齊冀龍，任建欽，劉 楓

（1.中水東北勘測(cè)設(shè)計(jì)研究有限責(zé)任公司，吉林長(zhǎng)春 130061；2.水利部寒區(qū)工程技術(shù)研究中心，吉林長(zhǎng)春 130061）

1 振弦式儀器

振弦式儀器發(fā)明于20世紀(jì)30年代，后來(lái)經(jīng)過(guò)不斷改進(jìn)逐漸完善以其堅(jiān)固耐用，便于遠(yuǎn)距離傳輸?shù)葍?yōu)點(diǎn)在工程安全監(jiān)測(cè)中獲得了廣泛的應(yīng)用[1]。

1.1 儀器內(nèi)部構(gòu)成

振弦式儀器內(nèi)部包括中間張緊的鋼弦、永久磁鐵、感壓膜片、激勵(lì)與接收線圈。振弦式儀器受到外部的應(yīng)力時(shí)，導(dǎo)致鋼弦內(nèi)的張力T發(fā)生變化，從而導(dǎo)致鋼弦的共振頻率 f發(fā)生變化，通過(guò)激勵(lì)及拾振線圈，首先通過(guò)掃頻激勵(lì)鋼弦，即通過(guò)頻率不斷變化的電流進(jìn)入激勵(lì)線圈產(chǎn)生交變的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)作用于鋼弦，使鋼弦處于受迫振動(dòng)狀態(tài)，當(dāng)掃頻激勵(lì)信號(hào)的頻率接近于鋼弦的共振頻率時(shí)，鋼弦便處于共振狀態(tài)，這時(shí)去掉掃頻激勵(lì)信號(hào)，鋼弦由于處于共振狀態(tài)，會(huì)以共振頻率繼續(xù)振動(dòng)一段時(shí)間，這時(shí)振動(dòng)的鋼弦切割磁力線從而在拾振線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，通過(guò)拾振線圈采集到此時(shí)的共振頻率，通過(guò)共振頻率與外部應(yīng)力之間的關(guān)系可推算出應(yīng)力的大小，也就可以得知埋設(shè)該傳感器的位置的受力情況等物理量。

1.2 儀器簡(jiǎn)化

若要得到振弦式儀器的共振頻率與鋼弦張力間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以采用如下的方式。

不考慮重力的作用，可以列出如下的力的關(guān)系[2]：

圖1 鋼弦（x，x+dx）間的受力情況

水平方向：

垂直方向：

由于鋼弦振動(dòng)幅度很小，α2和α1很小，鋼弦是微振動(dòng)，弦的伸長(zhǎng)以及弦的線密度的變化均可忽略不計(jì)，所以這段弦的質(zhì)量為x，質(zhì)量乘以垂直方向的加速度應(yīng)該等于F2，可得：

對(duì)于一般情況，可以假設(shè)鋼弦是均勻的可以得到如下的方程式[2]：

由于弦在兩個(gè)端點(diǎn)處的位移為0，可以得到如下的方程式[2]：

式（5）中 a2=T/ρ；

φ（x）為t=0時(shí)的弦上各點(diǎn)的位移與x間的函數(shù)；

ψ（x）為t=0時(shí)的弦上各點(diǎn)的速度與x間的函數(shù)關(guān)系。

上述方程（5）—（7）即為鋼弦在忽略重力下的波動(dòng)方程。

上述方程可以采用分離變量法求解。

2 激振過(guò)程的數(shù)學(xué)模擬

2.1 數(shù)學(xué)模型建立

為模擬振弦各頻率的激勵(lì)過(guò)程，簡(jiǎn)化為如下過(guò)程，假設(shè)電磁鐵對(duì)鋼弦的力的作用點(diǎn)在鋼弦l/2處，作用一大小為ρ的力：

其中 ρδ(x -l/2)為激勵(lì)線圈對(duì)單位質(zhì)量的鋼弦產(chǎn)生的作用力的幅度，sinωt表示作用力是受迫振動(dòng)，在這種情況下，鋼弦的受力可以如下方程表示：

式（10）中0＜ x＜l

邊界條件為：

不妨設(shè)初始條件如下：

為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，設(shè)a=1，l=1，

求解上面的方程，可得到位移的解為：

上式中的n代表了不同頻次的諧波，由于采集鋼弦振動(dòng)信號(hào)時(shí)，往往只采集基頻振動(dòng)，將上式的n取為1，可以簡(jiǎn)化為

2.2 模擬結(jié)果分析

選取x=0.5位置的點(diǎn)，由式（12）可知共振頻率為ω=PI。分別選取ω=0.1PI、0.5PI、0.75PI、0.98PI、1.05PI、1.50PI，其振幅變化過(guò)程見(jiàn)圖2。

圖2 不同共振頻率的幅度變化曲線

通過(guò)選取不同的激勵(lì)頻率，可以看出在遠(yuǎn)離共振頻率的區(qū)域，鋼弦處于周期振動(dòng)狀態(tài)，其幅度很小；隨著激勵(lì)頻率接近于共振頻率，其幅度逐漸加大。但是什么時(shí)間振幅會(huì)達(dá)到最大值或比較大的值，保證去掉激勵(lì)信號(hào)后，仍能保持足夠的振動(dòng)時(shí)間以便于測(cè)量，則需要進(jìn)行估算并結(jié)合試驗(yàn)進(jìn)行確定。

實(shí)際的掃頻過(guò)程類似于上述信號(hào)隨著時(shí)間依次疊加，由于阻尼或損耗使較小的幅值的信號(hào)很快衰減，只留下較大的共振信號(hào)。

3 結(jié)語(yǔ)

由于振弦式儀器在安全監(jiān)測(cè)工程內(nèi)觀測(cè)量應(yīng)用較為廣泛，所以對(duì)鋼弦在激勵(lì)信號(hào)下的振動(dòng)過(guò)程的深入探討有助于振弦式監(jiān)測(cè)儀器的開發(fā)，本文對(duì)模擬過(guò)程進(jìn)行了簡(jiǎn)化，實(shí)際還可以增加對(duì)阻尼等衰減作用的考慮得到更為詳細(xì)的模型。由分析可知，頻率激勵(lì)信號(hào)的持續(xù)時(shí)間及采集信號(hào)的時(shí)間選取是振弦式儀器采集設(shè)備的開發(fā)的重要部分。