鄧云生，楊洪勇

（魯東大學 信息與電氣工程學院，山東 煙臺 264025）

隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的興起，許多現(xiàn)實世界中的系統(tǒng)都可以使用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進行描述。系統(tǒng)中的元素被視為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點，節(jié)點的邊用來表示元素之間的相互作用和關(guān)系。例如，現(xiàn)實社會中的演員合作網(wǎng)、交通運輸網(wǎng)、Internet網(wǎng)等都可以用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進行描述?，F(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)規(guī)模巨大，節(jié)點間聯(lián)系多而復(fù)雜的拓撲結(jié)構(gòu)引起許多學者的極大興趣，對其進行了大量的研究。

1 網(wǎng)絡(luò)博弈研究現(xiàn)狀

最為成功的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型當屬WS小世界網(wǎng)絡(luò)模型[1]和BA無標度網(wǎng)絡(luò)模型[2]。許多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)方面的研究都是基于這兩個模型而展開的。然而這兩個模型都有不足之處，不能真實再現(xiàn)現(xiàn)實中的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。WS模型具有與現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)相符合的高聚類系數(shù)特征，但其度分布為泊松分布，這與現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)不符。BA模型的度分布具有與現(xiàn)實相符的冪律特點，但其聚類系數(shù)卻很低，這一特征與現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)尤其是社會網(wǎng)絡(luò)的特征相去甚遠。

有鑒于此，Holmes和Kim[3]構(gòu)造了一種可調(diào)聚類系數(shù)的網(wǎng)絡(luò)模型(HK模型)，該模型利用一個可調(diào)參數(shù) pt通過不斷構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)的局部三角形結(jié)構(gòu)，最終形成一個同時具有高聚類特性和冪律分布特性的網(wǎng)絡(luò)。其基本思想是，考慮到聚類系數(shù)實際上描述的是第3個節(jié)點與前兩個節(jié)點一起形成三角形的概率，因此在網(wǎng)絡(luò)的形成過程中故意增大形成三角形的可能，則可實現(xiàn)改變聚類系數(shù)的目的。HK網(wǎng)絡(luò)模型提出后，許多學者在此基礎(chǔ)上對其進行了改進和研究。文獻[4]在HK網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上，通過引進新增節(jié)點所應(yīng)具備的連接動態(tài)性，改進了HK模型的局部特性；文獻[5]提出了度分布和聚類系數(shù)均可調(diào)的擴展HK模型，將HK網(wǎng)絡(luò)模型中的三角形結(jié)構(gòu)擴展到舊的節(jié)點之間；文獻[6]在HK模型基礎(chǔ)上引入加速增長機制，再現(xiàn)了真實網(wǎng)絡(luò)中低階冪律集團度分布特性；文獻[7]提出的改進HK網(wǎng)絡(luò)模型綜合考慮了“優(yōu)先連接”、“三角結(jié)構(gòu)”、“內(nèi)部演化”等機制；文獻[8]研究了基于HK模型的交通網(wǎng)絡(luò)，在此基礎(chǔ)上提出了一種新的路由算法，有效緩解了交通擁堵，大大提高了交通運輸?shù)呢撦d能力；文獻[9]進一步推廣了HK網(wǎng)絡(luò)，改進了HK網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造過程中兩步的連接方式，對同一時間內(nèi)采用度優(yōu)先連接的節(jié)點數(shù)量及其被連接的鄰居數(shù)量進行限制，構(gòu)造出一種新的具有冪律分布且平均聚類系數(shù)可調(diào)的網(wǎng)絡(luò)模型；文獻[10]研究了HK網(wǎng)絡(luò)上聚類系數(shù)對級聯(lián)故障的影響，研究結(jié)果表明，具有過高或過低聚類系數(shù)的網(wǎng)絡(luò)在面對蓄意攻擊時表現(xiàn)出脆弱性的一面，而具有適度聚類系數(shù)的網(wǎng)絡(luò)能更好地抵御級聯(lián)故障的傳播；文獻[11]研究了聚類系數(shù)在相互關(guān)聯(lián)的兩個HK網(wǎng)絡(luò)面臨蓄意攻擊時的作用，研究發(fā)現(xiàn)高聚類系數(shù)會增大網(wǎng)絡(luò)的脆弱性；文獻[12]提出了一個改進的在線社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型，并在HK網(wǎng)絡(luò)環(huán)境上進行仿真實驗，實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，謠言的傳播能力會隨著網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)的增加而得到抑制；文獻[13]在HK網(wǎng)絡(luò)模型上，采用Susceptible-Infective-Removal(SIR)模型進行傳播影響力的仿真實驗，得出了網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)的改變會對節(jié)點中心性指標的準確性產(chǎn)生重要影響的結(jié)論。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的博弈研究始于Nowak和May[14]研究的囚徒困境博弈在規(guī)則方格網(wǎng)絡(luò)上的動態(tài)演化，研究發(fā)現(xiàn)合作者在方格網(wǎng)絡(luò)上可以通過聚集來抵抗背叛策略入侵。受此影響，許多學者采用不同的博弈模型在不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上進行研究，得到了豐富的理論成果。例如，文獻[15]研究了可調(diào)聚類系數(shù)的無標度網(wǎng)絡(luò)上的合作現(xiàn)象，研究發(fā)現(xiàn)高聚類系數(shù)有利于網(wǎng)絡(luò)中合作行為的演化；文獻[16]研究了齊次網(wǎng)絡(luò)上的囚徒困境博弈，研究結(jié)果表明改變收益矩陣中的參數(shù)確實會影響系統(tǒng)的演化過程；Li等[17]在3種規(guī)則網(wǎng)絡(luò)上研究了雪堆博弈，研究發(fā)現(xiàn)在復(fù)制動力學策略調(diào)整規(guī)則下可以抑制合作行為的參數(shù)區(qū)間；Zhang等[18]研究了隨機規(guī)則網(wǎng)絡(luò)上的雪崩博弈，研究發(fā)現(xiàn)當雪崩博弈成本收益率較小時，系統(tǒng)演化為全面合作狀態(tài)，反之合作與背叛在系統(tǒng)中共生；文獻[19]研究了基于記憶效應(yīng)的囚徒博弈在相互依存網(wǎng)絡(luò)中的合作現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)了與記憶長度和依賴程度相關(guān)的最優(yōu)參數(shù)區(qū)間，可以極大地促進網(wǎng)絡(luò)中合作現(xiàn)象的涌現(xiàn)；文獻[20]研究了加權(quán)網(wǎng)絡(luò)空間上的囚徒博弈，通過仿真實驗發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)中合作者密度會隨網(wǎng)絡(luò)耦合程度的升高而變大；文獻[21]研究雙復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的囚徒博弈，可以提高合作的水平，同時也揭示雙網(wǎng)絡(luò)模型下背叛領(lǐng)袖對合作水平的影響及其與合作領(lǐng)袖的互動機理。

受以上研究啟發(fā)，本文提出了一種改進的HK網(wǎng)絡(luò)模型，改進后的模型在服從冪律分布且冪律可調(diào)的情況下與HK網(wǎng)絡(luò)模型相比具有更高的聚集系數(shù)。由于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的改變是影響演化博弈的一個重要因素，本文在改進的HK網(wǎng)絡(luò)模型上采用囚徒博弈模型，進一步研究了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對博弈中合作行為的影響。

2 改進的HK網(wǎng)絡(luò)模型

2.1 網(wǎng)絡(luò)模型內(nèi)部演化機制

現(xiàn)實的社會網(wǎng)絡(luò)中，相識的兩個人可能同時認識一個新的朋友，進而有一定的機率同時認識這個新朋友的朋友，本文提出的改進后的HK模型正是反映了這種情況。

HK網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造過程如下。

1)初始狀態(tài)：網(wǎng)絡(luò)初始狀態(tài)有m0個全連通節(jié)點。

2)增長機制：每一個時間步，向網(wǎng)絡(luò)中加入一個帶有 m條 邊的節(jié)點i 。連接過程中，節(jié)點i的第一條邊按照度優(yōu)先規(guī)則連接到網(wǎng)絡(luò)中已存在的節(jié)點 j，即選擇節(jié)點 j 的 概率為

3)其余 m ?1 條 邊以概率 p 隨 機連接到節(jié)點 j的鄰居上，否則以概率1 ?p使用度優(yōu)先規(guī)則在網(wǎng)絡(luò)中擇優(yōu)連接。

在此基礎(chǔ)上，本文提出了如下改進HK網(wǎng)絡(luò)模型(EHK)的演化機制。

1)初始狀態(tài): 網(wǎng)絡(luò)初始狀態(tài)有 m0個全連通節(jié)點。

2)增長機制: 每一個時間步，加入兩個連接在一起的節(jié)點，每個節(jié)點有 m 條邊。這兩個節(jié)點的每一條邊進行兩兩配對，共有 m 對邊與網(wǎng)絡(luò)中已經(jīng)存在的節(jié)點進行相連。這兩個節(jié)點之中的第一對邊按度優(yōu)先規(guī)則與網(wǎng)絡(luò)中已存在節(jié)點(例如選中節(jié)點j)進行連接。

3)其余 m ?1 對 邊，首先考慮以概率 p連接到節(jié)點 j的鄰節(jié)點上。在此過程中，若有 le n≥m?1 ( l e n為節(jié)點 j的鄰居節(jié)點數(shù)目)，可將 m ?1對邊隨機無重復(fù)連接到i的鄰節(jié)點上，否則 j的鄰節(jié)點全部與新加入的節(jié)點相連，多出的 m ?1?len對邊在全局按照度優(yōu)先規(guī)則進行連接。

4)若 m ?1 對 邊未能以概率 p 與 節(jié)點 j的鄰節(jié)點相連，則這 m ?1對邊在全局按照度優(yōu)先規(guī)則進行連接。

5)終止條件: 重復(fù) 2)、3)、4)步，直至網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N達到設(shè)定值。

2.2 EHK網(wǎng)絡(luò)模型演化動力學分析

根據(jù)EHK網(wǎng)絡(luò)模型演化機制，經(jīng)過t步 ，點i在t+1時 刻的度ki的動力學方程滿足:

式中 kj1,kj2,···,kjv為節(jié)點i的鄰居。

網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點每增加一條連邊，網(wǎng)絡(luò)中的度增加2。每一時刻網(wǎng)絡(luò)中增加2個節(jié)點，網(wǎng)絡(luò)中增加2m+1 條 連邊，網(wǎng)絡(luò)的度增加4 m +2。

解該方程:

將節(jié)點i看 作 ti時 刻進入網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點，則 ki=m+1；將 ki代入式(3)得

節(jié)點i的度為

假設(shè)等時間間隔向網(wǎng)絡(luò)中增加節(jié)點，則 ti的概率密度

進而有

由式 (7 )可 知，當 t → ∞時 ， p (k)≈ 2m2k?3?m1。

這表明，本文提出的EHK模型的度分布近似服從冪指數(shù) γ =3+m?1的 冪律分布。冪指數(shù) γ ∈(3,4]，這意味著EHK模型是一個非均勻的異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)。隨著 γ增大，EHK的度分布的均勻性也不斷增加。故EHK模型同時也是一個冪指數(shù)可調(diào)的冪律度分布網(wǎng)絡(luò)模型。

由網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)造算法可看出每一個時間步引入的節(jié)點與網(wǎng)絡(luò)中已存在的節(jié)點每進行一次成功連接，必然構(gòu)造出一個局部三角形結(jié)構(gòu)，通過聚類系數(shù)的定義直觀上可以看出由該演化機制構(gòu)造的網(wǎng)絡(luò)模型必然具有更高的聚類系數(shù)。

2.3 仿真分析

為驗證2.2節(jié)中的結(jié)論，檢驗提出的EHK網(wǎng)絡(luò)模型是否會繼承HK網(wǎng)絡(luò)模型度分布服從冪律分布這一特性，本文通過仿真實驗做出EHK網(wǎng)絡(luò)的度分布圖(見圖1)。圖1中網(wǎng)絡(luò)初始狀態(tài)為 m0=100，m=80， p =0.8 最終生成的網(wǎng)絡(luò)規(guī)模大小 N =11 000。由生成的結(jié)果度分布圖可看出EHK網(wǎng)絡(luò)的度分布具有冪律分布的特點，即絕大部分的節(jié)點度相對較低，但存在少量度值相對很高的節(jié)點，這類度值高的節(jié)點通常也被稱為hub節(jié)點。這類度分布服從冪律分布的網(wǎng)絡(luò)也被稱為冪律網(wǎng)絡(luò)。

圖1 EHK網(wǎng)絡(luò)節(jié)點度分布圖Fig. 1 Degree distribution of EHK networks

此外，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點i的聚類系數(shù)Ci的幾何定義為

對網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點的聚類系數(shù) Ci取平均值,就得到整個網(wǎng)絡(luò)的平均聚類系數(shù)CC，即

網(wǎng)絡(luò)的平均聚類系數(shù)CC可以用來描述網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點之間形成三角形結(jié)構(gòu)的趨勢。其值反映了網(wǎng)絡(luò)中三角結(jié)構(gòu)連接的密度。由網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)造算法可看出，每一個時間步引入的節(jié)點與網(wǎng)絡(luò)中已存在的節(jié)點每進行一次成功連接，必然構(gòu)造出一個局部三角形結(jié)構(gòu)。通過聚類系數(shù)的定義直觀上可以看出，由該演化機制構(gòu)造的網(wǎng)絡(luò)模型必然具有更高的聚類系數(shù)。

圖2中的仿真結(jié)果顯示了本文提出的網(wǎng)絡(luò)模型的聚類系數(shù)與HK模型平均聚類系數(shù)的比較，初始條件為 m0=10， m =4 ， 最終生成網(wǎng)絡(luò)規(guī)模 N =5 000，圖中每一個數(shù)據(jù)是10組運算取平均值后所得到的結(jié)果。

圖2 EHK網(wǎng)絡(luò)與HK網(wǎng)絡(luò)平均聚類系數(shù)對比Fig. 2 Comparison of the average clustering coefficient between EHK and HK

由仿真結(jié)果可見，相同條件下，聚類系數(shù)的值隨可調(diào)節(jié)概率 p 的值增加而增加；概率 p相同時，采用新算法生成網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)要高于HK算法生成網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)。此外，在求得各個節(jié)點的聚類系數(shù)基礎(chǔ)上，還可以進一步定義度為k的節(jié)點的聚類系數(shù)平均值并將其表示為節(jié)點度的函數(shù)，即

其中 ωkik定義為

研究表明，許多真實網(wǎng)絡(luò)的 C (k)分布服從冪律分布，即 C (k)～ k?γ(γ ＞ 0)。對圖1中的網(wǎng)絡(luò)，做出其聚類系數(shù)與節(jié)點度相關(guān)性曲線(見圖3)。由圖3仿真結(jié)果可知，EHK網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的平均聚類系數(shù)隨著節(jié)點度數(shù) k的增大而減小，即EHK網(wǎng)絡(luò)中度數(shù)大的節(jié)點具有較小的平均聚類系數(shù)，而度數(shù)小的節(jié)點的平均聚類系數(shù)較大。這也說明，EHK網(wǎng)絡(luò)中度數(shù)較小的節(jié)點及其鄰接點之間的聯(lián)系更加緊密。

圖3 平均聚類系數(shù)C (K)與度的關(guān)系Fig. 3 Relation between the average clustering coefficient and degree k

真實世界的網(wǎng)絡(luò)往往為冪律網(wǎng)絡(luò)，且具有高聚類的特性。由圖1和圖2的分析可知，本文構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)模型成功再現(xiàn)了這兩個特征，并且圖3的仿真結(jié)果也說明本文構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)符合現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)的特征，由此可見本文所構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)模型能夠很好地描述真實網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特性。

3 EHK網(wǎng)絡(luò)上囚徒博弈

3.1 囚徒博弈模型

在囚徒困境博弈模型(prisoner’s dilemma game，PDG)中，每個人都有兩種選擇合作(cooperation，C)與背叛 (defection，D)。其收益矩陣為

式中：最左側(cè)一列代表自己的選擇；最上面一行代表對方的選擇；R為相互合作的獎勵，即(C, C)策略組合中，選擇C策略所獲得的個體收益；S為給傻瓜的報酬，即(C, D)策略組合中選擇D策略所獲得的個體收益；T為背叛的誘惑(temptation to defect)，即(D, C)策略組合中，選擇D策略的個體收益；P為相互背叛的懲罰，即(D, D)策略組合中，采用D 策略的個體收益，且滿足 T ＞R＞P＞S，2R＞T+S。在上述情形下，理性的參與者總是會選擇背叛策略作為自己的最佳策略，但從總體而言只有都選擇合作策略才能使收益達到最大。然而當理性的參與者相互背叛時，沒有參與者愿意單方面改變自己的策略，因為這樣做會降低自身的收益，因此相互背叛狀態(tài)(D, D)就構(gòu)成了囚徒博弈的納什均衡狀態(tài)。

本文提出的EHK網(wǎng)絡(luò)中每一個節(jié)點代表一個博弈個體。采用由Nowak和May提出的簡化的單參數(shù)囚徒博弈模型，其收益矩陣為式中 b ＞1。 令 S代表博弈個體的策略類型，其取值為[1 0]T( 代表合作)或 [0 1]T( 代表背叛)；個體i與其鄰居 j進行一次博弈所得收益 ui可 以表示為 ui=STiPSj，在每一輪博弈過程中，每個博弈個體都與自己直接相連的鄰居進行博弈，將博弈個體i得到的收益總和記為

式中 ?i為 i的所有鄰居節(jié)點集合。然后所有個體更新它們的策略，即個體i 隨機選擇自己的鄰居 j，比較它們的收益，若有 ui≥uj， 則個體i在下一輪中采取的博弈策略不變；否則個體i將 以概率 pi←j采取其鄰居j的策略進行下一輪博弈。其中

此外合作者密度 ρc(t)是用來刻畫網(wǎng)絡(luò)博弈行為的重要物理量，其定義為采取合作策略的博弈個體占所有博弈個體的比例，即 ρc(t)=nc(t)N?1， nc(t)表示t博弈時采用合作策略的博弈個體數(shù)量。在網(wǎng)絡(luò)科學研究的過程中通常會關(guān)注某一類節(jié)點的整體行為。當網(wǎng)絡(luò)博弈進行的某一時刻，網(wǎng)絡(luò)中采取合作策略的節(jié)點比例趨于穩(wěn)定不再發(fā)生變化，則稱這些采取合作策略的節(jié)點達到合作穩(wěn)定狀態(tài)。這種多數(shù)節(jié)點的合作穩(wěn)定狀態(tài)也正是本文需要研究的內(nèi)容。博弈初始時刻，采用合作策略和背叛策略的博弈個體均以50%的比例隨機存在于生成的EHK網(wǎng)絡(luò)中，每個博弈個體根據(jù)其初始策略和收益矩陣按照式(1)計算其收益總和，然后根據(jù)策略更新規(guī)則式(15)更新其策略，更新完后的策略作為博弈個體下一輪博弈中使用的策略。每一次博弈策略的更新會使合作者密度 ρc(t)在下一次博弈之前發(fā)生變化，隨著博弈的不斷進行，合作者密度 ρc(t)會逐漸達到動態(tài)平衡狀態(tài)。博弈演化流程如圖4所示。

3.2 仿真分析

3.2.1 高聚類特性對合作行為的影響

由第2節(jié)的研究可知，相同條件下可調(diào)節(jié)概率p的值越大，其生成網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)越高，故可直接用 p值對網(wǎng)絡(luò)動力學特征進行討論。在由 m0=m=2、T=1.5生 成 N =1 000的EHK網(wǎng)絡(luò)上進行博弈，初始時采用合作策略的個體和采用背叛策略的個體均以50%的比例隨機存在于網(wǎng)絡(luò)中，博弈演化規(guī)則如圖4所示，博弈次數(shù)1 000次，取最后50次博弈中合作者密度的平均值為達到動態(tài)平衡時的合作者密度，記為 fc仿真結(jié)果如圖5所示。

圖4 博弈演化流程Fig. 4 Process of game evolution

圖5 合作者比例隨聚類系數(shù)變化Fig. 5 Variation in the partner proportion and clustering coefficient

圖5 中每個數(shù)據(jù)是相同初始條件下10次重復(fù)實驗所得到的平均值。由圖5仿真結(jié)果可知合作者比例維持在0.75以上，這充分表明EHK網(wǎng)絡(luò)對合作行為具有較大的促進作用。其原因是，EHK網(wǎng)絡(luò)是高聚類異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)，其中必然會存在許多具有多三角形結(jié)構(gòu)的高連接度的hub節(jié)點，若hub節(jié)點選擇合作策略，由于其采用累計收益的計算方式，會使hub節(jié)點獲得較高的收益，由式(15)可知其所采用的合作策略容易被其低收益的鄰居節(jié)點采納。由式(13)可知采用(C, C)策略的雙方收益都為1，而hub節(jié)點采用累計收益的計算方式，會使其始終成為被模仿的對象，這有利于合作行為在網(wǎng)絡(luò)中進行傳播。

若hub節(jié)點初始采用背叛策略，則由累計收益的計算方式和式(13)可知，hub節(jié)點會從其大量采用合作策略的鄰居中獲得較高的收益，由博弈演化策略可知，這些采用背叛策略的鄰居在進行策略調(diào)整時會模仿hub節(jié)點的背叛策略，而由式(13)可知采用(D, D)策略的雙方收益為零，故在下一次的網(wǎng)絡(luò)博弈中hub節(jié)點的收益會隨著采用背叛策略鄰居增多而大幅下降。

隨著網(wǎng)絡(luò)博弈的進行，hub節(jié)點的收益會下降到使其本身所采用的背叛策略不再是其鄰居節(jié)點模仿的對象，進而在某一時刻hub節(jié)點會模仿其鄰居的合作策略，此時利用其hub節(jié)點本身具有的多連接的資源優(yōu)勢隨著網(wǎng)絡(luò)博弈的進一步演化會逐漸使其采用的合作策略成為被鄰居節(jié)點模仿的對象。

由上述分析可知合作策略容易占據(jù)網(wǎng)絡(luò)中的高度連接的hub節(jié)點，進而影響其周圍鄰居也采用合作策略，促進在EHK網(wǎng)絡(luò)上合作現(xiàn)象的涌現(xiàn)。

3.2.2 背叛的誘惑對合作行為的影響

本節(jié)考慮收益矩陣式(13)中參數(shù) b(背叛的誘惑)增大時，對網(wǎng)絡(luò)上博弈個體的合作行為的影響。在初始狀態(tài)為 m0=m=2 ， 規(guī)模 N =1 000的EHK網(wǎng)絡(luò)上進行80次博弈后的仿真結(jié)果(見圖6)。由圖6可見，無論可調(diào)概率 P 值取多大，當誘惑參數(shù) b值增大時，群體中合作者的均衡密度 fc都呈現(xiàn)出減小的趨勢。這是因為，當誘惑參數(shù) b增大時節(jié)點采取背叛策略將得到更大的收益，而采取合作策略的節(jié)點的收益并沒有增加。由策略調(diào)整式(14)可知，這將會增大兩者收益之差，進而會加大合作者模仿背叛者的概率，從而在宏觀上表現(xiàn)為合作者的密度 fc的值下降。然而，合作者均衡密度雖然整體呈現(xiàn)下降趨勢，但下降幅度并不大，這種較小的降幅主要是因為EHK網(wǎng)絡(luò)的空間結(jié)構(gòu)對合作行為在囚徒博弈上的影響。過高的聚類系數(shù)使得網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的聯(lián)系更加密切，必然會使得低連接度的節(jié)點在高連接度的節(jié)點周圍形成三角結(jié)構(gòu)，這種三角結(jié)構(gòu)會使得當高度節(jié)點偶爾采用背叛策略時，低度節(jié)點仍然保持合作策略不變[14]。大量的這種三角形結(jié)構(gòu)會在空間集結(jié)成簇，共同抵御背叛策略的入侵。

圖6 合作者密度與欺騙誘惑關(guān)系Fig. 6 Relationship between the partner density and deception temptation

此外，圖6也從另一方面說明網(wǎng)絡(luò)中這種擁有大量鄰居節(jié)點的hub節(jié)點往往受到合作策略的眷顧，并且會在欺騙誘惑增大的情況下，起到阻礙背叛策略傳播的作用。

4 結(jié)束語

本文在HK網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)上提出了一種高聚類冪律可調(diào)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模型，該模型與原HK網(wǎng)絡(luò)模型相比具有更高的聚類系數(shù)。進一步在此模型基礎(chǔ)上進行博弈演化策略的研究，研究結(jié)果表明高聚類冪律可調(diào)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有利于促進博弈中合作現(xiàn)象的涌現(xiàn)，并且隨著博弈模型中誘惑參數(shù)的增大合作者所占比例會隨之降低。