張安軍

(浙江省臺州市白云中學(xué)　318000)

中考試題是命題者集體智慧的結(jié)晶，是數(shù)學(xué)試題庫中一筆巨大的精神財富．其中多數(shù)中考試題標(biāo)新立意，既體現(xiàn)了在知識交匯點處命題的創(chuàng)新原則，又格調(diào)清新、意境幽深．怎樣最大限度地發(fā)揮這些試題的育人功能是每位一線教師都在思考和研究的問題．下面筆者就以一道平面幾何試題及其變式的解法探究過程為例談?wù)勥@方面的實踐與思考，期待與同行交流.

1　試題再現(xiàn)及分析

問題1(2017年臺州市中考試題)如圖，有一個邊長不定的正方形ABCD，它的兩個相對的頂點A，C分別在邊長為1的正六邊形一組平行的對邊上，另外兩個頂點B，D在正六邊形內(nèi)部(包括邊界)，則正方形邊長a的取值范圍是．

圖1

本題是填空題的壓軸題，試題巧妙設(shè)計正六邊形內(nèi)部放置一正方形，由于正方形相對的頂點在正六邊形一組的對邊上可以滑動，為考生營造一個數(shù)學(xué)探究的環(huán)境，要求考生動手操作，對兩個幾何圖形的位置進(jìn)行幾何構(gòu)圖，化動為靜，運用合情推理的思想方法，發(fā)現(xiàn)問題的內(nèi)部特征及相應(yīng)的解決方法，形成相應(yīng)的結(jié)論，重點考查了學(xué)生的空間觀念和幾何直觀．

2　在反思、質(zhì)疑中，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

第16題得分點1得分點2分值(分)523平均得分(分)0.980.790.19難度系數(shù)0.1960.3950.06

通過上表發(fā)現(xiàn)，得分點1、2難度系數(shù)分別為0.395、0.06，考生實際得分比預(yù)估的還要差．主要原因為圖形在動態(tài)的過程中，學(xué)生缺乏構(gòu)圖能力，對正方形和六邊形空間關(guān)系缺乏直觀想象．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出：“學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.認(rèn)真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、計算、推理、驗證等活動.”因此適當(dāng)讓學(xué)生在理解題意的基礎(chǔ)上，運用有關(guān)工具(如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具以及計算機等)動手操作，通過自己動手、動腦，用觀察、模仿、實驗等手段獲得經(jīng)驗基礎(chǔ)上提出合理的猜想．

圖2

例如，當(dāng)學(xué)生得到圖2時，很快得到正方形邊長的最小值，教師還要讓學(xué)生知其所以然，“為什么圖2中，正方形ABCD是邊長最?。俊?，“邊長最小的正方形ABCD位置唯一確定嗎？”

其次，由于畫出的圖形不是很準(zhǔn)確，學(xué)生誤認(rèn)為圖3的四邊形AFCM是正方形，教師追問“為什么四邊形AFCM是正方形”或者“線段AO=OF嗎？”，在教師追問中，學(xué)生意識到問題所在，“馬虎構(gòu)圖，缺乏驗證”．

圖3

由于受到直觀的啟發(fā)，要使正方形ABCD的邊長達(dá)到最大，其余的兩個頂點都要落在正六邊形的邊上，于是學(xué)生在圖3的基礎(chǔ)上得到圖4時，四邊形ABCD是正方形，在計算時默認(rèn)為AB∥EF，教師追問“為什么AB∥EF？(先要證明△APO≌△BQO，這樣才能得到AB∥EF)”，“邊長最大的正方形ABCD位置唯一確定嗎？(最大的正方形ABCD存在兩種位置，另一種當(dāng)A點在線段PN上時)”

圖4

數(shù)學(xué)探究包含著猜測、錯誤和常識、證明與反駁、檢驗與改進(jìn)等活動，質(zhì)疑精神在其中發(fā)揮了重要作用,在日常教學(xué)中教師要有意識地培養(yǎng)學(xué)生反思和質(zhì)疑的意識，運用理性思維驗證自己的猜想或他人提出的問題，從而培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和理性精神．

3　在一題多解中，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

思維的廣闊性是指對一個數(shù)學(xué)問題能從多方面考慮，進(jìn)行多角度的思考．具體表現(xiàn)為對一個數(shù)學(xué)問題能作多方面的解釋，對一個研究對象能用多種方式表達(dá)，對一個題目能想出多種不同的解法．一題多解能快速整合所學(xué)知識，重要的是能培養(yǎng)學(xué)生細(xì)致的觀察力、豐富的聯(lián)想力和創(chuàng)造性的思維能力.教師要通過一題多解的分析訓(xùn)練，培養(yǎng)思維的廣闊性．

針對上面問題，學(xué)生對正方形的最大值不易求得，組織學(xué)生開展求正方形邊長最大值多解活動，將“還有其他解法嗎？”的自我追問變成解題習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性.

圖5

圖6

圖7

波利亞指出：“拿一個有意義又不復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個方面，使得通過這道題就好象通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的領(lǐng)域．”本題所涉及到解直角三角形，方程，正多邊形，等腰三角形等有關(guān)性質(zhì)的靈活運用，雖然方法不同，但最后都構(gòu)建一個直角三角形，把所有的已知量集中到這個直角三角形；這里一題多解是從不同的角度探索解題的思路，有助于學(xué)生對平面幾何有關(guān)知識系統(tǒng)把握，整體建構(gòu)，同時有助于發(fā)散思維的訓(xùn)練與培養(yǎng)．

4　一題多變中，培養(yǎng)思維的靈活性

思維的靈活性是指數(shù)學(xué)思維能及時地隨機應(yīng)變地應(yīng)對研究對象的變化，以及盡可能地不受思維定勢的影響，而且善于擺脫舊的模式或通常的制約條件．其表現(xiàn)為對知識運用自如，善于變通和調(diào)整思路，善于運用辨證思想進(jìn)行具體問題具體分析．在解題教學(xué)活動中不失時機的進(jìn)行變式教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性的重要途徑．通過一題多變，借題發(fā)揮，達(dá)到以點帶面，舉一反三，觸類旁通的目的，一方面救學(xué)生于題海之中，不讓學(xué)生感覺到有永遠(yuǎn)做不完的數(shù)學(xué)題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，另一方面提高學(xué)生思維的靈活性．

問題2已知正方形ABCD邊長為1．

(1)求作等邊△PQM，使P、Q、M分別在正方形ABCD各邊上．

(2)上述(1)中的等邊△PQM是否唯一存在？若不唯一，請求出等邊△PQM的最大邊長？

圖8

圖9

解法2分析：如圖10所示，假設(shè)存在等邊△PQM，M，P，Q分別在BC，AD，AB上，過Q點作QN⊥MP于N點，因為∠MBQ=∠QNM=90°，B，M，N，Q四點共圓，所以∠QMN=∠QBN=60°；同理，∠QPN=∠BAN=60°，△BAN是等邊三角形，而N點是定點，這個過程是可逆的，過N點作一條直線分別于BC，AD交于點M，P，再過N點作MP的垂線交AB于Q，則△PQM就是等邊三角形；其中M(P)點與C(D)點重合時，△PQM的邊長最大.

圖10

波利亞曾形象地指出：“好問題同某種蘑菇有些相象，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找找，很可能附近就有好幾個．”在上述中，通過減少正多邊形的邊數(shù)，學(xué)會采“蘑菇”，學(xué)會推廣，善于引導(dǎo)學(xué)生對一個好問題進(jìn)行變式改造，如改變題目的條件、結(jié)論、圖形、敘述方式等使學(xué)生跳出自己思維的框架，增加思維的靈活性.

5　再變化問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性

思維的深刻性是指學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解與思考的深入程度，是創(chuàng)造性思維的基礎(chǔ). 反映了學(xué)習(xí)者善于透過數(shù)量關(guān)系和空間形式等現(xiàn)象和外部聯(lián)系，揭示出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)和規(guī)律的思維品質(zhì). 深刻性是思維品質(zhì)的基礎(chǔ)，只有深刻地理解知識，深入地思考問題，才能系統(tǒng)化和一般化地解決問題.對于上述問題，教師可以通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步改變問題，如將原有問題中的背景正方形在正六邊形的內(nèi)部變成正方形在正六邊形的外部，又如減少正多邊形的邊數(shù)等，從而促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，優(yōu)化學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生靈活解決問題的能力，從而避免了反復(fù)的機械訓(xùn)練.

問題3如圖11，正方形ABCD的邊長為1，中心為點O，有一邊長大小不定的正六邊形EFGHIJ繞點O可任意旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，這個正六邊形始終在正方形ABCD內(nèi)(包括正方形的邊)．當(dāng)這個正六邊形的邊長最大時，AE的最小值為 ．

圖11

問題4已知等邊三角形ABC.

(1)求作一正方形EFGH，使正方形EFGH各頂點落在△ABC的各邊上；

(2)若等邊三角形ABC的邊長為1，則正方形EFGH邊長為多少？

問題5已知直角三角形ABC，∠C==90°，BC=a，AC=b，AB=c．

(1)求作一正方形EFGH，使正方形EFGH各頂點落在直角三角形ABC的各邊上；

(2)上述(1)存在最大正方形EFGH嗎？若存在，則最大邊長為多少？

問題6已知銳角三角形ABC，BC=a，AC=b，AB=c．

(1)求作一正方形EFGH，使正方形EFGH各頂點落在三角形ABC的各邊上；

(2)若a≤b≤c，上述(1)中存在最大邊長正方形嗎？若存在，則最大邊長為多少？

思考和分析：如果減少正多邊形的邊數(shù)，把背景從原來的正六邊形和正方形變換成正方形和正三角形，這樣就得到問題4，在問題4的第(1)小題中，讓學(xué)生體會特殊化思想，先滿足部分條件，如在等邊三角形內(nèi)部先作一個等邊三角形，使其中三個頂點在等邊三角形的邊上，然后再推廣到四個頂點在等邊三角形的邊上，這就如同大數(shù)學(xué)家華羅庚所說“ 善于退，足夠的退，退到最原始而不失重要的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅．”在問題4的第(2)小題中，由于所求作的等邊三角形的邊長大小是唯一的，計算所求作的等邊三角形的邊長．問題5和問題6把問題4從等邊三角形推廣到直角三角形甚至更一般的銳角三角形．這樣通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步改變問題條件，即將問題一般化，從而促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這一類問題的本質(zhì)．通過題組形式讓學(xué)生加深對題目的理解和把握，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性．

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是一個重要、長期而復(fù)雜的過程．作為中學(xué)數(shù)學(xué)教師，要全面、客觀地認(rèn)識解題教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)方面的獨特作用，從課堂的點滴做起，選擇優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)問題，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，挖掘數(shù)學(xué)問題的育人功能，營造主動思維的課堂氛圍，促進(jìn)學(xué)生積極探究問題，養(yǎng)成正確的思維習(xí)慣，形成良好的思維品質(zhì)，以期提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)能力.