鄭敏，劉成林，劉飛

（江南大學 自動化研究所，江蘇 無錫 214122）

目前，多智能體系統(tǒng)的分布式協(xié)調控制引起了眾多學者的關注，并得到了廣泛應用。一致性問題是多智能體系統(tǒng)協(xié)調控制的最簡單與最基本問題之一，得到了非常深入的研究，并取得了廣泛的研究成果。

近些年，一致性濾波問題[1]引起了部分學者的研究興趣，并在分布式估計、分布式傳感器網絡等領域得到應用。一致性濾波問題是指基于一致性協(xié)調控制的濾波算法，使每個智能體通過和相鄰智能體之間進行信息通信來達到相同的狀態(tài)；如果每個智能體漸近收斂到給定輸入的平均值，那么這就是平均一致性濾波問題[2]。Olfati-Saber等[3-5]分別提出了分布式低通一致性濾波和高通一致性濾波，它們通過追蹤網絡中所有智能體輸入的平均值來實現一致性濾波，但是存在估計誤差。針對文獻[3-5]中算法存在的誤差，涌現了一些改進算法來減少估計誤差[6-9]。Freeman等[7]提出了比例積分算法(proportional-integral algorithm)，證明了該算法在輸入是常量的情況下收斂一致。與文獻[7]相比，Bai等[8]運用內部模型原則[10]設計傳遞函數使每個智能體跟蹤所有時變輸入的平均值。Li等[11]對比例積分算法(PI)進一步研究，提出了改進的PI算法，并證明該算法收斂到定常輸入的加權平均值；同時，Li等[12]也提出一種新的混雜一致性濾波協(xié)議，給出了該協(xié)議分別在固定拓撲和切換圖下漸近一致的條件。

實際上，在多智能體協(xié)調控制網絡中，智能體之間進行信息傳輸伴隨著通信時延，會影響系統(tǒng)集體行為。目前，具有通信時延的一階和二階多智能體系統(tǒng)的一致性問題受到了學者的廣泛關注[13-18]。Olfati-Saber等[19]考察了具有通信時延的一階多智能體系統(tǒng)的一致性問題，給出了在相同通信時延作用下多智能體系統(tǒng)收斂一致的時延范圍。Wang等[20]基于圓盤定理和最大模原理，給出了智能體在具有不同通信時延的一階多智能體系統(tǒng)達到漸近一致的收斂條件。Lin等[21]分析了具有相同時延的二階多智能體系統(tǒng)的一致性問題，給出了一致性收斂的時延相關充要條件。針對具有不同時延的二階多智能體系統(tǒng)的一致性問題，Yang等[22]根據小增益穩(wěn)定性原理，分別得到具有時不變和時變通信時延的系統(tǒng)漸近達到一致的充要條件，并把結論運用到時延高階多智能體系統(tǒng)的一致性分析中。

本文研究具有定常輸入的二階多智能體系統(tǒng)的平均一致性濾波問題。在現有的一致性濾波算法基礎上，提出了一種比例積分算法(PI)，并考察多智能體系統(tǒng)在定常輸入和對稱連通拓撲結構下的收斂問題。利用Routh判據，得到二階多智能體系統(tǒng)漸近達到平均一致濾波的重要條件；根據Nyquist判據，分析了二階多智能體系統(tǒng)在相同通信時延約束下漸近收斂平均一致濾波的充分條件。

1 問題描述

1.1 連接拓撲圖

n 階 有向圖 G =(V,E,A)的組成部分包括：節(jié)點集V={v1,v2,···,vn}、 邊集 E ? V ×V以及加權鄰接矩陣A=[aij]∈ Rn×n。便于描述，節(jié)點的下標集表示為Γ ={1,2,···,n}。 在圖 G 中 ，節(jié)點i指 向節(jié)點 j的有向邊為eij=(i,j)∈E ， 對應的連接權值為 aij＞0，否則，aij=0 。 如果 aij=aji＞0 ， 則稱圖 G 是對稱的。節(jié)點i的鄰接集合定義為 Ni={j∈V:(i,j)∈ E}。根據鄰接矩陣寫出拉普拉斯矩陣 L =[lij](L ∈ Rn×n)，定義為

在圖 G 中，若節(jié)點i和 節(jié)點 j之間有一條路徑，那么稱節(jié)點 j和 節(jié)點i之間是可達的，若有一個節(jié)點從圖 G 中任意其他點是可達的，那么稱該節(jié)點是全局可達點。若圖 G 中包含全局可達點，那么該圖是連通的。

在本文中， I ∈ Rn×n表 示 n 階 單位矩陣，0n×n∈ Rn×n表示 n階零矩陣， 1n表 示向量 [1 ···1]∈ Rn， 0n表示向量[0 ···0]∈ Rn。

1.2 模型描述

n個二階智能體構成的二階多智能體系統(tǒng)為

式中： xi∈R、 vi∈R、 ui∈R 分 別表示智能體i的位置、速度和控制輸入。每個智能體有一個定常輸入為φi∈ R，如果：則稱多智能體系統(tǒng)式(1)解決平均一致濾波問題。

為解決二階多智能體系統(tǒng)的平均一致濾波問題，本文提出了比例-積分一致性濾波算法，即

式中： φi∈ R 和 ηi∈ R 分 別表示智能體i的輸入和內部狀態(tài)； k ∈R 、 γ ∈R 、 kp∈R 和 kI∈R為控制常數。不同于針對一階多智能體系統(tǒng)的平均一致濾波問題所提出的比例-積分一致性算法，本文直接采用一致性協(xié)調控制項的積分量 ηi加入控制算法中。

在式(2)作用下，系統(tǒng)式(1)的閉環(huán)形式為

2 一致性收斂分析

2.1 無時延情況

將式(3)表示為多變量形式

將式(4)進行Laplace變換，可得

其中

x(s)=[x1(s)x2(s)···xn(s)]T，v(s)=[v1(s)v2(s)···vn(s)]T，v(0)、 η (0)分別為智能體的位置、速度和內部狀態(tài)初始值。

1) k ＞0,γ ＞0；

2)kI＞ 0,k(γ+kpλi)＞ kIλi成立，其中， λi是拉普拉斯矩陣L的特征值，并且0 =λ1＜ λ2≤ λ3≤ ···≤ λn。

證明 證明過程分兩步。1) 利用Routh判據給出滿足傳遞函數矩陣(6)特征方程的根在左半平面的條件；2) 利用傳遞函數的終值定理來證明多智能體系統(tǒng)式(3)漸近達到平均一致性。

1) 令傳遞函數矩陣 P (s)的特征方程為

等價于

接下來，考察方程(9)的根的分布：

根據定理1的條件1)可得：特征方程式(10)有一個根 s =0，并且其他根為負實數。

當λi,i=2,3,···,n時，方程(9)的Routh陣列表為

當且僅當定理1中的條件1)和2)都成立，Routh陣列表第一列系數為正數，特征方程式(9)的根是負實數。

因此，當且僅當定理1的條件1)和2)都成立時，多智能體系統(tǒng)式(3)漸近達到一致，則c，其中c為常向量。

2)為了證明多智能體系統(tǒng)式(3)漸近達到平均一致濾波，分別證明式(5)滿足：

①的證明 在無向連通拓撲結構下，Laplacian矩陣 L 是實對稱的。 λ1=0 是 L 的一個單一特征值，對應的右特征向量為他 n ?1個特征值對應的特征向量為則 Q QT=I， Q LQT=diag{λ1,···,λn}。

通過計算，可得

式中

根據終值定理可得h1(0)=1ˉP(0)=diag{0,0,···,0}

②的證明 由①的證明可得：

綜合證明①和②，可以得到limt→∞xi(t)=即多智能體系統(tǒng)式(3)漸近達到平均一致濾波。

2.2 有時延情況

由于通信時延在多智能體系統(tǒng)協(xié)調控制中不可忽略，接下來考察式(2)在相同通信時延約束下的收斂問題：

在式(15)作用下，多智能體系統(tǒng)式(1)的閉環(huán)形式為

式中通信延時 τ ＞0。對式(16)進行Laplace變換得到

式中

定義一個向量w (s)=[w1(s)w2(s)···wn(s)]T，式(17)可進一步描述為

式中

定理2 假設多智能體系統(tǒng)式(16)的連接拓撲為對稱連通的。參數 k、γ、 kp、kI滿足定理1給出的條件，且(16)漸近達到平均一致濾波，如果條件：多智能體系統(tǒng)式

成立，其中 yi是式(20)的唯一正根：

在證明定理2之前，先給出2個有用的引理：引理1 考察函數：

假設滿足 c1＞0 、 c2＞0 、 c3＞0 和 c4＞0，那么在區(qū)間x∈(0,+∞)上 f (x)是單調下降的。

證明 對 f (x)關 于 x的導數：

由于 c1＞0 、 c2＞0 、 c3＞0 和 c4＞0，那么在區(qū)間x∈(0,+∞)上 f′(x)＜ 0始終成立，因此可得在區(qū)間x∈(0,+∞) 上 f( x)是單調下降的。

引理2 考慮3次多項式：

假設滿足系數 d1≥0并 且 d3＜0，根據韋達定理，滿足f1(x)=0只有唯一正根。

定理2證明 證明過程分兩步。1)利用頻域分析方法來給出使系統(tǒng)式(16)漸近達到平均一致濾波的通信時延 T 的范圍；2)利用終值定理證明多智能體達到平均一致性濾波。

1)根據式(19) Gτ(s)特征方程為

等價于

考察方程式(22)的根：

當 s =0時，特征方程式(22)變?yōu)?/p>

滿足 kIλi=0 ， 由于 λ1=0 ， 所以滿足 λ1=0 時 ， s =0是特征方程的單根。

當 s ≠0時，式(22)整理為閉環(huán)特征函數的形式：

開環(huán)特征函數為

當 s =jw，開環(huán)特征函數式(24)的頻率特性為

根據Nyquist判據，特征方程(22)的根是負實數，等價于 k (jw)的 Nyquist曲線不包圍 (? 1,j0)點。整理式(25)可得幅頻特性為

相頻特性為

接下來，考察 Ai(w)關 于 w 的 單調性。令 w2=y，考察函數

由于k2?2γ ≥0， 根據引理1可得 f (y)在 區(qū)間y∈(0,+∞)上 是單調下降的函數，即幅頻特性 Ai(w)隨 著 w的增大而下降。令 Ai(w)=1 ， 即f(y)=1 ，可得

由于k2?2γ ≥0， 根據引理2，方程式(29)在y∈(0,+∞)只 有一個正解 yi， 即 Ai(w)=1 ，在 w ∈(0,+∞)的解可 知，λi關 于 f (yi)是單調下降的，根據 f (yi)關 于 yi是 單調下降的，因此 λi關 于 yi是單調上升的。根據Nyquist判據，為了使 k (jw)奈奎斯特圖不包圍 (? 1,j0)點 ，當幅值 Ai(w)=1時，對應求得的相頻特性滿足

由式(27)得

因此，當條件1)和2)成立時，特征方程式(22)的根滿足： s =0為單根，非零根均具有負實部。

2)根據定理1中①的證明，可得

式中

根據 h1(0)=1，并結合式(32)和式(34)可得

根據終值定理

與定理1的②的證明類似，式(18)運用終值定理，可得

由于 aij=aji，得到

因此

根據式(41)，式(40)可以進一步表述為

根據定理2的證明，如果條件1)成立， λn≥ λi，yn≥ yi,i=2,3,···,n?1顯然成立。在條件1)和2)成立的前提下，如果式(27)中 β (w)在 w ∈[+∞)區(qū)間上單調減，則條件2)給出的時延條件為充分必要的。

3 數值仿真

3.1 無時延的二階多智能體系統(tǒng)

考察由5個智能體構成的多智能體系統(tǒng)，其拓撲結構是無向連通的(見圖1)。在連接拓撲中，智能體之間的連接權值是對稱的，分別為：a12=a21=1，a15=a51=1， a23=a32=1，a34=a43=1， a45=a54=1。計算可得，拉普拉斯矩陣 L 的特征值為：λ1=0,λ2=1.382,λ3=1.382,λ4=3.618,λ5=3.618。

圖1 包含4個多智能連接拓撲GFig. 1 Graphical topology of four agents

隨機設定智能體初始位置和初始速度，且內部狀態(tài)的初始值設為 η (0)=[2?1?3 2 0]T，滿足智能體的常量輸入為： φ =[8?2?20 1]T，則定常輸入的平均值為數分別為： k =1、 r =0.3、 kp=0.4。根據定理1，可得0＜kI＜0.483 。 當 0 ＜kI＜0.483時，智能體的位置軌跡漸近達到所有常量輸入的平均一致和速度軌跡趨于零，如圖2所示。當 kI≥0.483時，智能體的位置和速度發(fā)生振蕩(kI=0.483 ) 如圖3所示或發(fā)散(kI＞0.483)如圖4所示。

圖2 智能體的位置和速度(k I= 0.03)Fig. 2 Positions and velocities of agents with k I= 0.03

圖3 智能體的位置和速度(k I= 0.483)Fig. 3 Positions and velocities of agents with k I= 0.483

圖4 智能體的位置和速度(k I= 0.5)Fig. 4 Positions and velocities of agents with k I= 0.5

3.2 時延二階多智能體系統(tǒng)

針對具有通信時延的多智能體系統(tǒng)式(16)，選擇和3.1小節(jié)中的相同連接拓撲、連接權重以及控制參數： k =1、 γ =0.3、 kp=0.4 、 kI=0.03。顯然，定理2中的條件1)成立。根據式(20)和式(31)計算得：y2,3=0.311、 w2,3==0.5577、 T2,3=2.5414； y4,5=1.233、 w4,5==1.1105、 T4,5=0.7244。再根據定理2中的條件2)，系統(tǒng)式(16)漸近達到平均一致濾波的時延為 T ＜ 0.724 4 s。同時，在上述給定參數情況下，計算幅頻特性的導數，得

給定任意選擇智能體的初始狀態(tài)，且選擇x(t)=x(0),t∈ [?T,0]；選擇內部狀態(tài)的初始值為η(0)=[2?1?3 2 0]T， 滿足因此，當通信時延滿足 T ＜0.724 4 s，智能體的位置軌跡漸近達到常量輸入的平均值，且速度軌跡趨于零(如圖5所示)。圖6給定的通信時延是 T ＞0.724 4 s，各個智能體的狀態(tài)逐步發(fā)散，不滿足平均一致性。

圖5 智能體的位置和速度(T = 0.32 s)Fig. 5 Positions and velocities of agents with communication delay T = 0.32 s

圖6 智能體的位置和速度(T = 0.75 s)Fig. 6 Positions and velocities of agents with communication delay T = 0.75 s

4 結束語

針對具有定常輸入的二階多智能體系統(tǒng)的平均一致性濾波問題，本文研究對稱連通拓撲結構下的一致性算法的設計與分析。本文設計一種PI型一致性濾波算法。利用Routh判據，分析二階多智能體系統(tǒng)實現漸近平均一致濾波的充要條件。當系統(tǒng)存在通信時延的情況下，采用同步匹配的一致性算法形式，并利用Nyquist穩(wěn)定判據得到二階多智能體系統(tǒng)漸近收斂平均一致濾波的時延相關收斂條件，在特定參數條件下，該時延條件也是充要條件。