姚建濤，于清煥，孫曉宇，李雙鳳，王振

（1.燕山大學(xué) 河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004；2.東北大學(xué) 機(jī)械可靠性與動(dòng)力學(xué)研究中心，沈陽 110819；3.瓦房店軸承集團(tuán) 精密轉(zhuǎn)盤軸承有限責(zé)任公司，遼寧 大連 116300）

空間軸承作為航天機(jī)構(gòu)中旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的最基本組成部分，合適的預(yù)緊力可以提高支承剛度和旋轉(zhuǎn)精度[1]。預(yù)緊力較小時(shí)，系統(tǒng)工作精度無法保證，在高速或重載下軸承易出現(xiàn)振動(dòng)現(xiàn)象；預(yù)緊力較大時(shí)，摩擦力矩變大，易出現(xiàn)卡滯現(xiàn)象，摩擦熱導(dǎo)致軸承溫度升高，降低使用壽命。在航天機(jī)構(gòu)及精密機(jī)械中，軸承安裝時(shí)預(yù)緊力必須合適，且需精確確定[2]。

輸出軸系作為航天機(jī)構(gòu)的重要組成部分，軸系中軸承安裝配合過盈量和預(yù)緊力的選擇成為研究的重點(diǎn)和亟須解決的問題。文獻(xiàn)[3]在考慮軸系材料屬性、軸承排列方式和預(yù)緊方式的基礎(chǔ)上，利用材料熱變形和位移變形協(xié)調(diào)關(guān)系，建立軸承徑向游隙與預(yù)緊力隨交變溫度變化的數(shù)學(xué)模型。文獻(xiàn)[4]提出一種涉及軸承游隙與柔性特征影響的多體系統(tǒng)建模方法，采用力約束替代運(yùn)動(dòng)約束，構(gòu)建多體系統(tǒng)環(huán)境下的軸承精細(xì)化模型。文獻(xiàn)[5]提出材料熱特性軸承預(yù)緊力自動(dòng)調(diào)節(jié)方法，該方法是根據(jù)溫度變化時(shí)金屬材料受熱伸長(zhǎng)的特性，通過分析機(jī)床主軸轉(zhuǎn)速上升時(shí)摩擦功率損耗產(chǎn)生的熱量，建立主軸溫度場(chǎng)模型。文獻(xiàn)[6]用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)軟件繪制出軸承安全區(qū)域圖，并繪制出徑向游隙與軸向位移之間的變化關(guān)系圖，確定出相對(duì)位置，求出軸系的各待定參數(shù)，完成軸系分析與設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[7]基于Hertz接觸理論和接觸變形協(xié)調(diào)關(guān)系，分析了徑向游隙、表面粗糙度、載荷和球數(shù)對(duì)軸承非線性動(dòng)力學(xué)性能的影響。

上述研究主要集中在安裝配合過盈量對(duì)軸承動(dòng)力學(xué)性能和穩(wěn)定性影響2個(gè)方面，關(guān)于預(yù)緊力對(duì)軸承的非線性動(dòng)態(tài)特性的影響的研究較少。根據(jù)集中質(zhì)量法，建立考慮球數(shù)、軸向預(yù)緊量和動(dòng)載荷的角接觸球軸承力學(xué)模型，推導(dǎo)出軸承非線性動(dòng)力學(xué)微分方程組，并對(duì)方程組進(jìn)行坐標(biāo)變換，然后進(jìn)行量綱一化處理，利用數(shù)值分析軟件求解非線性微分方程組得到軸承的相圖和Poincane圖，并分析軸向預(yù)緊量、接觸角對(duì)軸承非線性動(dòng)態(tài)特性的影響。

1 建立動(dòng)力學(xué)模型

軸承安裝配合示意圖如圖1所示，由2套角接觸球軸承背對(duì)背安裝，軸承中間安裝有隔套，由鎖緊螺母實(shí)現(xiàn)軸承軸向定位預(yù)緊。軸承運(yùn)行過程中主要承受軸向和徑向載荷，外圈固定，內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)，建立單套軸承非線性動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示。Oxy為絕對(duì)坐標(biāo)系，x，y方向分別為軸承內(nèi)圈平移方向；Ojxjyj為相對(duì)坐標(biāo)系，xj，yj方向分別為球平移方向（j代表第j個(gè)球）；φj為第j個(gè)球中心與坐標(biāo)原點(diǎn)O的連線與x軸的夾角。

圖1 安裝配合示意圖Fig.1 Diagram of installation and match

圖2 動(dòng)力學(xué)模型圖Fig.2 Diagram of dynamic model

由圖2中各零件之間的相對(duì)位置關(guān)系可知，軸向預(yù)緊量δz與接觸點(diǎn)變形δ之間的關(guān)系為

軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，第j個(gè)球與內(nèi)圈在接觸點(diǎn)處的相對(duì)位移為

式中：ω為球公轉(zhuǎn)速度；t為時(shí)間；Z為球數(shù)；α為接觸角。

第j個(gè)球與外圈在接觸點(diǎn)處的相對(duì)位移為

由球與內(nèi)、外圈之間的相對(duì)位移關(guān)系，并根據(jù)牛頓第二定律，建立軸承系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)微分方程組為

2 參數(shù)影響分析

2.1 軸承參數(shù)

所分析軸承基本參數(shù)見表1，軸承轉(zhuǎn)速為1.1 rad／s，徑向無載荷，軸向載荷根據(jù)預(yù)緊量確定，采用MATLAB中ode45命令對(duì)（7）式進(jìn)行求解。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural Parameters

2.2 軸向預(yù)緊量影響分析

軸向預(yù)緊量δz＝0.4μm時(shí)，軸承相圖如圖3a所示，Poincane圖如圖3b所示。圖中，dμ1n為量綱一的速度，μ1n為量綱一的位移。軸承相圖軌跡混亂、無序，且是不隨時(shí)間呈周期性變化的封閉曲線，Poincane圖中包含較多無規(guī)律離散點(diǎn)，散亂分布且不重復(fù)，軸承處于典型的混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖3 δz＝0.4μm時(shí)軸承振動(dòng)特性Fig.3 Vibration characteristics of bearing when δz＝0.4μm

軸向預(yù)緊量δz＝1.9μm時(shí)，軸承相圖如圖4a所示，Poincane圖如圖4b所示，相圖軌跡為不規(guī)則形狀封閉曲線，Poincane映射圖為一條閉軌跡環(huán)，表明軸承處于典型準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。軸向預(yù)緊量δz＝4.4，7.2，16.0，24.0μm時(shí)，軸承相圖、Poincane圖分別如圖5—圖8所示。相圖為一條封閉曲線，周期軌跡在穿越Poincane截面時(shí)為有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，表明軸承處于周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。軸向預(yù)緊量變化時(shí)，μ1n始終大于0，表明球與內(nèi)圈接觸，不存在碰撞的情況。

圖4 δz＝1.9μm時(shí)軸承振動(dòng)特性Fig.4 Vibration characteristics of bearing when δz＝1.9μm

圖5 δz＝4.4μm時(shí)軸承振動(dòng)特性Fig.5 Vibration characteristics of bearing when δz＝4.4μm

圖7 δz＝16.0μm時(shí)軸承振動(dòng)特性Fig.7 Vibration characteristics of bearing when δz＝16.0μm

圖8 δz＝24.0μm時(shí)軸承振動(dòng)特性Fig.8 Vibration characteristics of bearing when δz＝24.0μm

軸向預(yù)緊量逐漸減小時(shí)，軸承由穩(wěn)定的單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)經(jīng)倍周期分叉進(jìn)入多周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，然后進(jìn)入準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，最后進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。軸向預(yù)緊量較小時(shí)，球與內(nèi)圈竄動(dòng)量大，會(huì)使軸承處于不穩(wěn)定狀態(tài)。因此，增加軸向預(yù)緊力能增加軸承的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。但過大的軸向預(yù)緊力會(huì)降低軸承的傳動(dòng)效率，增加軸承的磨損，應(yīng)在滿足軸承運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的條件下，選擇較小的軸向預(yù)緊力。

2.3 接觸角影響分析

δz＝15.0μm時(shí)，改變接觸角α，得到處于不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的軸承相圖和Poincane圖。接觸角α分別為 15°，20°，25°時(shí)，得到相圖 Poincane圖分別如圖9—圖11所示。相圖均為一條封閉曲線，周期軌跡在穿越Poincane截面時(shí)為有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，表明軸承處于周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。接觸角增加時(shí)，球與內(nèi)圈接觸，無碰撞發(fā)生。接觸角α＝30°時(shí)，軸承振動(dòng)特性如圖12所示，相軌跡為不規(guī)則形狀封閉曲線，Poincane映射圖呈現(xiàn)一定的規(guī)律，表明軸承處于典型準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。接觸角α＝35°時(shí)，由軸承振動(dòng)特性圖（圖13）可知，軸承處于典型混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖9 α＝15°時(shí)軸承振動(dòng)特性Fig.9 Vibration characteristics of bearing when α＝15°

圖10 α＝20°時(shí)軸承振動(dòng)特性Fig.10 Vibration characteristics of bearing when α＝20°

圖11 α＝25°時(shí)軸承振動(dòng)特性Fig.11 Vibration characteristics of bearing when α＝25°

圖12 α＝30°時(shí)軸承振動(dòng)特性Fig.12 Vibration characteristics of bearing when α＝30°

圖13 α＝35°時(shí)軸承振動(dòng)特性Fig.13 Vibration characteristics of bearing when α＝35°

接觸角增加時(shí)，軸承由穩(wěn)定的單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)經(jīng)倍周期分叉進(jìn)入多周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，然后經(jīng)過Naimark-sacker分叉，經(jīng)過不穩(wěn)定吸引子最終進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。接觸角較大時(shí)，球與軸承內(nèi)圈發(fā)生相互碰撞，軸承處于不穩(wěn)定狀態(tài)。較大的接觸角會(huì)降低軸承徑向承載能力，并影響軸承的傳動(dòng)平穩(wěn)性，故應(yīng)選擇較小的接觸角。

3 結(jié)論

根據(jù)角接觸球軸承動(dòng)力學(xué)模型，建立軸承的非線性動(dòng)力學(xué)微分方程組，并對(duì)其非線性動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析，得到如下結(jié)論：

1）增加軸向預(yù)緊量，能夠減小軸承的振動(dòng)響應(yīng)幅值，提高軸承的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。隨軸向預(yù)緊量減小，軸承響應(yīng)幅值逐漸變大，并由單周期運(yùn)動(dòng)經(jīng)倍周期分叉進(jìn)入多周期運(yùn)動(dòng)，然后經(jīng)準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)。在滿足軸承運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的條件下，為保證軸承的使用壽命和軸承的傳遞效率，應(yīng)選擇較小的軸向預(yù)緊力。

2）增加接觸角，軸承的振動(dòng)響應(yīng)幅值增加，軸承的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性降低。隨接觸角增加，軸承響應(yīng)幅值逐漸變大，并由單周期運(yùn)動(dòng)經(jīng)倍周期分叉進(jìn)入多周期運(yùn)動(dòng)，然后經(jīng)過不穩(wěn)定吸引子最終進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。為保證軸承的傳動(dòng)平穩(wěn)性，應(yīng)選擇較小接觸角。