于秀濤，姚方方

（黃河交通學(xué)院 汽車工程學(xué)院，河南 焦作 454950）

1 引言

環(huán)槽等速傳動(dòng)機(jī)構(gòu)能夠解決擺線鋼球行星傳動(dòng)減速嚙合副的偏心問題，且能夠?qū)崟r(shí)消除嚙合副磨損間隙，實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的無隙嚙合傳動(dòng)，使擺線鋼球行星傳動(dòng)成為精密傳動(dòng)中非常重要的高性能傳動(dòng)裝置，在精密機(jī)械如機(jī)器人、機(jī)械手、伺服傳動(dòng)機(jī)構(gòu)、航空航天等經(jīng)常頻繁往復(fù)工作的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中具有很好的應(yīng)用前景[1-2]。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)安裝有環(huán)槽等速傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的擺線鋼球行星傳動(dòng)進(jìn)行了較多的研究。文獻(xiàn)[3-5]對(duì)擺線鋼球傳動(dòng)結(jié)構(gòu)組成、傳動(dòng)原理、行星運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、齒形綜合方法、齒廓曲線解析式等進(jìn)行了較深入的理論研究。文獻(xiàn)[6]在建立理論分析數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，分析了減速嚙合副在嚙合傳動(dòng)過程中相對(duì)滑動(dòng)速度和滑動(dòng)率的變化規(guī)律，并繪制了變化曲線圖；文獻(xiàn)[7]建立嚙合副兩點(diǎn)接觸力學(xué)模型，推導(dǎo)出機(jī)構(gòu)彈性回差公式，并分析參數(shù)對(duì)彈性回差的影響；文獻(xiàn)[8]用陶瓷球代替鋼球進(jìn)行了相關(guān)理論分析與結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)；文獻(xiàn)[9]建立了擺線鋼球傳動(dòng)嚙合剛度模型，分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)嚙合剛度的影響規(guī)律，并利用擺線鋼球嚙合副的嚙合剛度推導(dǎo)出行星傳動(dòng)部分的等效扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算公式。目前為止，尚未有文獻(xiàn)對(duì)擺線鋼球行星傳動(dòng)等速嚙合副磨損后的軸向間隙消除（補(bǔ)償）實(shí)現(xiàn)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的精密傳動(dòng)進(jìn)行研究，未有文獻(xiàn)支持機(jī)構(gòu)磨損后能夠?qū)崿F(xiàn)精密傳動(dòng)這一結(jié)論。

利用力學(xué)中超靜定方法，通過變形協(xié)調(diào)方程和力矩平衡方程推導(dǎo)嚙合點(diǎn)法向力計(jì)算公式，求得行星盤和輸出軸上的嚙合點(diǎn)速度以及鋼球中心的速度，獲得嚙合點(diǎn)滑動(dòng)速度，得到嚙合點(diǎn)磨損率計(jì)算公式，將每次運(yùn)行產(chǎn)生的磨損量代入法向力計(jì)算公式，獲得法向力循環(huán)計(jì)算公式，并定義法向力變化率和磨損率變化率，以描述嚙合副的磨損規(guī)律。

2 嚙合力計(jì)算

受力分析，如圖1所示。利用機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化法，將輸出軸固定，行星盤做平動(dòng)。在輸出軸上建立相對(duì)坐標(biāo)系XO1Y，利用力學(xué)中超靜定的方法，對(duì)鋼球系加一個(gè)順時(shí)針方向的力矩M0，傳力接觸點(diǎn)法向接觸變形為δj鋼球系整體轉(zhuǎn)角為Δα0。受力分析，如圖1所示。變形協(xié)調(diào)方程為：

式中：lj＝Rwsinφj

接觸點(diǎn)法向力為：Nj＝kg0

式中：kg0—嚙合點(diǎn)剛度系數(shù)[10]。

圖1 受力分析圖Fig.1 Force Analysis Diagram

根據(jù)行星盤的力矩平衡方程，可得：

式中：Z—鋼球數(shù)

3 嚙合點(diǎn)滑動(dòng)速度計(jì)算

嚙合點(diǎn)位置，如圖2所示。根據(jù)等速機(jī)構(gòu)的平行四邊形原理可知，等距線之間的距離必須與輸入軸偏心距e相等，才能夠?qū)崿F(xiàn)機(jī)構(gòu)的等速傳遞。為了保證機(jī)構(gòu)有一定的承載能力，嚙合點(diǎn)不在等速線上，嚙合點(diǎn)處存在滑動(dòng)。在對(duì)等速機(jī)構(gòu)嚙合點(diǎn)滑動(dòng)速度進(jìn)行分析時(shí)，認(rèn)為鋼球幾何中心與理論位置點(diǎn)重合。鋼球與輸出軸在A點(diǎn)相切，鋼球與行星盤在D點(diǎn)相切，Oqj為鋼球中心。

圖2 嚙合點(diǎn)位置圖Fig.2 Meshing Point Location Map

鋼球幾何中心Oqj的切向速度為：

式中：ω—輸入軸角速度，ω＝iωc；ωc—輸處軸角速度；i—傳動(dòng)比。

輸出軸上A點(diǎn)切向速度為：

行星盤上D點(diǎn)的切向速度為：

由以上三個(gè)式子可知兩嚙合點(diǎn)的滑動(dòng)速度之和為：

由上式和式（2）、式（3）、式（4）聯(lián)立，可得兩嚙合點(diǎn)的滑動(dòng)速度之和為：

嚙合點(diǎn)在等速線上嚙合副能夠?qū)崿F(xiàn)純滾動(dòng)。此時(shí)，機(jī)構(gòu)環(huán)形槽內(nèi)側(cè)無法承載，機(jī)構(gòu)不能夠?qū)崿F(xiàn)精密傳動(dòng)。因此，為保證機(jī)構(gòu)的連續(xù)傳動(dòng)，嚙合點(diǎn)滑動(dòng)速度之和始終為負(fù)值。由于行星盤與輸出軸上嚙合點(diǎn)處機(jī)構(gòu)形狀尺寸相同，則根據(jù)滑移理論，認(rèn)為兩嚙合點(diǎn)處的滑動(dòng)速度相同，均為Δv1/2。

4 環(huán)槽磨損分析計(jì)算

4.1 磨損率計(jì)算

磨損深度變化率Δδ′為：

式中：p—Nj名義壓力，p=Nj/Sj，Sj名義面積，法向力；E—綜合彈性系數(shù)；k1—磨損系數(shù)；σp—符合標(biāo)準(zhǔn)差；1/Rp—復(fù)合平均曲率。

4.2 循環(huán)迭代計(jì)算

在第n次循環(huán)時(shí)，接觸點(diǎn)法向力為：

式中：t—次循環(huán)內(nèi)接觸點(diǎn)參與磨損時(shí)長(zhǎng)

輸出力矩與法向力產(chǎn)生的力矩相平衡，可得：

令：f（φj）=（Δαnljcosβ-Δδjn）3/2

將上式在φj=π/4處泰勒展開，得：

將式（10）代入式（9），可解得Δαn，將式 Δαn代入式（7）得前半周期法向力具體表達(dá)式。

法向力變化率定義如下：ηfn=（Njn-Nj（n-1））/Nj（n-1）

磨損率變化率定義如下：ηmn=（δjn-δj（n-1））/δj（n-1）

步長(zhǎng)不同得到的磨損率變化率不同，隨著步長(zhǎng)的增加變化率變大。因此在精度達(dá)到計(jì)算要求的情況下，步數(shù)應(yīng)取較大值，以減少計(jì)算量，取步長(zhǎng)λ=300轉(zhuǎn)。

5 磨損補(bǔ)償平衡分析

兩嚙合點(diǎn)處尺寸參數(shù)相同，則在計(jì)算過程中，假設(shè)滑動(dòng)速度平均分配。嚙合點(diǎn)產(chǎn)生的磨損量與機(jī)構(gòu)尺寸相比較小，則在迭代過程中，認(rèn)為速度不發(fā)生改變。

法向力在每一次磨損之后均發(fā)生變化，多次磨損之后法向力變化率趨近零，如圖3所示，曲線關(guān)于φj=π對(duì)稱。循環(huán)過程中變化率始終為零的點(diǎn)對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)角為φj=1.382rad、φj=2.892rad、φj=3.391rad、φj=4.902rad，在區(qū)間（1.382，2.892］∪（3.391，4.902］內(nèi)，法向力變化率ηjn為正值，隨著循環(huán)次數(shù)的增加各點(diǎn)變化率不斷減小，經(jīng)過多次循環(huán)之后趨近于零；在區(qū)間（0，1.382］∪（2.892，3.391］∪（4.902，2π］內(nèi)，法向力變化率 ηfj為負(fù)值，隨著循環(huán)次數(shù)的增加各點(diǎn)變化率不斷增大，經(jīng)過多次循環(huán)之后趨近于0。

圖3 法向力變化率變化圖Fig.3 Variation of Normal Force

磨損率變化率隨循環(huán)次數(shù)的變化，如圖4所示。由圖可知，磨損率變化率的變化規(guī)律與法向力變化率的變化規(guī)律相似。在循環(huán)計(jì)算過程中，變化率始終無變化的點(diǎn)為（1.382，0）、（2.892，0）、（3.391，0）、（4.902，0）。在區(qū)間（1.382，2.892］∪（3.391，4.902］內(nèi)，ηjn為正值，經(jīng)過多次循環(huán)之后趨近于零；在區(qū)間（0，1.382］∪（2.892，3.391］∪（4.902，2π］內(nèi)，ηfj為負(fù)值，經(jīng)過多次循環(huán)之后趨近于0。

圖4 磨損率變化率變化規(guī)律Fig.4 Variation Rate of Wear Rate

磨損率在一個(gè)步長(zhǎng)內(nèi)接觸點(diǎn)參與接觸的時(shí)間乘積為恰為鋼球系轉(zhuǎn)過Δαn各鋼球中心產(chǎn)生的法向移動(dòng)量δjxy，此時(shí)已經(jīng)達(dá)到了一個(gè)平衡狀態(tài)，將該狀態(tài)稱為磨損補(bǔ)償平衡。所謂磨損補(bǔ)償平衡就是在一定軸向力作用下，在一個(gè)步長(zhǎng)內(nèi)各接觸點(diǎn)產(chǎn)生的磨損量與鋼球系轉(zhuǎn)角增加量經(jīng)多次循環(huán)迭代之后均達(dá)到定值，且該磨損量與鋼球系轉(zhuǎn)角增加而產(chǎn)生的鋼球中心移動(dòng)量δj相等。在該平衡狀態(tài)下各嚙合點(diǎn)不會(huì)因?yàn)榛瑒?dòng)速度大、名義壓力大而產(chǎn)生足夠的磨損量使該處產(chǎn)生間隙，即各嚙合點(diǎn)不間斷參與嚙合。輸入軸每旋轉(zhuǎn)一次，嚙合點(diǎn)法向載荷重新分配。在一嚙合區(qū)處，滑動(dòng)速度大、名義壓力大，則磨損率大，磨損越嚴(yán)重。在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中該處名義壓力減小，磨損率有所下降?；瑒?dòng)速度小、名義壓力小的嚙合區(qū)在嚙合點(diǎn)法向載荷重新分配后，法向作用力增加，磨損率必然增加。嚙合副再磨損，法向力再分配，最終達(dá)到平衡狀態(tài)，該狀態(tài)下各嚙合區(qū)磨損率不再發(fā)生變化。此時(shí)輸出軸在恒定的軸向力作用下，減小行星盤與輸出軸之間的距離，補(bǔ)償嚙合點(diǎn)產(chǎn)生的磨損，實(shí)現(xiàn)等速傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的實(shí)時(shí)無隙精密傳動(dòng)。

6 結(jié)論

在運(yùn)動(dòng)過程中不存在兩嚙合點(diǎn)均為純滾動(dòng)的情況，根據(jù)滑移理論認(rèn)為兩嚙合點(diǎn)出的滑動(dòng)速度相等。在初始磨損階段，一周期內(nèi)的磨損率變化率只存在四個(gè)為零的固定點(diǎn)，在部分區(qū)間內(nèi)大于零，在部分區(qū)間內(nèi)小于零。嚙合點(diǎn)經(jīng)過較多次磨損之后，磨損率變化率趨近于零，磨損率趨向于一穩(wěn)定值，等速傳動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)入穩(wěn)定磨損階段。在穩(wěn)定磨損階段之后的每一次磨損中，由于轉(zhuǎn)角Δα增加而產(chǎn)生的各點(diǎn)法向移動(dòng)量與各點(diǎn)產(chǎn)生的磨損量相等，達(dá)到一種動(dòng)態(tài)的磨損補(bǔ)償平衡狀態(tài)。該狀態(tài)下每一迭代產(chǎn)生的磨損量可由轉(zhuǎn)角增加量產(chǎn)生的法向移動(dòng)量補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)等速輸出機(jī)構(gòu)的實(shí)時(shí)無隙精密傳動(dòng)。