孟旭東, 王三華

(1. 南昌航空大學科技學院 思政與基礎教學部, 南昌 330034； 2. 南昌大學 理學院, 南昌 330031)

含參解集映射的連續(xù)性為研究集值優(yōu)化問題的穩(wěn)定性、對偶性、適定性、連通性等奠定了基礎. Zhao[1]給出了含參規(guī)劃問題解集映射下半連續(xù)性的最優(yōu)性條件; Klatte[2]在比Slater條件更弱的假設下, 討論了含參凸規(guī)劃問題解集映射下半連續(xù)性的充分性條件; Chen等[3]借助標量化的技巧, 討論了含參廣義向量均衡問題解集的連續(xù)性. 目前, 關于含參向量平衡問題解集的半連續(xù)性, 特別是下半連續(xù)性的研究已有很多結果[4-6]. 集值優(yōu)化問題分析一般包括向量優(yōu)化準則和集優(yōu)化準則[7]兩種方案. 運用向量優(yōu)化準則方案討論含參單值優(yōu)化問題與含參集值優(yōu)化問題解映射的連續(xù)性類似, 所以運用向量優(yōu)化準則討論含參集值優(yōu)化問題解映射連續(xù)性的意義有限. 基于兩種準則, 目前, 已有集值優(yōu)化問題解映射的存在性結果[8-9]、最優(yōu)性條件[10-11]、適定性理論[12-13]及對偶性理論[14-15]等研究成果. 文獻[16]給出了含參集值優(yōu)化問題解集映射連續(xù)的最優(yōu)性條件. 受文獻[16]啟發(fā), 本文通過引入雙參廣義集值優(yōu)化問題, 給出集值映射l-嚴格錐-擬凸的概念, 并討論解集映射的上、下半連續(xù)性及閉性的最優(yōu)性條件.

1 預備知識

設X,Y,Z為拓撲向量空間, Ω,Λ?Z為非空子集, 記P0(Y)為Y所有子集的全體,K?Y為閉凸尖錐. 借助文獻[9,11]的記號, 設A,B∈P0(Y), 用≤l與?l分別表示P0(Y)上的如下關系：

A≤lB?B?A+K,A?lB?B?A+intK.

易知如下定義的集關系～l為P0(Y)上的等價關系：

A～lB?A≤lB,B≤lA,

記P0(Y)上的等價關系類～l的全體為[·]l.

定義1[17]設S?P0(Y), 如果對任何B∈S,B≤lA, 均有A≤lB, 則稱A∈S為集S的l-最小集. 記S的所有l(wèi)-最小集的全體為l-minS.

注1若A∈S為集S的l-最小集, 且B∈S滿足B∈[A]l, 則B為集S的l-最小集.

設M?X為非空子集,F:M→2Y為給定的集值映射, 廣義集值優(yōu)化問題(l-SOP)定義如下：

定義Θ∶={F(x):x∈M}.

定義2[17]設x0∈M, 稱x0為問題l-SOP的l-最小解當且僅當F(x0)∈l-minΘ.

對每個(λ,μ)∈Λ×Ω, 考慮含參廣義集值優(yōu)化問題(Pl-SOP)：

定義3[18]設H:Ω→2X為給定集值映射,μ0∈Ω給定, 則：

1) 稱H在μ0處下半連續(xù)當且僅當對任何開集V?X, 均滿足V∩H(μ0)≠?, 且存在μ0的鄰域N(μ0), 使得對任何μ∈N(μ0), 都有V∩H(μ)≠?；

2) 稱H在μ0處上半連續(xù)當且僅當對任何開集V?X, 均滿足H(μ0)?V, 且存在μ0的鄰域N(μ0), 使得對任何μ∈N(μ0), 都有H(μ)?V；

3) 稱H在μ0處為閉的當且僅當對每個網(wǎng)(μn,xn)∈graphH∶={(μ,x):x∈H(μ)}, (μn,xn)→(μ0,x0), 均有(μ0,x0)∈graphH；

4)H在Ω上下半連續(xù)(上半連續(xù))當且僅當H在每個μ0∈Ω處下半連續(xù)(上半連續(xù)),H在Ω上連續(xù)當且僅當H在Ω上既上半連續(xù)又下半連續(xù).

由文獻[18-19]知, 定義3中集值映射H在點μ0∈Ω處上(下)半連續(xù).

命題1[18-19]設H:Ω→2X為給定集值映射,μ0∈Ω給定, 則：

1)H在μ0處下半連續(xù)當且僅當對任何序列{μn}?Ω,μn→μ0及任何x0∈H(μ0), 均存在xn∈H(μn), 使得xn→x0；

2) 若H為緊值的(即對每個μ0∈Ω,H(μ0)為緊集), 則H在μ0處上半連續(xù)當且僅當對任何序列{μn}?Ω,μn→μ0及任何xn∈H(μn), 均存在x0∈H(μ0)及子列{xnk}?{xn}, 使得xnk→x0.

設M:Ω→2X,F:X×Λ×Ω→2Y為給定集值映射, 定義集值映射LF(y,λ,μ):X×Λ×Ω→2X為

LF(y,λ,μ)={x∈M(μ):F(y,λ,μ)≤lF(x,λ,μ)}={x∈M(μ):F(x,λ,μ)?F(y,λ,μ)+K}.

記LF的定義域為DLF, 其中DLF={(y,λ,μ)∈X×Λ×Ω:LF(y,λ,μ)≠?}.

定義4設M:Ω→2X為凸集值映射,F:X×Λ×Ω→2Y為集值映射, (λ0,μ0)∈Λ×Ω給定, 若對任何x0,x1,x2∈M(μ0),x1≠x2及t∈(0,1), 均滿足F(x0,λ0,μ0)≤lF(x1,λ0,μ0)且F(x0,λ0,μ0)≤lF(x2,λ0,μ0), 使得F(x0,λ0,μ0)?lF(tx1+(1-t)x2,λ0,μ0), 即F(tx1+(1-t)x2,λ0,μ0)?F(x0,λ0,μ0)+intK. 則稱F(·,λ0,μ0)在M(μ0)上關于(λ0,μ0)為l-嚴格K-擬凸的.

注2若F:X×Λ×Ω→Y為向量單值映射, 則F(·,λ0,μ0)在M(μ0)上關于(λ0,μ0)為l-嚴格K-擬凸的, 即為文獻[20]中一類經(jīng)典的向量單值函數(shù)的嚴格K-擬凸.

2 問題Pl-SOP解集映射的連續(xù)性

設(λ0,μ0)∈Λ×Ω給定. 假設:

(H1)M(·)在μ0處具有緊值且上半連續(xù)；

(H2)M(·)在μ0處具有緊凸值且連續(xù)；

(H3)F(·,·,·)在M(μ0)×{λ0}×{μ0}上具有緊值且連續(xù);

(H4)F(·,λ0,μ0)在M(μ0)上關于(λ0,μ0)為l-嚴格K-擬凸.

首先考慮問題Pl-SOP的LF連續(xù)性.

引理1若假設條件(H1),(H3)成立, 則LF(·,·,·)在M(μ0)×{λ0}×{μ0}上是上半連續(xù)的.

證明： 假設LF(·,·,·)在M(μ0)×{λ0}×{μ0}上不是上半連續(xù)的, 即存在y0∈M(μ0), 使得LF(·,·,·)在(y0,λ0,μ0)處不是上半連續(xù)的. 則存在LF(y0,λ0,μ0)的鄰域W0, 對y0的任何鄰域Vy0、λ0的任何鄰域Vλ0及μ0的任何鄰域Vμ0, 均存在(y,λ,μ)∈Vy0×Vλ0×Vμ0∩DLF, 使得

LF(y,λ,μ)?W0.

(1)

根據(jù)式(1)知, 存在序列{(yn,λn,μn)}?DLF, 滿足(yn,λn,μn)→(y0,λ0,μ0), 使得LF(yn,λn,μn)?W0. 于是存在xn∈LF(yn,λn,μn), 使得

xn?W0, ?n∈.

(2)

由xn∈LF(yn,λn,μn)知,

F(xn,λn,μn)?F(yn,λn,μn)+K.

(3)

且xn∈M(μn). 又由M(·)在μ0處具有緊值且上半連續(xù)知, 存在x0∈M(μ0)及子列{xnk}?{xn}, 使得xnk→x0. 再由F(·,·,·)在(x0,λ0,μ0)處具有緊值且上半連續(xù)知, 存在子列{λnk}?{λn}, {μnk}?{μn}, 使得λnk→λ0,μnk→μ0. 從而必有x0∈LF(y0,λ0,μ0), 于是

F(x0,λ0,μ0)?F(y0,λ0,μ0)+K.

(4)

事實上, 對任何z0∈F(x0,λ0,μ0), 由F(·,·,·)在(x0,λ0,μ0)處下半連續(xù)知, 存在znk∈F(xnk,λnk,μnk), 使得znk→z0. 由式(3)知,znk∈F(ynk,λnk,μnk)+K, 存在hnk∈F(ynk,λnk,μnk), 使得

znk-hnk∈K.

(5)

由F(·,·,·)在(y0,λ0,μ0)處具有緊值且上半連續(xù)知,h0∈F(y0,λ0,μ0), 從而存在子列{hnkl}?{hnk}, 滿足hnkl→h0. 根據(jù)式(5)及K的閉性, 有z0∈h0+K, 再由z0的任意性知式(4)成立. 因此x0∈LF(y0,μ0,λ0). 由xnk→x0知, 存在k0∈, 使得對任何nk≥k≥k0, 有xnk∈W0, 與式(2)矛盾. 所以LF(·,·,·)在M(μ0)×{λ0}×{μ0}上是上半連續(xù)的.

例1設X=Z=,Y=3,Λ×Ω=[0,1]×[0,1], 對每個(λ,μ)∈Λ×Ω,M(μ)=[0,1], 且設(λ0,μ0)=(0,0), 且

易驗證上述假設滿足引理1, 且對每個y∈[0,1], 有LF(y,λ0,μ0)=[0,1], 對每個(λ,μ,y)∈(0,1]×(0,1]×[0,1], 有LF(y,λ0,μ0)=[0,y]. 因此LF(·,·,·)在M(μ0)×{λ0}×{μ0}上是上半連續(xù)的.

引理2若假設條件(H2)～(H4)成立, 則LF(·,·,·)在M(μ0)×{λ0}×{μ0}上是下半連續(xù)的.

證明： 假設LF(·,·,·)在M(μ0)×{λ0}×{μ0}上不是下半連續(xù)的, 即存在y0∈M(μ0), 使得LF(·,·,·)在(y0,λ0,μ0)處不是下半連續(xù)的. 由y0∈LF(y0,λ0,μ0)知,LF(y0,λ0,μ0)≠?. 不失一般性, 存在x1∈LF(y0,λ0,μ0)及0X的鄰域W0, {(yn,λn,μn)}?DLF, 滿足(yn,λn,μn)→(y0,λ0,μ0), 使得

(x1+W0)∩LF(yn,λn,μn)=?.

(6)

下面分兩種情形討論.

情形1) 若LF(y0,λ0,μ0)為單元素集, 設xn∈LF(yn,λn,μn), 則式(3)成立, 且xn∈M(μn). 由M(·)在μ0處具緊值且上半連續(xù)知, 存在x0∈M(μ0)及子列{xnk}?{xn}, 使得xnk→x0. 再由F(·,·,·)在(x0,λ0,μ0)處具有緊值且上半連續(xù)知, 存在子列{λnk}?{λn}, {μnk}?{μn}, 使得λnk→λ0,μnk→μ0. 結合式(3), 類似引理1的證明知,x0∈LF(y0,λ0,μ0). 由于LF(y0,λ0,μ0)為單元素集, 因此x0=x1. 由xnk→x0知, 存在k0∈, 使得對任何nk≥k≥k0, 有xnk∈x0+W0. 于是xnk∈(x0+W0)∩LF(ynk,λnk,μnk), ?k≥k0, 與式(6)矛盾.

情形2) 若LF(y0,λ0,μ0)不是單元素集. 不失一般性, 假設x1,x2∈LF(y0,λ0,μ0)且x1≠x2, 則F(x1,λ0,μ0)?F(y0,λ0,μ0)+K且F(x2,λ0,μ0)?F(y0,λ0,μ0)+K. 由于F(·,λ0,μ0)在M(μ0)上關于(λ0,μ0)為l-嚴格K-擬凸且M(μ0)為凸集, 因此對任何t∈(0,1), 均有

F(tx2+(1-t)x1,λ0,μ0)?F(y0,λ0,μ0)+intK.

(7)

從而對每個t∈(0,1), 均有x(t)∶=tx2+(1-t)x1∈LF(y0,λ0,μ0). 對W0, 存在0X的鄰域W1, 滿足W1+W1?W0. 顯然, 存在t0∈(0,1), 使得x(t0)∈x1+W1, 因此

x(t0)+W1?x1+W1+W1?x1+W0.

(8)

由x(t0)∈M(μ0)及M(·)在μ0處下半連續(xù)知, 存在xn∈M(μn), 使得xn→x(t0). 則必存在n1∈, 使得

F(xn,λn,μn)?F(yn,λn,μn)+intK, ?n≥n1.

(9)

事實上, 對任何zn∈F(xn,λn,μn), 由F(·,·,·)在(x(t0),λ0,μ0)處具緊值且上半連續(xù)知, 存在z0∈F(x(t0),λ0,μ0)及子列{znk}?{zn}, 使得znk→z0. 不失一般性, 不妨設zn→z0, 則由式(7)知, 存在h0∈F(y0,λ0,μ0), 使得z0-h0∈intK. 由F(·,·,·)在(y0,λ0,μ0)處下半連續(xù)知, 存在hn∈F(yn,λn,μn), 使得hn→h0. 根據(jù)極限的保號性知, 存在n1∈, 使得zn-hn∈intK, ?n≥n1. 因此zn∈F(yn,λn,μn)+intK, 再由zn的任意性知, 式(9)成立. 由xn→x(t0)知, 對0X的鄰域W1, 存在n2∈, 使得當n≥n2時, 有xn∈x(t0)+W1. 取n0=max{n1,n2}, 則當n≥n0時, 結合式(8)得

xn∈(x(t0)+W1)∩LF(yn,λn,μn)?(x1+W0)∩LF(yn,λn,μn),

與式(6)矛盾.

例2設X=Z=,Y=3,Λ×Ω=[0,1]×[0,1], 對每個(λ,μ)∈Λ×Ω,M(μ)=[0,1], 且設(λ0,μ0)=(0,0), 且

易驗證上述假設滿足引理2, 且對每個y∈[0,1], 均有LF(y,λ0,μ0)=[0,y], 對每個(y,λ,μ)∈[0,1]×(0,1]×(0,1], 均有LF(y,λ0,μ0)=[0,y]. 因此LF(·,·,·)在M(μ0)×{λ0}×{μ0}上是下半連續(xù)的.

定理1若假設條件(H2)～(H4)成立, 則S(·,·)在(λ0,μ0)處上半連續(xù), 且S(λ0,μ0)為閉緊集.

證明： 假設S(·,·)在(λ0,μ0)處不是上半連續(xù)的, 則存在S(λ0,μ0)的鄰域W0, 對λ0的任何鄰域U及μ0的任何鄰域N, 均存在(λ′,μ′)∈U×N, 使得S(λ′,μ′)?W0. 因此, 存在序列{(λn,μn)}?U×N, 滿足(λn,μn)→(λ0,μ0), 使得S(λn,μn)?W0. 于是存在xn∈S(λn,μn), 使得

xn?W0, ?n∈.

(10)

由xn∈S(λn,μn)知,xn∈M(μn), 由M(·)在μ0處具有緊值且上半連續(xù)可知, 存在x0∈M(μ0)及子列{xnk}?{xn}, 使得xnk→x0. 不失一般性, 不妨設xn→x0. 則必有x0∈S(λ0,μ0). 事實上, 假設x0?S(λ0,μ0), 則存在x′∈M(μ0), 使得F(x0,λ0,μ0)?F(x′,λ0,μ0)+K, 且F(x0,λ0,μ0)?[F(x′,λ0,μ0)]l. 因此x′∈LF(x0,λ0,μ0). 對F(x0,λ0,μ0)?[F(x′,λ0,μ0)]l, 存在0X的鄰域V, 使得W′≠W0, 其中:W′=F(x′,λ0,μ0)+K+V;W0=F(x0,λ0,μ0)+K+V. 顯然,W′,W0分別為F(x′,λ0,μ0),F(x0,λ0,μ0)的鄰域. 對W′, 由F(·,·,·)在(x′,λ0,μ0)處具有緊值且上半連續(xù)知, 存在x′的鄰域V′、λ0的鄰域U0及μ0的鄰域N0, 使得

F(x,λ,μ)?W′, ?(x,λ,μ)∈V′×U0×N0.

(11)

對W0, 由F(·,·,·)在(x0,λ0,μ0)處具有緊值且上半連續(xù)知, 存在x0的鄰域V0、λ0的鄰域U00及μ0的鄰域N00, 使得

F(x,λ,μ)?W0, ?(x,λ,μ)∈V0×U00×N00.

(12)

再根據(jù)引理2知,LF(·,·,·)在(x0,λ0,μ0)處下半連續(xù), 因此對x′∈LF(x0,λ0,μ0)及x′的鄰域V′, 存在x0的鄰域V00、λ0的鄰域U000及μ0的鄰域N000, 使得

V′∩LF(x,λ,μ)≠?, ?(x,λ,μ)∈V00×U000×N000.

(13)

定義W″=W′W0,W00=W0W′, 則W″∩W00=?. 對W″, 由F(·,·,·)在(x′,λ0,μ0)處下半連續(xù)且W″∩F(x′,λ0,μ0)≠?知, 存在x′的鄰域V″、λ0的鄰域U0000及μ0的鄰域N0000, 使得

F(x,λ,μ)∩W″≠?, ?(x,λ,μ)∈V″×U0000×N0000.

(14)

對W00, 由F(·,·,·)在(x0,λ0,μ0)處下半連續(xù)且W00∩F(x0,λ0,μ0)≠?知, 存在x0的鄰域V000、λ0的鄰域U00000及μ0的鄰域N00000, 使得

F(x,λ,μ)∩W00≠?, ?(x,λ,μ)∈V000×U00000×N00000.

(15)

記Vx′=V′∩V″,Vx0=V0∩V00∩V000,Uλ0=U0∩U00∩U000∩U0000∩U00000,Nμ0=N0∩N00∩N000∩N0000∩N00000. 顯然Vx′,Vx0,Uλ0,Nμ0分別為x′,x0,λ0,μ0的鄰域. 由xn→x0, (λn,μn)→(λ0,μ0)知, 存在n0∈, 使得xn∈Vx0, (λn,μn)∈Uλ0×Nμ0, ?n≥n0. 根據(jù)式(12),(13),(15), 有

(17)

,λn,μn)+K?W′,

(18)

,λn,μn)+K≠F(xn,λn,μn)+K.

(19)

下證S(λ0,μ0)為閉集. 任取xn∈S(λn,μn),xn→x0. 由xn∈M(μn)及假設條件(H2)知,x0∈M(μ0). 類似上述證明過程可得x0∈S(λ0,μ0), 所以S(λ0,μ0)為閉集.

注3定理1的證明不同于文獻[21]中定理2. 文獻[21]中定理2需要F具有逆l-真性, 而在定理1中, 并不需要F具有該性質.

例3設X=Z=,Y=3,Λ×Ω=[0,1]×[0,1], 對每個(λ,μ)∈Λ×Ω,M(μ)=[0,1], 且設(λ0,μ0)=(0,0), 且

易驗證上述假設滿足定理1, 且對每個(λ,μ)∈[0,1]×[0,1], 均有S(λ,μ)={0,1/2}, 因此S(·,·)在(λ0,μ0)處上半連續(xù). 但F(·,·,·)在(1,0,0)點關于(λ0,μ0)不具有逆l-真性. 事實上,F(1,0,0)?F(0,0,0)+K, 存在(xn,yn,λn,μn)∈(0,1/2)×(1/2,1)×(0,1]×(0,1], 滿足(xn,yn,λn,μn)→(0,1,0,0), 使得F(yn,λn,μn)?F(xn,λn,μn)+K. 因此不滿足文獻[21]中定理2的條件.

假設：

(H5)F(·,λ0,μ0)在M(μ0)上關于(λ0,μ0)具有K-性, 即假設對任何x0,y0∈M(μ0), {xn},{yn}?M(μ0), 均有xn→x0,yn→y0, 對(λn,μn)∈Λ×Ω, 有(λn,μn)→(λ0,μ0), 且式(4)成立, 則存在n0∈, 使得當n≥n0時, 式(3)成立.

定理2若假設條件(H2)～(H5)成立, 則S(·,·)在(λ0,μ0)處下半連續(xù).

證明： 假設S(·,·)在(λ0,μ0)處不是下半連續(xù)的, 則存在x0∈S(λ0,μ0)及x0的鄰域W0, 使得對λ0的任何鄰域U及μ0的任何鄰域N, 均存在(λ′,μ′)∈U×N, 使得S(λ′,μ′)∩W0=?. 因此, 存在序列{(λn,μn)}?U×N, 滿足(λn,μn)→(λ0,μ0), 使得

W∩S(λn,μn)=?.

(20)

由x0∈S(λ0,μ0)?M(μ0)及M(·)在μ0處下半連續(xù)知, 存在xn∈M(μn), 使得xn→x0. 根據(jù)引理2知,LF(·,·,·)在(x0,λ0,μ0)處下半連續(xù). 因此對x0∈LF(x0,λ0,μ0)及x0的鄰域W0, 存在x0的鄰域V0、λ0的鄰域U0及μ0的鄰域N0, 使得

W0∩LF(x,λ,μ)≠?, ?(x,λ,μ)∈(V0×U0×N0)∩DLF.

(21)

由xn→x0, (λn,μn)→(λ0,μ0)知, 存在n0∈, 使得當n≥n0時, 有xn∈V0, (λn,μn)∈U0×N0. 顯然xn∈LF(xn,λn,μn)≠?, 由式(21)知,W0∩LF(xn,λn,μn)≠?. 設∈W0∩LF(xn,λn,μn), 則,λn,μn)?F(xn,λn,μn)+K， 故∈S(λn,μn).

事實上, 對任何yn∈M(μn), 有

,λn,μn)?F(yn,λn,μn)+K.

(22)

F(x′,λ0,μ0)?F(y0,λ0,μ0)+K.

(23)

則必有x′∈S(λ0,μ0). 事實上, 對任何y∈M(μ0), 滿足

F(y,λ0,μ0)≤lF(x′,λ0,μ0).

(24)

再由x′∈LF(x0,λ0,μ0)知,F(y,λ0,μ0)≤lF(x0,λ0,μ0). 注意到x0∈S(λ0,μ0), 則

F(x0,λ0,μ0)≤lF(y,λ0,μ0).

(25)

注4定理2的證明不同于文獻[21]中的定理4, 一般地, 定理2中假設條件(H5)成立不可少.

例4設X=Z=,Y=3,Λ×Ω=[0,1]×[0,1], 對每個(λ,μ)∈Λ×Ω,M(μ)=[0,1], 且設(λ0,μ0)=(0,0), 且F(x,λ,μ)=(λ·[0,2-x],μ·[0,2-x],[0,1]). 易驗證滿足假設條件(H2)～(H4), 且

因此S(·,·)在(λ0,μ0)處不是下半連續(xù)的. 但假設條件(H5)不滿足. 事實上, 存在(x0,y0)=(1,0), 有F(x0,λ0,μ0)?F(x0,λ0,μ0)+K對任何的序列(xn,yn,λn,μn)∈(3/4,1)×(0,1/2)×(0,1]×(0,1], 滿足(xn,yn,λn,μn)→(x0,y0,λ0,μ0), 使得F(xn,λn,μn)?F(yn,λn,μn)+K, ?n∈.

由定理1與定理2知,S(·,·)在(λ0,μ0)處連續(xù), 可得如下推論：

推論1若假設條件(H2)～(H5)成立, 則S(·,·)在(λ0,μ0)處連續(xù).

綜上, 本文在拓撲向量空間中, 通過引進一類廣義集值優(yōu)化問題l-SOP與含參廣義集值優(yōu)化問題Pl-SOP, 給出了問題l-SOP的l-最小解與問題Pl-SOP的l-最小解的概念, 并討論了問題Pl-SOP的LF連續(xù)性, 在此基礎上, 結合集值映射的l-嚴格K-擬凸性, 得到了問題Pl-SOP的l-最小解的連續(xù)性定理.