè)孔洞的中心和半徑。

針對(duì)孔洞損傷而言，其位移模式可以采用一種更簡單的表述[18]：

(5)

(6)

2 海豚回聲算法及其改進(jìn)

2.1 海豚回聲算法

DEO算法是一種根據(jù)海豚回聲搜索獵物的機(jī)制所設(shè)計(jì)的一種離散型優(yōu)化算法。算法定義了收斂因數(shù)(Fc)用來表示每一次迭代的最優(yōu)解為全局最優(yōu)解的概率，一般根據(jù)一條預(yù)定的曲線來變化。本文引用文獻(xiàn)[16]中的收斂曲線來定義：

(7)

式中：Fc1為預(yù)定義的第一個(gè)循環(huán)最優(yōu)解為全局最優(yōu)解的概率；pi表示第i個(gè)循環(huán)；N為總循環(huán)次數(shù)；p為收斂曲線的次數(shù)，可以通過調(diào)整收斂曲線的次數(shù)來調(diào)整收斂曲線的形狀。

算法需要先將連續(xù)變量的可行域離散化然后以升序或者降序進(jìn)行排列，用長度為LAj的列向量Aj表示離散化后變量lj(j=1,2,…,NV)的可取值，其中NV為變量的個(gè)數(shù)。

DEO算法的求解流程為：

1) 隨機(jī)生成NL個(gè)可行解。初始化LNL×NV=[L1,L2,…,LNL]矩陣，其中NV是變量的個(gè)數(shù)，NL為海豚所搜尋位置的數(shù)量。

2) 計(jì)算當(dāng)前循環(huán)的Fc.

3) 計(jì)算每一個(gè)可行解的目標(biāo)函數(shù)值g1(Li)，其中目標(biāo)函數(shù)以最大值為優(yōu)化目標(biāo)。

4) 計(jì)算每個(gè)變量的累計(jì)適應(yīng)度：

(8)

式中：Aij為Li(j)在Aj中的位置，F(xiàn)(Aij+k,j)是第j個(gè)變量的第(Aij+k)個(gè)可取值的累計(jì)適應(yīng)度；R是影響半徑，它表示了位置Li(j)對(duì)周圍的影響范圍，本文取LAj的1/8.

為了使分布更加均勻，將一個(gè)小量的δ加到F上，即F=F+δ，δ最好選擇比目標(biāo)函數(shù)值小的值。

5) 對(duì)于每一個(gè)變量lj，計(jì)算每一個(gè)可取值A(chǔ)j(i)(i=1,2,…,LAj)的概率值。首先找到本次循環(huán)最優(yōu)解的各變量對(duì)應(yīng)在F中的值并將其置為0，依據(jù)輪盤賭的方式計(jì)算可取值A(chǔ)j(i)的概率：

(9)

將概率Fc分配給最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)各個(gè)變量的可行值，(1-Fc)分配給其他可行值。

6) 根據(jù)計(jì)算出的概率值生成下一循環(huán)的NL個(gè)可行解。

7)回到步驟3)，直到滿足結(jié)束條件，輸出結(jié)果。

2.2 改進(jìn)海豚回聲算法(EDEO)

當(dāng)所要求解的問題變量取值范圍大，要求精度高時(shí)，則需要將可行域離散的更加細(xì)致，這樣會(huì)帶來計(jì)算規(guī)模加大，計(jì)算時(shí)間增長，后期收斂變慢，甚至找不到全局最優(yōu)解等問題。針對(duì)上述問題，首先考慮到當(dāng)DEO算法收斂到最優(yōu)解附近，可行解的目標(biāo)函數(shù)值已經(jīng)相差不大，所以將累計(jì)適應(yīng)度計(jì)算方法改成：

(10)

式中：Fmin為NL個(gè)可行解中目標(biāo)函數(shù)值的最小值，其他同式(8).其次本文提出了一種搜索范圍動(dòng)態(tài)變化的尋優(yōu)機(jī)制來改進(jìn)DEO算法。

這種尋優(yōu)機(jī)制主要包含初搜索、精搜索、平移搜索、回溯搜索和重搜索等5個(gè)過程，并且引入兩個(gè)概念：

1) 搜索域。本次循環(huán)所搜索的范圍，對(duì)于變量Dj用[mj,Mj]表示其搜索域。

2) 縮放搜索域。若Dj的搜索域?yàn)閇m0j,M0j]，D0j為任意一個(gè)在搜索域內(nèi)的實(shí)數(shù)，則定義以D0j為中心的關(guān)于[m0j,M0j]的縮放可行域[mj,Mj]為：

(11)

式中：k為縮放系數(shù)，當(dāng)縮小時(shí)k>1，放大時(shí)k<1，不變時(shí)k=1.

5個(gè)搜索過程具體如下。

3) 平移搜索。當(dāng)k1取值過大，導(dǎo)致全局最優(yōu)解不在精搜索的搜索域之內(nèi)，則精搜索求得的最優(yōu)解會(huì)在搜索域邊緣，即當(dāng)?j=1,2,…,NV使得：

(12)

圖2 EDEO算法示意圖Fig.2 Diagram of EDEO Algorithm

5) 重搜索。當(dāng)調(diào)用精搜索過程過多，搜索域會(huì)變得很小，對(duì)于一般優(yōu)化問題已經(jīng)沒有了意義，為了提高算法全局收斂能力，對(duì)?j=1,2,…,NV滿足：

(13)

式中：η為容許誤差，根據(jù)求解問題精度來確定。則以可行域?yàn)樗阉饔?，以p1為循環(huán)次數(shù)，更新Lr.

當(dāng)循環(huán)次數(shù)達(dá)到最大循環(huán)次數(shù)p時(shí)，循環(huán)結(jié)束，輸出最優(yōu)解。程序框圖如圖3.

圖3 EDEO算法流程圖Fig.3 Flowchart of EDEO Algorithm

3 算例分析

本文采用數(shù)值仿真研究驗(yàn)證所提出的改進(jìn)算法以及損傷識(shí)別方法的合理性和有效性。算例所采用的方形平板處于平面應(yīng)力狀態(tài)，底部受固定端約束，頂部受100 MPa的均載拉伸載荷作用，板的邊長為10 cm；平板被劃分成40 mm×40 mm的均勻網(wǎng)格；在板的左、上、右邊緣均勻分布著14個(gè)應(yīng)變傳感器，如圖4所示；材料性質(zhì)為E=70 GPa，υ=0.3；實(shí)際結(jié)構(gòu)測量響應(yīng)通過網(wǎng)格密度為50 mm×50 mm的擴(kuò)展有限元模擬模型得到，考慮到噪聲的影響，向?qū)嶋H結(jié)構(gòu)響應(yīng)加不同大小的高斯白噪聲(5%，15%).待求解參數(shù)可行域?yàn)閤i∈[0.5,9.5],yi∈[0.5,9.5],ri∈[0.2,2.0].

圖4 算例平板示意圖Fig.4 Diagram of plate

本算例中EDEO算法第一個(gè)循環(huán)的收斂因數(shù)Fc1=0.1，收斂曲線次數(shù)p=1.2，LAj=21，小量δ=0.05，容許誤差η=1×10-2，精搜索縮放系數(shù)k1=4，回溯搜索縮放系數(shù)k2=1/10，容許平移系數(shù)q0=2.DEO算法中其他參數(shù)和EDEO算法相同，LAj取1 801.

3.1 單個(gè)孔洞損傷識(shí)別

針對(duì)單個(gè)孔洞問題，EDEO算法可行解個(gè)數(shù)NL=20，p1=10，最大循環(huán)次數(shù)p=100，待求解的優(yōu)化參數(shù)為x=4.5,y=5.5，r=0.6.

圖5給出了15%噪聲下EDEO參數(shù)估計(jì)過程。由圖可以看出，EDEO算法經(jīng)過25次迭代，圓心坐標(biāo)為(4.47，5.62)，半徑為0.605，識(shí)別結(jié)果已經(jīng)比較精確。圖6給出了在15%噪聲條件下EDEO算法的前25個(gè)循環(huán)的識(shí)別結(jié)果和DEO算法的結(jié)果，可以看出EDEO算法在25個(gè)循環(huán)就已經(jīng)收斂到了不錯(cuò)的結(jié)果，而DEO算法迭代了100循環(huán)之后仍然距離真實(shí)解較遠(yuǎn)。表1給出了不同噪聲、不同算法的優(yōu)化結(jié)果?？梢钥闯鯡DEO算法所求得的結(jié)果非常精確，而DEO算法只能收斂到所求參數(shù)的附近而無法求得更加精確的解。

圖5 15%噪聲下EDEO參數(shù)估計(jì)過程Fig.5 Process of parameter estimation with noise level of 15%

圖6 15%噪聲下EDEO部分循環(huán)識(shí)別結(jié)果和DEO最終結(jié)果Fig.6 Identified process of EDEO and DEO with noise level of 15%

表1 單個(gè)孔洞缺陷求解結(jié)果Table 1 Identified results of a single void

3.2 兩個(gè)孔洞損傷識(shí)別

針對(duì)兩個(gè)孔洞問題，EDEO算法可行解個(gè)數(shù)NL=30，p1=30，最大循環(huán)次數(shù)p=200，待求解的優(yōu)化參數(shù)為x1=8，y1=8，r1=0.6，x2=2.5，y2=2.5，r2=0.6.

圖7為15%噪聲下EDEO參數(shù)估計(jì)過程，由圖可以看出在經(jīng)過40次迭代之后，孔洞1圓心坐標(biāo)(7.81，7.81)，半徑0.67，孔洞2圓心坐標(biāo)(2.64,2.19)，半徑為0.72，已經(jīng)能夠得到較為不錯(cuò)的結(jié)果。圖8給出了在15%噪聲條件下EDEO算法的部分循環(huán)的識(shí)別結(jié)果和DEO算法的結(jié)果，由圖可以看出當(dāng)EDEO算法迭代40次之后所得到的結(jié)果比DEO算法最終結(jié)果還要精確，DEO算法已經(jīng)陷入局部最優(yōu)無法收斂。表2給出了不同噪聲，不同算法的優(yōu)化結(jié)果，可以看出，在不同噪聲下EDEO算法比DEO算法求解得到的結(jié)果都要精確很多。

圖7 15%噪聲下EDEO參數(shù)估計(jì)過程Fig.7 Process of parameter estimation with noise level of 15%

表2 兩個(gè)孔洞缺陷求解結(jié)果Table 2 Identified results of two voids

3.3 三個(gè)孔洞損傷識(shí)別

針對(duì)三個(gè)孔洞EDEO算法可行解個(gè)數(shù)NL=50，p1=50，最大循環(huán)次數(shù)p=200，待求解的優(yōu)化參數(shù)為x1=2.5，y1=2.5，r1=0.6，x2=3.0，y2=8.0，r2=0.6，x3=8.0，y3=8.0，r3=0.6.

圖9給出了在15%噪聲下EDEO算法部分循環(huán)識(shí)別結(jié)果，由圖可以看出EDEO算法經(jīng)過150次迭代，孔洞1的圓心坐標(biāo)為(2.185,2.461)，半徑為0.575；孔洞2的圓心坐標(biāo)為(3.002,7.920)，半徑為0.592；孔洞3的圓心坐標(biāo)為(7.898,7.989)，半徑為0.584，已經(jīng)收斂到了不錯(cuò)的結(jié)果。圖10給出了在15%噪聲下DEO算法的收斂結(jié)果，可以看出DEO算法已經(jīng)無法收斂。表3給出了15%噪聲條件下EDEO算法的優(yōu)化結(jié)果，結(jié)果表明對(duì)于3個(gè)孔洞EDEO算法能夠收斂到真實(shí)值。

圖8 15%噪聲下EDEO部分循環(huán)識(shí)別結(jié)果和DEO最終結(jié)果Fig.8 Identified process of EDEO and DEO with noise level of 15%

圖9 15%噪聲下EDEO部分循環(huán)識(shí)別結(jié)果Fig.9 Identified process of EDEO with noise level of 15%

圖10 15%噪聲下DEO最終識(shí)別結(jié)果Fig.10 Identified result of DEO with noise level of 15%

表3 3個(gè)孔洞EDEO求解結(jié)果Table 3 EDEO identified results of three voids

4 結(jié)論

本文結(jié)合擴(kuò)展有限元與改進(jìn)海豚回聲算法建立了損傷識(shí)別模型，并重點(diǎn)介紹了海豚回聲算法的建立及改進(jìn)過程。海豚回聲算法運(yùn)用收斂因數(shù)這一參數(shù)控制迭代過程中最優(yōu)解為全局最優(yōu)解的概率。為了提高收斂性能，提出了一種搜索范圍動(dòng)態(tài)變化的尋優(yōu)機(jī)制，根據(jù)其搜索域大小和范圍的不同分為初搜索、精搜索、平移搜索、回溯搜索、重搜索5個(gè)過程。通過數(shù)值仿真研究結(jié)果表明，改進(jìn)海豚回聲算法與原算法相比有較高的效率和較好的收斂性能，算法在存在模型誤差和隨機(jī)測量誤差的情況下仍然能夠得到較好的識(shí)別結(jié)果，驗(yàn)證了改進(jìn)算法的有效性和損傷識(shí)別方法的合理性。

本文未討論在未知損傷數(shù)量條件下如何識(shí)別損傷參數(shù)。尋求一種高效的判斷損傷數(shù)量并將其引入優(yōu)化過程的方法是本文之后研究的重點(diǎn)。