凌冠耀 劉建群 高偉強(qiáng)

(廣東工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，廣東省微納加工技術(shù)與裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東廣州510006)

示教再現(xiàn)是目前主流的工業(yè)機(jī)器人操作控制方式。常用的示教方法包括示教盒示教、操縱桿示教、主從機(jī)器人示教和直接示教等。與其它示教方法相比，直接示教機(jī)器人能以直接拖動(dòng)方式實(shí)現(xiàn)復(fù)雜軌跡的示教，具有操作簡(jiǎn)單、示教方便等優(yōu)點(diǎn)，在噴涂、弧焊、拋光等任務(wù)軌跡復(fù)雜的工業(yè)加工領(lǐng)域具有較高的應(yīng)用價(jià)值。

對(duì)于直接示教機(jī)器人，示教過程中的人手抖動(dòng)會(huì)直接反映到示教軌跡中，使機(jī)器人在再現(xiàn)過程中產(chǎn)生振動(dòng)。限制了直接示教機(jī)器人在末端位姿要求較高的機(jī)器人表面加工領(lǐng)域中的應(yīng)用，并降低了機(jī)器人的使用壽命和機(jī)械性能。因此，在最大限度地還原示教軌跡的同時(shí)減少再現(xiàn)過程中出現(xiàn)的振動(dòng)對(duì)提高直接示教型機(jī)器人的適用性具有重要意義。

傳統(tǒng)工業(yè)機(jī)器人的軌跡研究主要集中在機(jī)器人關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃［1］和以時(shí)間(能耗)為目標(biāo)的軌跡優(yōu)化問題［2－4］，但此類方法得到的末端軌跡難以滿足噴涂、弧焊等直接示教機(jī)器人應(yīng)用場(chǎng)景的精度要求。為了獲得高精度的末端軌跡，文獻(xiàn)［4］提出了基于NURBS樣條的機(jī)器人笛卡爾空間軌跡規(guī)劃方法，并對(duì)末端速度進(jìn)行了控制，但該方法沒有考慮任務(wù)軌跡中的姿態(tài)變化。文獻(xiàn)［5］利用四元數(shù)圓弧函數(shù)實(shí)現(xiàn)了高精度的位姿軌跡規(guī)劃，但該方法主要針對(duì)空間圓弧軌跡，無法直接適用于直接示教機(jī)器人的位姿平滑優(yōu)化。

針對(duì)直接示教機(jī)器人的末端軌跡優(yōu)化問題，提出了一種基于曲線擬合的位姿優(yōu)化方法。分別利用B樣條曲線和四元數(shù)曲線對(duì)直接示教軌跡進(jìn)行擬合，給出了一種基于泰勒展開的四元數(shù)曲線插補(bǔ)方法，有效地還原了示教軌跡，減小了機(jī)器人末端的加速度波動(dòng)，從而減小了直接示教機(jī)器人在再現(xiàn)過程中的振動(dòng)。

1 軌跡預(yù)處理

在直接示教過程中，機(jī)器人控制器對(duì)各關(guān)節(jié)編碼器進(jìn)行高頻采樣獲得的稠密示教軌跡數(shù)據(jù)存在大量冗余信息，為了提高優(yōu)化處理效率，以時(shí)間間隔為α對(duì)示教軌跡進(jìn)行重采樣，得到的采樣軌跡記為 M，軌跡中的位姿信息可以用機(jī)器人末端相對(duì)于基坐標(biāo)系的齊次變換矩陣表示:

式中:Ri∈!3×3為第i個(gè)軌跡點(diǎn)相對(duì)于機(jī)器人基坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換;Pi∈!3×1為第i個(gè)軌跡點(diǎn)的機(jī)器人末端坐標(biāo)系相對(duì)于機(jī)器人基坐標(biāo)系的平移變換。記機(jī)器人末端位置集合為旋轉(zhuǎn)變換集合為

為了更好地對(duì)采樣軌跡中的姿態(tài)信息進(jìn)行處理，引入單位四元數(shù)對(duì)采樣軌跡中的姿態(tài)信息進(jìn)行描述。單位四元數(shù)具有以下形式:

式(2)可以表示為以θ為旋轉(zhuǎn)角，n為旋轉(zhuǎn)軸的三維空間旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

根據(jù)文獻(xiàn)［6］，可以把旋轉(zhuǎn)矩陣序列R轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的單位四元數(shù)序列

2 位姿擬合

式中:di是B樣條曲線控制頂點(diǎn);Ni，3u()為定義在節(jié)點(diǎn)矢量U上的3次B樣條基函數(shù)。Ni，k滿足如下遞推關(guān)系:

得到位置曲線后，考慮構(gòu)造四元數(shù)曲線對(duì)示教軌跡中的姿態(tài)信息進(jìn)行插值擬合。四元數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算定義為:

其中:φi為控制頂點(diǎn);Ni，3(γ)為定義在節(jié)點(diǎn)矢量 Γ 上的3次B樣條基函數(shù)。對(duì)序列ρ{ρi}ni=1進(jìn)行弦長(zhǎng)參數(shù)化獲得節(jié)點(diǎn)矢量Γ后，控制頂點(diǎn)φi可以根據(jù)文獻(xiàn)［8］進(jìn)行求解。最后，利用指數(shù)映射，得到四元數(shù)曲線:

3 軌跡生成

為了獲得離散的軌跡點(diǎn)序列，根據(jù)采樣軌跡的時(shí)間位移關(guān)系，對(duì)擬合曲線進(jìn)行插補(bǔ)。假設(shè)兩個(gè)時(shí)間間隔為α的采樣軌跡點(diǎn)的位置分別為P βi( )、P(βi+1)，由于插值曲線會(huì)經(jīng)過所有的采樣點(diǎn)，兩個(gè)采樣點(diǎn)間的軌跡位移為這兩個(gè)采樣點(diǎn)間的曲線段弧長(zhǎng)，則P βi( )、P(βi+1)兩點(diǎn)間的位移為:

上述積分可以通過常用的辛普森積分公式進(jìn)行求解。記 P βi+1( )處的累計(jì)位移為L(zhǎng)i=Li－1+ΔL，P βi+1( )在示教軌跡中對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為Ti=Ti－1+α，以時(shí)間及對(duì)應(yīng)的累計(jì)位移作為約束，利用三次樣條插值［9］對(duì)位移進(jìn)行插值，并根據(jù)時(shí)間分割法獲得每個(gè)時(shí)間間隔對(duì)應(yīng)的末端空間位移增量序列。姿態(tài)角位移增量序列的計(jì)算方法與之類似，在此不再贅述。

得到位移增量以后，采用泰勒展開法對(duì)位姿擬合曲線進(jìn)行插補(bǔ)。參數(shù)τ在τ=τi處的一階泰勒展開式為:

式中:ΔT為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)插補(bǔ)周期，HOT為泰勒余項(xiàng)。

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，采用一階泰勒展開式進(jìn)行插補(bǔ)。對(duì)于位置擬合曲線P(u)，在t=ti時(shí)刻瞬時(shí)速度可表示為:

把公式(11)代入公式(10)可得，機(jī)器人位置曲線的插補(bǔ)參數(shù)迭代式為:

為了對(duì)機(jī)器人姿態(tài)曲線的運(yùn)動(dòng)速度進(jìn)行控制，對(duì)位置軌跡的插補(bǔ)方法進(jìn)行推廣，給出了一種四元數(shù)曲線插補(bǔ)方法。假設(shè)四元數(shù)曲線角位移關(guān)于參數(shù)γ的函數(shù)為Θ(γ)，角速度關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)為ω( t)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可知:

根據(jù)文獻(xiàn)［10］，單位四元數(shù)曲線角速度關(guān)于參數(shù)γ的函數(shù)可以表示為:

把式(14)代入式(13)，得到的四元數(shù)曲線姿態(tài)瞬時(shí)角速度可以通過公式(15)表示:

令τ=γ，把式(15)代入式(10)，可得四元數(shù)曲線插補(bǔ)式為:

4 實(shí)驗(yàn)

以自行研制的六關(guān)節(jié)直接示教噴涂機(jī)器人為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，對(duì)所研究的軌跡優(yōu)化算法進(jìn)行評(píng)估驗(yàn)證。機(jī)器人如圖1所示。

以一個(gè)實(shí)際噴涂工序?yàn)槔?。在示教階段，機(jī)器人以固定的時(shí)間間隔實(shí)時(shí)對(duì)各關(guān)節(jié)編碼信息進(jìn)行采樣，通過所獲示教關(guān)節(jié)角序列可以生成末端示教軌跡。截取該示教軌跡中一段總位移為3 222.237 mm的連續(xù)示教軌跡片段作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，經(jīng)過算法處理得到優(yōu)化軌跡。下面分別從軌跡誤差和運(yùn)動(dòng)情況兩個(gè)方面對(duì)上文提出的算法進(jìn)行分析驗(yàn)證。

示教軌跡與優(yōu)化軌跡的末端位置對(duì)比如圖2。示教軌跡與優(yōu)化軌跡末端姿態(tài)歐拉角對(duì)比如圖3。其中，實(shí)線為示教軌跡，虛線為優(yōu)化軌跡。從圖2、圖3中可以看出，經(jīng)過優(yōu)化處理后的機(jī)器人末端位姿優(yōu)化軌跡與原示教軌跡基本保持一致。

進(jìn)一步對(duì)軌跡誤差進(jìn)行評(píng)價(jià)，以示教軌跡點(diǎn)Pi與優(yōu)化軌跡點(diǎn)P'i之間的距離e作為位置誤差進(jìn)行計(jì)算:

機(jī)器人優(yōu)化軌跡與示教軌跡末端位置誤差分布如圖4，歐拉角誤差分布如圖5。經(jīng)過計(jì)算，優(yōu)化軌跡最大位置誤差為3.197 mm，平均軌跡誤差為0.229 mm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.468 mm。從圖4的位置誤差分布中可以看出，優(yōu)化軌跡與示教軌跡整體誤差較小，且在平均誤差附近的分布較為集中，雖然個(gè)別軌跡點(diǎn)與示教軌跡存在較大的位置誤差，但考慮到示教軌跡中可能存在孤立的噪聲點(diǎn)，而且這些點(diǎn)在總體上占比較小，可以忽略其影響。

優(yōu)化軌跡的歐拉角誤差如表1所示。從表1可以看出優(yōu)化軌跡的歐拉角誤差較小，能夠滿足機(jī)器人實(shí)際使用要求。

表1 優(yōu)化軌跡的歐拉角誤差 rad

對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行綜合分析，算法處理后的優(yōu)化軌跡與原始示教軌跡間的誤差較小，能夠很好地對(duì)示教軌跡進(jìn)行還原。

為了對(duì)算法的優(yōu)化效果進(jìn)行驗(yàn)證，分別對(duì)示教軌跡與優(yōu)化軌跡的位姿速度、加速度曲線進(jìn)行分析對(duì)比。機(jī)器人末端軌跡位置的速度、加速度對(duì)比如圖6、圖7所示，機(jī)器人末端姿態(tài)的速度、加速度對(duì)比如圖8、圖9所示，其中，虛線為示教軌跡，實(shí)線為優(yōu)化軌跡。

可以直觀地看出，經(jīng)過優(yōu)化處理后的機(jī)器人末端軌跡運(yùn)動(dòng)速度曲線具有更好的光順性，并顯著地減小了機(jī)器人末端位姿軌跡的加速度波動(dòng)。將優(yōu)化軌跡轉(zhuǎn)換為關(guān)節(jié)角序列，在機(jī)器人上進(jìn)行再現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，所提出的算法有效減小了再現(xiàn)過程中的振動(dòng)。

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)機(jī)器人直接示教軌跡平滑性差、加速度變化頻繁導(dǎo)致機(jī)器人在再現(xiàn)過程中出現(xiàn)振動(dòng)的問題，提出了基于曲線擬合的位姿優(yōu)化算法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法能在還原示教軌跡的同時(shí)有效減小機(jī)器人再現(xiàn)過程中的振動(dòng)，對(duì)提高直接示教機(jī)器人在工業(yè)加工領(lǐng)域的適用性具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。在進(jìn)一步的研究中，將對(duì)擬合方法進(jìn)行改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)對(duì)軌跡誤差的控制。